第02講全等三角形全等三角形的判定(SAS)

思維導(dǎo)圖

8析教材學(xué)知識

⑤知識點1全等三角形的性質(zhì)

一、對應(yīng)邊相等

全等三角形的三邊分別對應(yīng)相等，即長邊對長邊，短邊對短邊。

二、對應(yīng)角相等

全等三角形的三角分別對應(yīng)相等，即最大角對最大角，最小角對最小角。

三、對應(yīng)邊上的高、中線、角平分線相等

全等三角形的對應(yīng)邊上的高、中線以及對應(yīng)角的角平分線分別對應(yīng)相等。

四、周長和面積相等

由于全等三角形的三邊對應(yīng)相等，因此它們的周長也相等。同時，由于全等三角形的三角對應(yīng)相等，且對

應(yīng)邊上的高也相等，所以它們的面積也相等。

@知識點2全等三角形的判定一(SAS)

我們知道全等三角形的性質(zhì)，它們的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等；那當兩個三角形的角和邊具備

什么樣的條件時，兩個三角形就相等呢？

想一想：

(1)當兩個三角形的1對邊或角相等時，它們?nèi)葐幔?/p>

(2)當兩個三角形的2對邊或角分別相等時，它們?nèi)葐幔?/p>

(3)當兩個三角形的3對邊或角分別相等時，它們?nèi)葐幔?/p>

動手做一做：

按下列作法，用直尺和圓規(guī)作AABC,使NA=Na,AB

作法：

1.作NMAN=Za.

2.在射線AM、AN上分別

作線段AB=a,AC=b.

3.連接BC,ZkABC就是所求作的三角形.

通過自己實踐后發(fā)現(xiàn)：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等(簡寫成“邊角邊”或“SAS”)

幾何語言：

?.?在AABC和ADEF中，D

rAB=DE,

ZB=ZE,

Y

BC=EF,

.《△ABC烏ADEF(SAS).

教材習題01

如圖，己知△ABC四△DEF,判斷A3與DE的位置

關(guān)系.

解：AB//OE,理由如下：

AE

口△ABC沿叢DEF,

JZA=ZD,

：.AB//DE.

BD

教材習題03

滑翔是一項極限運動，有一款滑翔翼的平面圖如圖所示，

小夏買來通過測量得到一組數(shù)據(jù)：AB=AD=50cm,解：△ABC/AADE,理由如下：

AC=AE=180cm.你能幫助小夏找到一組全等的三角形并*.*AB=AD=50cm,

證明它嗎？AC=AE=180cm,ZBAC=ZDAE

..A5C均AOE(SAS)

練考點強知識/

考點一、全等三角形中的對應(yīng)邊與對應(yīng)角

1.如圖,△ABC四△CDA,AB和CO,BC和AA是對應(yīng)邊，則N54C的對應(yīng)角是（

B.NDCAC.ZDD.ZACB

【答案】B

【分析】本此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，準確識圖，理解全等三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】解：：△ABC/△CDA,

/./BAC的對應(yīng)角是NOC4.

故選：B.

2.如圖所示，ACB2DEF,其中A與D,C與E是對應(yīng)頂點，則CB的對應(yīng)邊是,—ABC的對應(yīng)

角是.

F

【答案】EFZDFE

【分析】本題考查了全等三角形的對應(yīng)邊與對應(yīng)角.解題的關(guān)鍵是牢記“全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角

相等”即可.解題時要找對對應(yīng)邊，對應(yīng)角即可.

【詳解】解：：ACB^.DEF,

：.CB=EF,ZABC=ZDFE,

：.CB的對應(yīng)邊是EF,/ABC的對應(yīng)角是ZDFE.

故答案為：EF,ZDFE.

3.如圖所示，在兩個全等三角形中，點A和點E是一組對應(yīng)頂點，寫出其余的對應(yīng)頂點、對應(yīng)邊和對應(yīng)角.

【分析】本題考查全等三角形的有關(guān)概念，關(guān)鍵是掌握全等三角形的對應(yīng)頂點，對應(yīng)邊，對應(yīng)角的定義.由

全等三角形的對應(yīng)頂點，對應(yīng)邊、對應(yīng)角的定義，即可得到答案.

【詳解】解：對應(yīng)頂點是點C和點C、點B和點D,對應(yīng)邊是AC和EC、3C和OC、和瓦＞,對應(yīng)角是上4

和NE、和ND、NACB和

考點二、全等三角形的性質(zhì)求（證）邊

1.如圖，△ABD^AACE,若AB=6,AE=3,則CD的長度為（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】D

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)“對應(yīng)邊相等”是關(guān)鍵.

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB=AC=6,AD=AE=3,由AC-AD即可求解.

【詳解】解：ABD^_ACE,

：.AB=AC=6,AD=AE=3,

CD=AC-AD=6-3=3,

故選：D.

2.如圖，已知△ABC絲（ZA與/尸，/C與NE分別對應(yīng)），AD=2,或＞=3,則FD的值為

AC

D

/

EL--------------------

【答案】5

【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等.由全等三角形的對應(yīng)邊相等,

即可得到答案.

【詳解】解：：AO=2,BD=3,

：.AB=AD+BD=5,

ZxABCmAFDE,

：.FD=AB=5.

故答案為：5.

3.如圖，已知△ABC空△￡)￡下,ZA=85。，/3=60°,AB=8,EH=2.

（1）求/尸的度數(shù)與DH的長；

⑵求證：AB//DE.

【答案】（1）35。，6

（2）見解析

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，平行線的判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出=ZB=ZDEF,ZACB=NF,注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對

應(yīng)角相等，難度適中.

（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AB=DE,ZF=ZACB,即可得出

答案；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出="砂，根據(jù)平行線的判定得出即可.

【詳解】（1）解：VZA=85°,，3=60°,

ZACB=180°-ZA-ZB=35°,

VAABC^ADEF,AB=8,

AZF=ZACB=35°,DE=AB=8,

EH=2,

DH=8-2=6；

（2）證明：；￡\ABC沿ADEF,

：.ZDEF=ZB,

AB//DE.

考點三、全等三角形的性質(zhì)求（證）角

1.如圖，AABC^ACDE,若NO=35。，ZACS=45°,則/DCE的度數(shù)為（）

【答案】D

【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的對應(yīng)角相等.由

全等三角形的對應(yīng)角相等得到NE=NACB=45。，再由三角形內(nèi)角和定理即可求出—DCE的度數(shù).

【詳解】解：：AABC絲ACDE,

：.ZE=ZACB=45°,

ZD=35°,

ZDCE=180°-45°-35°=100°,

故選：D.

2.如圖，AABC冬AADE,若4=80。，ZC=30°,ZDAB:ZDAC=4:3,則NEFC的度數(shù)為'

【答案】70

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌

握以上知識點，全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等.首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出

ABAC=180°-ZB-ZC=70°,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NZME=NBAC=70。，ZE=ZC=30°,

最后利用三角形外角的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：：N3=80。，ZC=30°,

ABAC=180°-ZS-ZC=70°,

"?ZDAB:ZDAC^4:3,

：.ZDAC=30P,

'：AABC名/XADE,

：.ZDAE=ZBAC=70°,ZE=ZC=30°,

：.NEAF=NDAE—NDAC=40°,

ZEFC=ZE+ZEAF=70°.

故答案為：70.

3.如圖：在VABC中，BE、C尸分別是AC、43兩邊上的高.

(1)求證：ZABE=ZACF；

(2)當△ABD四△GC4時，AD與AG的位置關(guān)系如何，請說明理由.

【答案】(l)ZABE=ZAb

(2)AD±AG,理由見詳解

【分析】本題考查了直角三角形的兩個銳角互余，三角形的高線，全等三角形的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)

內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)先由三角形的高線，得出NAE3=NAFC=90。，再結(jié)合直角三角形的兩個銳角互余，即可作答.

(2)先由四△GO得出/AGF=/RLF,根據(jù)三角形的高線，得出NAFC=90。，再結(jié)合直角三角

形的兩個銳角互余，以及角的等量代換，即可作答.

【詳解】(1)解：:BE、分別是AC、AB兩邊上的高.

：.ZAEB=ZAFC=90°,

■:ZBAC=ZBAC,

：.ZABE=90°-ZBAC,ZACF=90°-ABAC,

：.ZABE=ZACF；

(2)解：AD±AG,理由如下：

小ABD沿/\GCA,

：.ZAGF=ZDAF,

???C/是A3兩邊上的高.

???ZAFG=90°,

??.ZAGF+ZG4F=90°,

即NZXF+NG4F=90。，

JZGAD=90°,

???ADLAG.

考點四、全等依據(jù)

1.嘉嘉先畫出了VABC,再利用尺規(guī)作圖畫出了VADE,使一女見四二ABC.圖1~圖3是其作圖過程.

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

【答案】B

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定.根據(jù)作圖痕跡，利用SAS即可證明.ADE絲一ABC.

【詳解】解：由作圖知，NEAD=NCAB,AD=AB,AE=AC,

：./\ADE^：△ABC(SAS),

故答案為：B.

2.如圖.已知AC=D3,ZACB=ZDBC.則可推出ABCZUCB.依據(jù)是.

【答案】S4S/邊角邊

【分析】本題考查的是三角形全等的判定：熟練掌握SSS、SAS,A4s和AS4,是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)三角形全等的判定定理：兩邊和它們的夾角相等的兩個三角形全等(“邊角邊”或“SAS”),即可得出

答案.

【詳解】解：在VA3C與△DCB中，

AC=DB

<NACB=NDBC,

BC=CB

：.,ABC絲aZ)CB(SAS),

即依據(jù)是兩邊和它們的夾角相等的兩個三角形全等(“邊角邊”或“SAS”).

故答案為：SAS.

3.人教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級上冊第37—38頁告訴我們作一個三角形與已知三角形全等的方法:

已知：7ABe.

求作：一A'3'C',使得一A'3'C'絲ABC.

作法：如圖.

E

CJr'

/\/\(1)畫NZM'E=NA；

AB/4D

(2)在射線AD上截取=AB,在射線4E上截取A'C=AC；

(3)連接線段3'C',則AB'C'即為所求作的三角形.

請你根據(jù)以上材料完成下列問題：

(1)完成下面證明過程(將正確答案填在相應(yīng)的空上)：

證明：由作圖可知，在AB'C和VABC中，

A'B'=AB

<ZDA'E=Z(),

AC=()

(2)這種作一個三角形與己知三角形全等的方法的依據(jù)是.(填序號)

①A4s②ASA③SAS@SSS

【答案】(1)A；AC-,ABC

⑵③

【分析】本題考查的知識點是全等三角形的判定，解題關(guān)鍵是掌握全等三角形判定的方法.

結(jié)合題意梳理已知條件，根據(jù)S4S的全等三角形判定方法即可判定全等，結(jié)合判定過程填空即可.

【詳解】(1)解：由題意可得：ND4'E=NA、AB'=AB.A'C=AC,

在..A0。和ABC中，

A'B'=AB

，ZDA'E=ZA,

A'C=AC

AB'C^fABC(SAS),

故答案為：A：AC；ABC.

(2)解：由⑴可得，這種作一個三角形與已知三角形全等的方法的依據(jù)是&4S,

故答案為：③.

考點五、直接用SAS證全等

1.如圖，已知點8,F,C,E在一條直線上，AC=DF,AC//DF,BF=EC.求證：Z\ABC咨八DEF.

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，先證明3C=￡F,再由平行線的性質(zhì)可得

ZACB=ZDFE,據(jù)此根據(jù)SAS即可證明△ABC四△DEF.

【詳解】證明：,??37?=EC,

ABF+FC=EC+FC,^BC=EF,

'：AC//FD,

：.ZACB=ADFE,

在VABC和—DEF中,

AC=DF

<ZACB=NDFE

BC=EF

：.AABC^DEF(SAS).

2.如圖，已知=AC=AE,AB±AD,AC±AE,求證：△ABC/△ADE

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，先由垂線的定義得到NaW=NC4E=90。，則可證明

NBAC=NDAE,再利用SAS即可證明四△ADE.

【詳解】證明：AC±AE,

：.ZBAD=ZCAE=90°,

：.ZBAD+ADAC=Z.CAE+ADAC,

：.ZBAC=ZDAE,

XVAB^AD,AC=AE,

/.AABC^AADE(SAS).

3.如圖，點A,F,C,。在同一條直線上，AF=DC,AB=DE,ZA=ZD.求證：△ABC公△?！晔?

【答案】見詳解

【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據(jù)AF=OC,得AC=D尸，結(jié)合=ZA=ZD,證明

△ABC絲△DEF(SAS),即可作答.

【詳解】解：：AF=OC，

AF+FC^DC+FC,

則AC=DF,

:AB=DE,ZA=ZD,

：.AABC^ADEF(SAS).

考點六、間接用SAS證全等

1.如圖，已知點8,D在AF上，AC=FE,AC//FE,AD=FB.求證：公ABC沿AFDE；

【分析】本題考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NA=NW,根據(jù)等式的性

質(zhì)得出AB=F。，最后根據(jù)SAS證明△抽。四即可.

【詳解】證明：：AC〃EE,

，ZA=ZF,

'：AD=FB,

：.AB=FD,

在VABC和VFDE中，

AC=FE

<ZA=ZF

AB=FD

：.AABC沿AFDE

2.如圖，在VABC和VADE中，AB^AC,AD=AE,/C4B=/EAD,連接CE,3D.試說明：AAEC冬AADB.

【答案】見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA.AAS和HL)

是解題的關(guān)鍵.先證明=然后根據(jù)SAS可證△AECgAWB.

【詳解】解：因為/&鉆=/皿＞,

所以ZCAB+ZBAE=ZEAD+ZBAE,

所以NG4E=NRW.

AC=AB

在△AEC和上⑷36中，，NCAE=NBA。，

AE=AD

所以AEC^,ADB(SAS).

3.如圖，已知點。、E是VABC內(nèi)兩點，S.ZBAE=ZCAD,ZABC^ZACB,AB=AC,AD=AE.

(1)求證：△ABD咨AACE；

⑵延長3D、CE交于點/，若/B4C=86°,ZABD=20°,求，BA?的度數(shù).

【答案】(1)證明見解析

⑵/MC=126。

【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，正確的找出全等三角形的對應(yīng)

邊和對應(yīng)角是解題的關(guān)鍵.

(1)先由/&忘-/口4￡=/。4。-/口鉆推導(dǎo)出44。=/。山，再根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證

明△ABD^^ACE；

(2)由NB4c=86。求得NABC+NACB=94。，再由全等三角形的對應(yīng)角相等求得NABD=NACE=20。，

則ZFBC+ZFCB=54°,再由NBFC=180°-(NFBC+NFCB)求得NBFC的度數(shù).

【詳解】(1)ZBAE^ZCAD,

ZBAE-ZDAE=ACAD-ZDAE,

:.ZBAD=ZCAE,

在△ABD和/XACE中,

AB=AC

<ABAD=NCAE,

AD=AE

：.AABDmAACE.

(2)ZBAC=86°,

ZABC+ZACB=1800-ABAC=180°-86°=94°,

QZABD=ZACE=20°,

NFBC+ZFCB=(ZABC+ZACB)-ZABD-ZACE=94°-20°-20°=54°

:.NBFC=180°-(ZFBC+AFCB)=180°-54°=126°.

考點七、全等三角形分割問題

1.手工勞動課上，老師給每個小組發(fā)一張硬紙板（如圖），要求每個小組把它分成四個形狀相同、面積相

等的圖形.他們該怎么分？請你試一試.

3

I12

3II

3

3

【答案】見詳解

【分析】本題主要考查了分割大小形狀的圖像，先將圖根據(jù)標記的數(shù)字畫出等面積的小格，然后以陰影部

分為基本圖形，畫出形狀相同、面積相等的圖形.

【詳解】解：先將圖根據(jù)標記的數(shù)字畫出等面積的小格，然后以陰影部分為基本圖形，可以分別得出下圖

所示的四種分法：

2.作圖題

將4x4的棋盤沿格線劃分成兩個全等圖形，參考圖例補全另外幾種（約定某種劃分法經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、軸對稱得

到的劃分法與原劃分法相同）.

【答案】見解析

【分析】能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形，可以利用圖形的軸對稱性和中心對稱性來分割成兩個全等

的圖形.

【詳解】解：如圖所示，（答案不唯一）

-II1

---------j----1--

【點睛】本題主要考查了全等圖形,解題的關(guān)鍵是掌握全等圖形的定義：形狀和大小完全相同的兩個圖形

叫全等形.

3.沿著圖中的虛線（小正方形虛線邊），用四種不同的方法（構(gòu)成4種不同圖形）將下面的圖形分成兩個

全等的圖形.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)全等圖形的定義：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形進行求解即可.

【詳解】解：如圖所示，即為所求;

【點睛】本題主要考查了考查了全等圖形的概念，熟知相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵.

考點八、全等三角形動點求t

1.如圖，AE與8。相交于點C,AC=EC,BC=DC,AB=4cm,點尸從點A出發(fā)，沿AfA方向

以3cm/s的速度運動，點。從點。出發(fā)，沿D—E方向以lcm/s的速度運動，p,Q兩點同時出發(fā).當點

尸返回點A時，P,。兩點同時停止運動.設(shè)點P的運動時間為人.

(2)寫出線段AP的長(用含f的式子表示)；

(3)連接尸。，當線段尸。經(jīng)過點C時，求/的值.

【答案】(1)見解析

(2)線段AP的長為3fcm或(8-3t)cm

(3)當線段尸。經(jīng)過點C時，，的值為1或2

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定及一元一次方程的應(yīng)用等知識，證明三角形

全等是正確解題的關(guān)鍵.

(1)由SAS證明△ABC絲△￡?<?,得NA=NE,根據(jù)平行線的判定定理即可得出結(jié)論；

(2)由△ABCgzXEDC得到AB=￡>E=4cm,分兩種情況列代數(shù)式即可得答案；

(3)先證明“ACP會一ECQ,得AP=EQ,分兩種情況列方程并解方程即可.

【詳解】(1)解：AC=EC,BC=DC，ZACB=NECD,

AABC^AEDC,

ZA=ZE,

所以

(2)解：分兩種情況：①當OMtv1時，AP=3rcm；

AQ

②當；<右4時，BP=(3r-4)cm,

AP=4-(31-4)=(8-3f)cm.

綜上所述，線段AP的長為次cm或(8-3t)cm.

(3)解：ZA=Z￡,AC=EC,ZACP=ZECQ,

:一ACPAECQ,

AP=EQ.

分兩種情況：①當OVY。時，3r=4-r,解得f=1；

48

②當］時，8-3/=4T,解得t=2.

綜上所述，當線段P。經(jīng)過點C時，/的值為1或2.

2.如圖，已知在VABC中，AB=AC=10cm,BC=8cm,。為A3的中點.點尸在線段8C上以3cm/s的

速度由點B出發(fā)向終點C運動，同時點Q在線段C4上以acm/s的速度由點C出發(fā)向終點A運動，設(shè)點產(chǎn)

的運動時間為、.

(1)求CP的長；(用含f的式子表示)

(2)若以C、P、。為頂點的三角形和以3,D,P為頂點的三角形全等，且—3和/C是對應(yīng)角，求。的值.

［答案］(l)CP=(8-3r)cm

415,.

(2)t=—,a=—^t=l,a=3

【分析】(1)依題意得到3P=3tcm,然后利用3尸=BC-3尸求解；

(2)先利用等腰三角形的性質(zhì)得到4=NC,討論：當BD=CQ,3P=CP時，則利用“SAS”可判斷

BDP^CQP,即必=5,8-3「=3/；當BD=CP,3P=C。時，則根據(jù)“SAS”可判斷aBOP絲.CPQ,即

8-3/=53=加，然后分別解方程即可.

【詳解】￡1)-：BP=3t,BC=8,

：.CP=(8-3/)cm；

(2)CD為AB的中點,

BD=5cm,

AB^AC,

：.ZB=NC,

；.^BD=CQ,3P=CP時，—BDP絲,CQP(SAS),

即at=5,8—3t=3t,

解得f=4，a=E；

34

當BD=CP,8P=CQ時，BDP緣CPQ(SAS),

即8—3/=5,3t=at,

解得，=1,4=3;

4is

綜上所述，"三,。=弓或f=l,a=3.

34

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是運用分類討論的思想思

考問題.

3.如圖①，AB=10cm,ACLAB,BDJ.AB,垂足分別為A、B,AC=7cm.點尸在線段AB上以3cm/s

的速度由點A向點8運動，同時點。從點8出發(fā)在射線8。上運動.它們運動的時間為1s)(當點P運動結(jié)

束時，點。運動隨之結(jié)束).

C卜\DCD

⑴若點。的運動速度與點尸的運動速度相等，當/=1時，ZkACP與V5PQ是否全等？并判斷此時線段尸。和

線段尸。的位置關(guān)系，請分別說明理由；

(2)如圖②，若“ACLAB,BDJ.AB”改為“NCAB=NDBA”,點Q的運動速度為xcm/s,其他條件不變，

當△ACP與V3PQ全等時，求出相應(yīng)的x與/的值.

【答案】⑴4ACP咨ABPQ,PCLPQ,見解析

(2)3或日71

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵.

(1)利用SAS證明△ACP0ABPQ即可，由全等三角形的性質(zhì)可得NC=NBP。，求出NCPQ=90。即可得

解；

(2)分兩種情況:①若AACP^^BPQ，則AC=3P,A尸=2。，②若△ACP^ABQP,^\\AC=BQ,AP=BP,

分別求解即可.

【詳解】(1)解：AACP^ABPQ,線段PC和線段尸。的位置關(guān)系是尸CLP。，理由如下:

AC±AB,BD_LAB,

:.ZA=ZB=90°,

???當，=1時，AP=BQ=3cm,

/.BP=7cm,

:.BP=AC,

在/XAC尸和ZVIC尸中，

CA=PB

<ZA=ZB,

AP=BQ

AACP^A^PQ(SAS).

:.ZC=ZBPQ.

ZC+ZAPC=90°,

/.ZAPC+ZBPQ=90°,

又二ZAPC+ZBPQ+ZCPQ=180°,

?./CP。=90。，

/.PCLPQ.

(2)解：由題意可得：BQ=xtcm,AP=3tcm,

3P=(10-3，)cm,

■:ZCAB=ZDBA

???分兩種情況討論：

①若/XACP也△3P。，則AC=3?，AP=BQ,

可得7=10—3，，3t=xty

解得/=1,x=3；

②若八4。尸也△3QP,則AC=BQ,AP=BP,

可得7=%/,3/=10—3/,

解得好|5,%=半21.

21

綜上，當尸與V研2全等時，x的值為3或5.

串知識識框架

知識導(dǎo)圖記憶

過關(guān)測穩(wěn)提升

1.如圖是兩個全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長，則4的度數(shù)是（）

h

A.40°B.64°C.76°D.86°

【答案】C

【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，利用三角形內(nèi)角和定理求出N2,再利用全等三

角形的性質(zhì)求解.

【詳解】解：如圖，在第一個三角形中，Z2=180°-40°-64o=76°.

h

由全等三角形的性質(zhì)可知4=N2=76。.

故選：C.

2.如圖，VAEB/V￡*C,AE1CB,DF±BC,垂足分別為E、F,若NC=28,則NA=（）

AB

cK

A.28°B.52C.62D.72

【答案】C

【分析】本題考查了全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余；熟記性質(zhì)并準確識圖判斷出

對應(yīng)角是解題的關(guān)鍵.依據(jù)直角三角形兩銳角互余，即可得到-O的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相

等，即可得到結(jié)論.

【詳解】解：：8，BC,ZC=28

RtzXDFC中，

ZD=90°-28=62°

...ZA=ZT>=62°

故選：c.

3.測量錐形瓶底面內(nèi)徑的方案：如圖，用螺絲釘將兩根小棒AC,3。的中點0固定，只要測得C,。之間

的距離，就可知道錐形瓶底面內(nèi)徑的長度.此方案中，判定△/如名△口%的依據(jù)是（）

A.SSSB.SASC.AASD.ASA

【答案】B

【分析】本題考查全等三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意，利用“SAS”證明△/如絲沙即可.

【詳解】解：由題意，OA=OC,OB=OD,又NA03=NC0D,

/.,AOB^ACOD（SAS）,

故選：B.

4.如圖，小正方形的邊長均為1,則下列圖形中的三角形（陰影部分）與VABC全等的是（）

A

D.

【答案】D

【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，先判定VABC是直角三角形，再進一

步判斷即可;

【詳解】解：根據(jù)題意可得：Afi=V22+22=A/8,AC2=712+12=V2>NRAC=90。,

A.兩條直角邊分別為1,3,圖中的三角形（陰影部分）與VABC不全等.

B.三角形不是直角三角形，圖中的三角形（陰影部分）與VABC不全等.

C.三角形不是直角三角形，圖中的三角形（陰影部分）與VABC不全等.

D.兩條直角邊分別為次，血,圖中的三角形（陰影部分）與VA3C全等.

故答案為：D.

5.如圖，ABVBC,BELAC,垂足分別為3、E,Z1=Z2,=則下列結(jié)論正確的（)

A.N\=NEFDB.BD=EC

C.BF=CDD.FD//BC

【答案】D

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握相關(guān)知識點

是解題的關(guān)鍵.

先證明oAEB絲AFD（SAS）,得至l]M=DF,ZABF=NEDF,推出=NEFD=NEBC,

DF//BC,無法判定3。=EC,BF=CD,即可得到答案.

【詳解】解：AB=AD,Z1=Z2,AF=AF,

AFB^,AFD(SAS),

:.BF=DF,ZABF=ZEDF,

ABLBC,BELAC,

ZABC=ZAEB=ZDEF=90°,

:.ZABE+ZBAE=90°,ZEDF+ZEFD=90°,ZABE+ZEBC=90°,

:.NEFD=NBAEw/l,NEFD=NEBC,

DF//BC,

無法判定3D=EC,BF=CD,

故選：D.

6.如圖，若VA3E絲VACF1,=l.AB=7,AE=3,則EC的長為

【答案】4

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AC=AB=7,據(jù)此由線段的

和差關(guān)系可得答案.

【詳解】解：'/VABE^VACF,

：.AC=AB=7,

EC=AC—AE=7—3=4,

故答案為:4.

7.如圖，ABD^EBC,￡B=4cm,BC=6an,貝!]DE=cm.

【答案】2

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出砒＞=8C=6cm,計算-EB即可得到答案

【詳解】解：△ABD也△SBC,BC=6cm

BD=BC=6cm,

EB=4cm

/.DE=BD—EB=6—4=2cm

故答案為：2.

8.如圖，小明在一次智能大賽中，分別畫了三個三角形，不料都被墨跡污染了，能畫出和原來完全一樣的

三角形的是（填序號）.

【分析】本題主要考查了三角形全等的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，

SAS,ASA,AAS,SSS,HL.根據(jù)三角形全等的判定方法進行解答即可.

【詳解】解：①中有兩個完整的角和一條完整的邊，因此根據(jù)AAS可以畫出和原來完全一樣的三角形；

②中有兩條完整的邊和一個完整的角，因此根據(jù)SAS可以畫出和原來完全一樣的三角形；

③中只有一個完整的角，因此不能畫出和原來完全一樣的三角形；

綜上分析可知，①和②可以，

故答案為：①②.

9.如圖，ADBC,將CD繞。逆時針旋轉(zhuǎn)90。至。連接AE,若AD=3,BC=5,

則一？IDE的面積是.

【分析】由旋轉(zhuǎn)可得會可求得所，可求得VADE的面積.

【詳解】解：如圖，過。作3c于點過E作EF上AD交仞的延長線于R則四邊形是矩

形，HC=BC-BH=BC-AD=5-3=2,

：.NHDF=NCDE=90°,

/HDC=NFDE

DC=DE

DHC&DFE,

:.EF=HC=2,MZEFA=ZDHC=90°,

5AB￡=1ADX￡F=1X3X2=3,

【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)圖形是全等圖形是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，VABC中，AB=AC=8,。為AC上一點，連接BO,E為VABC外一點，S.AE=BD,延長3。

交AE的延長線于點E連接CE,若/FDA=/BAF,CE=55,則CD=.

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和已知條

件證明NE4c=N￡>54,再證明VAZJB絲VCE4(SAS)得到AD=CE=5.5,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：VZFDA^ZBAF,ZFDA=ZABD+ZBAD,ZBAF=ZBAD+ZEAC,

：.ZEAC=ZDBA,

XVAE=BD,AB=AC=8,

：.VAOB^VCEl(SAS),

：.AD=CE=5.5,

：.CD=AC-AD=2.5,

故答案為：2.5.

11.如圖所示，已知△ABC/試說明ZABD=ZACD.

【答案】見解析

【分析】本題考查了全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準確識圖，準確找出對應(yīng)角是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得加CMZDCB.ZACBMNOBC,然后相減即可得解.

【詳解】解：ABC-DCB,

ZABC=NDCB,ZACB=ZDBC,

ZABC-ZDBC=ZDCB-ZACB,

即ZABD=ZACD.

12.將VABC沿BC方向平移，得到

(1)若乙&=74。,//=26。，求/A的度數(shù)；

(2)若8C=4.5cm,EC=3.5cm,求VABC平移的距離.

【答案】(1)80°

(2)1cm

【分析】本題考查圖形的平移：

(1)根據(jù)平移的性質(zhì)，得到△ABC四△DEF,得到/2=//=26。，利用三角形的內(nèi)角和進行求解即可；

(2)用BE=BC-EC,求解即可.

【詳解】(1)解：???平移，

AABC^ADEF.

：.Z2=ZF=26°.

'：ZB=74°,

：.ZA=180°-(Z2+ZB)=80°.

(2)VBC=4.5cm,EC=3.5cm,

/.BE=BC-EC=4.5-3.5=l(cm).

VABC平移的距離為1cm.

13.如圖，在VABC和以期中，點