2024學(xué)年第二學(xué)期高一數(shù)學(xué)期終考試試卷

滿分:150分考試時(shí)間:120分鐘

一、填空題(本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分，第7-12題每題5分)

考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

1.已知1為虛數(shù)單位,則上」=.

1+Z

±±x1

2.已知向量a=(—2,1),6=(0,3),則2a+6=.

3.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸(0,2),則cosa=.

4.函數(shù)y=sin(%x)的最小正周期是.

5.已知扇形的弧所對(duì)的圓心角為工，且半徑為6cm，則該扇形的弧長為.

3

6.在VABC中，已知5C=5,5=工.且VABC的面積為572,則邊長AB=.

4

7.在水平放置的平面上有一個(gè)邊長為1c加的正方形,其直觀圖的面積為.

43

8.已知銳角氏,滿足cosa=1及cos(a+Q)=),則sin/=.

9設(shè)向量滿足向=6,"=4且三力=-12,則向量：在向量b方向上的投影是

10.函數(shù)/（x）=cos<yx（xe7?）在［0,句內(nèi)恰有兩個(gè)對(duì)稱中心，，（萬）|=1,則①=.

H寫畫（視為平面）上有燈塔。、4、5和貨輪T,如圖/在。的正東方向，3在。

的正北方向.45到。的距離相等，且。、4T、8按逆時(shí)針排列，48在直線。7兩

側(cè)，若，0714=37°,，。窗=18°,則/3。7=.（結(jié)果精確到0.1°）

11

12已知x>0,9wEJ（x）=sin?x+9）,直線y=,與函數(shù)）=/（X）,XG—,5的圖像

的交點(diǎn)為4,4,LAn,若對(duì)iv</<〃（於",/?"）,|44|的最小值為；.最大值為

二、選擇題（本大題共有4題,滿分18分,第13、14題每題4分，第13、16題每題

5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)。考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置,將代表正確選項(xiàng)的

小方格涂黑.

13、兩條異面直線所成角的范圍是（）

A.0,y5.^0,1C.［Q,7r］D（0,萬）

14.以下關(guān)于平面向量的說法正確的是（）

yI-pITix11xii

，.若a=Z?,則同=NB.若aIlb,bI/c,則a//c

C若［■pbL是共線的單位向量.同才-p=JLb。若2-p=6X,則［T,bJ-不是共線向量

15.在物理學(xué)中簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可以用函數(shù)/(%)=為皿勿+0乂/>0,ty>0,|^|<])來表示,

其部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

4函數(shù))=/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)￡,0成中心對(duì)稱

員函數(shù)y=/(x)的解析式可以為/(x)=2sin\2x--

6

C.函數(shù))=/(x)在[0,句上的值域?yàn)閇0,2]

D若把丁=/(x)圖像上所有的點(diǎn)向右平移專個(gè)單位,則所得函數(shù)是

y=2sin^2x+日j

16.在V4BC中，角4瓦。所對(duì)的邊分別為a/,c，若c—b=IbcosA,則—的取值范

a-b

圍為()

A(-l,l)U(3,+oo)5.(1,2+V3)C.(3,+oo)以3,2+⑹

三、解答題(本大題共有5題,滿分78分)解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫

出必要的步驟.

17.(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題。第1小題6分，第2小題8分.

____T,I

平面內(nèi)給定兩個(gè)向量a=(3,4),6=(-1,2).

⑴求：與方夾角的余弦值；

T*Ir

（2）若ka-b和Q垂直,求左的值.

18.（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題,第1小題6分，每2小題8分.

JT3

已知0<a<一,sina=一

213

(1)求tana的值;

sin2a+2sin(萬一a)sina,,_

⑵求---------7——二_L----的值

2cos2a+--sin2?

I2

19.(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題,第1小題8分，第2小題6分.

如圖,在正方體48cz中，E,F,G分別是棱的中點(diǎn).

⑴求異面直線D.F與AB所成角的正切值;

(2)證明：=

20.(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題,第1小題4分，第2小題6分，第3小題8

分.

已知函數(shù)[(x)=sinxcosx———cos2x.

⑴求y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵求函數(shù)y=/(x)-g在[0,2句上的零點(diǎn)；

⑶對(duì)任意的xe,3，不等式尸⑴-％(x)-"0恒成立，求加的取值范圍.

21.（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題。第1小題4分，第2小題6分，第3小題8

分.

如圖，游客從其旅游景區(qū)的景點(diǎn)/處到。處有兩種路徑,一種是從/沿直線步行圓C,

另一種先從/沿緊道乘使車到5,然后從3沿直線步行到C,現(xiàn)有中、乙兩位游客從

A處到C處，甲沿4c勻速步行,速度60加/min,在甲出發(fā)3min后，乙從/乘重車到

3,在5處停留2min,再從5勻速步行到C,假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為

45

150m/mm,山路AC長為1500m,經(jīng)測(cè)量cos/=—,cosC=一.

513

⑴求索道的長；

（2）問，乙出發(fā)多少分鐘后，乙在膜車上與甲的距離最短？

（3）為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過4min,乙步行的速度應(yīng)該控制在什

么范圍內(nèi)？

C

2024學(xué)年第二學(xué)期高一數(shù)學(xué)期終考試試卷(2025.6)

滿分:150分考試時(shí)間:120分鐘

一、填空題(本大題共有12題,滿分54分,第『6題每題4分，第7-12題每題5分)

考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

1.已知1為虛數(shù)單位,則匕=

1+Z

解析：冰中后

11

2.已知向量a=(-2,1),/)=(0,3),貝1J2a+b=

解析：2；+力=(—4,5)

3.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸(0,2),則cosa=

解析：cosa=0

4.函數(shù)y=sin(%x)的最小正周期是

27r

解析：T=—=2

n

5.已知扇形的弧所對(duì)的圓心角%，且半徑為6皿則該扇形的弧長為

角軍析：l—Or--x6cm=2兀cm

3

6.在VABC中，已知5C=5,8=2.且vABC的面積為5c,則邊長AB=,

4

解析：S=--AB-BC-sinB5y［2-AB-5-sin-^AB=4

224

7.在水平放置的平面上有一個(gè)邊長為1c掰的正方形,其直觀圖的面積為.

解析：直觀圖的面積為正。蘇

4

43

8.已知銳角見,滿足cosa=y&cos(a+/?)=y,則sin/?=.

解析：銳角a,，nO<a+/?<?

cos?=^sm(z_Lll=3

5V255

cos(a+/?)=gnsin(a+/?)=jl一14

5

「.sin/?=sin[(a+-a]=sin(a+6)cosa-cos(a+/?)sina=-x—x—=—

9設(shè)向量點(diǎn)為滿足向=6,卜卜4且三?/?=-12f則向量力在向量b方向上的投影是

r+

?La-b-12

解析：向量。在向量b方向上的投影=,r.=----=—J

10.函數(shù)/（］）=005°工（%￡尺）在［0,句內(nèi)恰有兩個(gè)對(duì)稱中心,，（刈=1,貝1J@=

解析：令GX=/n%￡［0,。萬

因?yàn)楹瘮?shù)/（X）=COS0X（X￡火）在［0,句內(nèi)恰有兩個(gè)對(duì)稱中心

所以2"<CD7C<—71=^>2<69<—

22

|/（乃，=1n|cosa>^|=1

所以。乃=左乃左，kwZ

所以。=2

n寫畫（視為平面）上有燈塔。、4、5和貨輪T,如圖/在。的正東方向，3在。

的正北方向.48到。的距離相等，且。、4T、8按逆時(shí)針排列，在直線07兩

側(cè)，若NOZ4=37°,，。窗=18°,則.（結(jié)果精確到0.1°）

解析：設(shè)OA=OB=a,BT=b,AT=c.

由題意，得連接48,則=

在VAST中，ZATB=ZATO+ZBTO=53.5°.

由余弦定理，得=b-+C1-2bccosAATB,

即2a2=b2+c2-26ccos53.5°①.

b

在V08T中，由正弦定理，得——

sin16.5sinZBOT

asinZ.BOT不

貝"---------------②.

sin16.5°

在VOZT中，由正弦定理，得‘—--------

sm37°sin（90°-^507）

acosZ.BOT

③

sin37°~

聯(lián)立①②③,可得NBOTa7.8°

11

12已知x>0,9wHJ(x)=sin?x+9),直線y=5與函數(shù)y=/(x),xe—,5的圖像

的交點(diǎn)為4,4,LAn,若對(duì)1與<六〃””/€間,|4聞的最小值為，最大值為

解析：設(shè)4(乙,外),

]TC、57r

由/(x)=sin(Gx+")=一可知，GX+/=—+2左萬或GX+"=----v2kn{keZ),

266

因?yàn)?工，則相鄰交點(diǎn)最小距離為工，

IJImin22

13

所以最小正周期為T=M7r=).

因?yàn)镮4/J=—=3T且5-工=2,

I。Amax222

所以小卜⑸斗

12TL7C_y__p2R57T

故一69+0=——+(p=—+2k7l或---卜(p=-----F

23636

則夕=一弓或0=(

當(dāng)夕=-g時(shí)，/(x)=si

則/

當(dāng)°=今時(shí),f(x)=sin4萬71)

1

2

故答案為：1或一

二、選擇題（本大題共有4題,滿分18分,第13、14題每題4分，第13、16題每題

5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)?？忌鷳?yīng)在答題紙的相應(yīng)位置,將代表正確選項(xiàng)的

小方格涂黑.

13、兩條異面直線所成角的范圍是（）

A.0,15.^0,1C.[Q,TV]D（0㈤

解析：兩條異面直線所成角的范圍是5

所以選：B.

14.以下關(guān)于平面向量的說法正確的是（）

P1-pITi111±11

4若a=6,貝!]同=6A若Q//仇b//c,則Q//C

-pJL-pX-pX-pX

C若[b是共線的單位向量.同三=bD若5=b,則三力不是共線向量

解析：若5=6,則向=",/正確；

所以選：A.

15.在物理學(xué)中簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可以用函數(shù)/(x)=Zsin(°x+0(Z>0,a)>Q,\(p\<%)來表示,

其部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

4函數(shù))=/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn),0成中心對(duì)稱

A函數(shù)少=/(%)的解析式可以為/(%)=2sin2%-^

C函數(shù))=/(x)在［0,句上的值域?yàn)椋?,2］

。若把N=f(x)圖像上所有的點(diǎn)向右平移展個(gè)單位,則所得函數(shù)是

y=2sin2x+—

112

解析：由函數(shù)圖象的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)可得/=2,且堊=史—工=紅,

41234

97T

可得7=〃=芻可得①=2,

(D

T7C"7C7r-rII

乂2?§+/=萬+2k兀,K^Z,\(p\<71,

可得9=一,所以/(x)=2sinf2%-^-

/中，因?yàn)?x工-工w壯，keZ,所以二,0不是函數(shù)的對(duì)稱中心，所以/不正確;

6616J

5中,/(x)=Zsin'x—小=2cos^2x-^-y^=2cos^2x-^^,所以5正確；

C中，因?yàn)閤e[O,句，所以2x-工/-工，']，所以Sin(2x-工]4-1,1],即

一6L66JI6J

/(x)e[-2,2],所以C不正確；

D中，把/(%)圖象上所有點(diǎn)向右平移W個(gè)單位,則所得函數(shù)

y=2sin=Zsin'x-g],所以D不正確.

所以選：反

16.在V4BC中，角4瓦。所對(duì)的邊分別為。也c,若c-b=2bcosA,則土心的取值

a-b

范圍為()

A（-l,l）U（3,+oo）5.（1,2+73）C.（3,+oo）。（3,2+句

解析：因?yàn)閏—b=2灰x）s4,

所以sinC-sin5=2sin5cosL4,

又sinC=sin（4+5）=siiL4cos5+cosZsinS,

所以sirUcosJS+cos/sin5-sin5=2sin5cos4,

貝ljsiiiB=siiL4cos5-sinScosZ=sin（4-5）,

又Ae（0,7r）,Be（0,萬）,

貝|J4一5￡（一樂））,

所以5=4—5或5+（4—5）="，即4=25或4="（舍去）,

0<2B<71JT1

所以con,角牟得貝!J—<cosB<1,

0<7T-3B<7T32

a-\-bsinA+sinBsin2B+sinB2sin5cosS+sinfi

所以

a-bsinA-smBsin2B-sinB2sin5cos5+sinfi

2cos5+1

2cos5-1

=1+狼"

因?yàn)?cos3-1e（0,1）,

2

所以……），

所以1+二丁143，+8），即言的取值范圍是（3,+00）.

所以選：。.

三、解答題（本大題共有5題,滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫

出必要的步驟.

17.（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題。第1小題6分，第2小題8分.

p-L

平面內(nèi)給定兩個(gè)向量a=（3,4））=（-1,2）.

11

⑴求。與b夾角的余弦值；

r工r

（2）若版-6和a垂直,求左的值.

解析：（1）=3x（-l）+4x2=5

I匕I“II-

|a|=5,|/?|=V5

A5V5

cos，=-----產(chǎn)=——

5xV55

（2）ka-b=[3k+l,4k-2）,J=（3,4）

,r1r

因?yàn)樽骯-b和a垂直

所以（總_力"=0=（3左+1,4"2）.（3,4）=0

.,.9左+3+16左一8=0=左二—

5

18.（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題,第1小題6分，每2小題8分.

已知0<。<一，sina=一

213

⑴求tana的值;

sin2a+2sin（萬一a）sina

⑵求的值

2cos2a+工-sin2。

I2

解析：（1）因?yàn)閟in<z=得,0va<],所以cosa=Jl-sin2a=12

13

sma5

故tana=

cosa12

sin2a+2sin（"一a）sina2sinacosa+2sin2a

2cos2a+—\-sm2a2sin?a_2sinacosa

[2

2sina（cosa+sina）1+tana_*1+12_17

2sina（sina-cosa）tana-157

12-

19.（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題,第1小題8分，第2小題6分.

如圖,在正方體中，E,F,G分別是棱CG，A8I，Z）A的中點(diǎn).

⑴求異面直線D{F與AB所成角的正切值；

（2）證明：=

解析：⑴因?yàn)檎襟w48cz)-45￡2中，F(xiàn),G分別是棱的中點(diǎn),

所以=5尸，且DfiHBF

所以四邊形DQBF是平行四邊形

所以G5//2戶.

⑵因?yàn)檎襟wABCD-4與。。中，￡,G分別是棱CG，DI的中點(diǎn)，

所以。iG=CE，DG//CE,

所以四邊形DGCE是平行四邊形，

所以GC//EA.

由⑴知1,GB//DXF

由圖形可知ABGC,NFD[E均為銳角,

所以ZBGC=NFD[E

20.(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題,第1小題4分，第2小題6分，第3小題8

分.

也cos2x.

已知函數(shù)/(x)=sinxcosx-

2

⑴求y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

⑵求函數(shù)7=-;在［0,2句上的零點(diǎn);

⑶對(duì)任意的xe看，2，不等式尸⑴-何"(x)*。恒成立，求償?shù)娜≈捣秶?

(l)/(x)=gsin2x一日

解析:cos2x=sin

兀TCTC

一一+2k7r<2x——<—+2左〃，keZ

232

7Cj57rjj

X￡---+左",——+K7C,kEZ

1212

(2)/(x)—g=0,即sin(2x—1]=0

-TC_TTC_p._TC_75TC

2x-2k兀H—^c2x-2k兀H

3636

-71-771-

2%=F2k7CX-FK7T

24

此時(shí)，在[0,2句內(nèi)解為x=：,'

c7?…7〃

2%---F2左TT=>x---------Fk兀

612

此時(shí)，［0,2句內(nèi)解為X1,詈

綜上:零點(diǎn)為xfA工等

冗1

⑶當(dāng)71時(shí)，2x-ye0,?，故/(x)=sin2x--e0」o

~6973I3J2

原式f2(x)-耐(x)-l<0nmZ'(x)>/2(^)-l

1。當(dāng)〃x)=0時(shí)，符合;

2°當(dāng)〃x)>0時(shí),

令g（，）=”；，

因g⑺在［o-］上單調(diào)遞增，最大值為：gp■bL_2=-3

3

/.m>—

2

3

綜上：m>—

2

21.（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題。第1小題4分，第2小題6分，第3小題8

分.

如圖，游客從其旅游景區(qū)的景點(diǎn)/處到C處有兩種路徑,一種是從/沿直線步行圓C,

另一種先從/沿緊道乘使車到5,然后從5沿直線步行到C,現(xiàn)有中、乙兩位游客從

4處到。處，甲沿ZC勻速步行，速度60掰/min,在甲出發(fā)3min后，乙從/乘重車到

5,在3處停留2min,再從5勻速步行到C,假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為

45

150m/mm,山路ZC長為1500m,經(jīng)測(cè)量cos/=-，cosC=—.

513

⑴求索道的長；

（2）問，乙出發(fā)多少分鐘后，乙在膜車上與甲的距離最短？

（3）為使兩位游客在。處互相等待的時(shí)間不超過4min,