五年級(jí)奧數(shù)專(zhuān)題精講精練一

第10講數(shù)陣

一、知識(shí)要點(diǎn)

填“幻方”是同學(xué)們比較熟悉的一種數(shù)學(xué)游戲，由幻方演變出來(lái)的數(shù)陣問(wèn)

題，也是一類(lèi)比較常見(jiàn)的填數(shù)問(wèn)題。這里，和同學(xué)們討論一些數(shù)陣的填法。

解答數(shù)陣問(wèn)題通常用兩種方法：一是待定數(shù)法，二是試驗(yàn)法。

待定數(shù)法就是先用字母（或符號(hào)）表示滿足條件的數(shù)，通過(guò)分析、計(jì)算來(lái)

確定這些字母（或符號(hào)）應(yīng)具備的條件，為解答數(shù)陣問(wèn)題提供方向。

試驗(yàn)法就是根據(jù)題中所給條件選準(zhǔn)突破口，確定填數(shù)的可能范圍。把分析

推理和試驗(yàn)法結(jié)合起來(lái)，再由填數(shù)的可能情況，確定應(yīng)填的數(shù)。

二、精講精練

【例題1】把5、6、7、8、9五個(gè)數(shù)分別填入下圖的五個(gè)方格里，如圖a

使橫行三個(gè)數(shù)的和與豎行三個(gè)數(shù)的和都是21o

練習(xí)1：

1.把1——10各數(shù)填入“六一”的10個(gè)空格里，使在同一直線上的各數(shù)的

和都是120

2.把1—9各數(shù)填入“七一”的9個(gè)空格里，使在同一直線上的各數(shù)的和都是13。

3.將1——7七個(gè)自然數(shù)分別填入圖中的圓圈里，使每條線上三個(gè)數(shù)的和相等。

【例題2】將1——10這十個(gè)數(shù)填入下圖小圓中，使每個(gè)大圓上六個(gè)數(shù)的和是

30o

練習(xí)2：

1.把1——8八個(gè)數(shù)分別填入下圖的。內(nèi)，使每個(gè)大圓上五個(gè)。內(nèi)數(shù)的和相等。

2.把1——10這十個(gè)數(shù)分別填入下圖的。內(nèi)，使每個(gè)四邊形頂點(diǎn)的。內(nèi)四個(gè)數(shù)

的和都相等，且和最大。

3.將1——8八個(gè)數(shù)填入下圖方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、

中間四格以及對(duì)角線四格內(nèi)四個(gè)數(shù)的和都是18。

第1題第二題第二題

【例題3】將1——6這六個(gè)數(shù)分別填入下圖的圓中，使每條直線上三個(gè)圓

內(nèi)數(shù)的和相等、且最大。

練習(xí)3：

1.將1——6六個(gè)數(shù)分別填入下圖的。內(nèi)，使每邊上的三個(gè)。內(nèi)數(shù)的和相等。

2.將1——9九個(gè)數(shù)分別填入下圖。內(nèi)，使每邊上四個(gè)。內(nèi)數(shù)的和都是17。

3.將1——8八個(gè)數(shù)分別填入下圖的。內(nèi)，使每條安上三個(gè)數(shù)的和相等。

第三題

【例題4】將1——7分別填入下圖的7個(gè)。內(nèi)，使每條線段上三個(gè)。內(nèi)數(shù)

的和相等。

oo

練習(xí)4：

1.將1——9填入下圖的。中，使橫、豎行五個(gè)數(shù)相加的和都等于25。

2.將1——11這十一個(gè)數(shù)分別填進(jìn)下圖的。里，使每條線上3個(gè)。內(nèi)的數(shù)的和

相等。

3.將1——8這八個(gè)數(shù)分別填入下圖。內(nèi)，使外圓四個(gè)數(shù)的和，內(nèi)圓四個(gè)數(shù)的和

以及橫行、豎行上四個(gè)數(shù)的和都等于18o

第1題第2題第3題

【例題5】將九個(gè)不同的自然數(shù)填入下面方格中,使每行、每列、每條對(duì)角

線上三個(gè)數(shù)的和都相等。

練習(xí)5：

1.將1——9九個(gè)自然數(shù)分別填入下圖的九個(gè)小三角形中，使靠近大三角形

每條邊上五個(gè)數(shù)的和相等，并且盡可能大。這五個(gè)數(shù)之和最大是多少？

2.將1——9九個(gè)數(shù)分別填入下圖。內(nèi)，使外三角形邊上。內(nèi)數(shù)之和等于里面三

角形邊上。內(nèi)數(shù)之和。

第10講數(shù)陣

一、知識(shí)要點(diǎn)

填“幻方”是同學(xué)們比較熟悉的一種數(shù)學(xué)游戲，由幻方演變出來(lái)的數(shù)陣問(wèn)題，也是一類(lèi)比較常見(jiàn)的填

數(shù)問(wèn)題。這里，和同學(xué)們討論一些數(shù)陣的填法。

解答數(shù)陣問(wèn)題通常用兩種方法：一是待定數(shù)法，二是試驗(yàn)法。

待定數(shù)法就是先用字母（或符號(hào)）表示滿足條件的數(shù)，通過(guò)分析、計(jì)算來(lái)確定這些字母（或符號(hào)）應(yīng)

具備的條件，為解答數(shù)陣問(wèn)題提供方向。

試驗(yàn)法就是根據(jù)題中所給條件選準(zhǔn)突破口，確定填數(shù)的可能范圍。把分析推理和試驗(yàn)法結(jié)合起來(lái)，再

由填數(shù)的可能情況，確定應(yīng)填的數(shù)。

二、精講精練

【例題1】把5、6、7、8、9五個(gè)數(shù)分別填入下圖的五個(gè)方格里，如圖a使橫行三個(gè)數(shù)的和與豎行三

個(gè)數(shù)的和都是21。

【思路導(dǎo)航】先把五格方格中的數(shù)用字母A、B、C、D、E來(lái)表示，根據(jù)題erri

Uu

意可知：A+B+C+D+E=35,A+E+B+C+E+D=21X2=42o|AEB|1579

把兩式相比較可知，E=42-35=7,即中間填7。然后再根據(jù)5+9=6+8便

可把五個(gè)數(shù)填進(jìn)方格，如圖b。

練習(xí)1：

1.把1——10各數(shù)填入“六一”的10個(gè)空格里，使在同一直線上的各數(shù)的和都是12。

2.把1——9各數(shù)填入“七一”的9個(gè)空格里，使在同一直線上的各數(shù)的和都是13o

3.將1——7七個(gè)自然數(shù)分別填入圖中的圓圈里，使每條線上三個(gè)數(shù)的和相等。

m

【答案】1.7、1、5、6、2、10、3、9、4、8(答案不唯一)」

2.1、2、3、8、5、4、9、6、7(答案不唯一)

3.2、6、4、1、5、3、7(答案不唯一)

【例題2】將1——10這十個(gè)數(shù)填入下圖小圓中，使每個(gè)大圓上六個(gè)數(shù)的和是30。

【思路導(dǎo)航】設(shè)中間兩個(gè)圓中的數(shù)為a、b,則兩個(gè)大圓的總和是1+2+3+...+10+a+b=30X2.

即55+a+b=60,a+b=5。在1——10這十個(gè)數(shù)中1+4=5,2+3=5。

當(dāng)a和b是1和4時(shí)，每個(gè)大圓上另外四個(gè)數(shù)分別是(2.6,8,9)和(3.5,

7,10)；當(dāng)a和b是2和3時(shí)，每個(gè)大圓上另外四個(gè)數(shù)分別為(1.5,9,10)和1jjJ

(4,6,7,8)o

練習(xí)2：

1.把1——8八個(gè)數(shù)分別填入下圖的。內(nèi)，使每個(gè)大圓上五個(gè)。內(nèi)數(shù)的和相等。

2.把1——10這十個(gè)數(shù)分別填入下圖的。內(nèi)，使每個(gè)四邊形頂點(diǎn)的。內(nèi)四個(gè)數(shù)的和都相等，且和最大。

3.將1——8八個(gè)數(shù)填入下圖方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中間四格以及對(duì)角

線四格內(nèi)四個(gè)數(shù)的和都是18。

【答案】1.左邊4、5、7,右邊2、6、8

2.6、3、1、8、2,5、9、1、4、10（答案不唯一）

3.1、4、8、5、3、2、6、7（答案不唯一）

【思路導(dǎo)航】設(shè)中間三個(gè)圓內(nèi)的數(shù)是a、b、co因?yàn)橛?jì)算三條線上的和時(shí)，a、b、c都被計(jì)算了兩次,

根據(jù)題意可知：1+2+3+4+5+6+（a+b+c）除以3沒(méi)有余數(shù)。1+2+3+4+5+6=21.21+3=7沒(méi)有余

數(shù)，那么a+b+c的和除以3也應(yīng)該沒(méi)有余數(shù)。在1——6六個(gè)數(shù)中，只有4+5+6的和最大，且除以3

沒(méi)有余數(shù)，因此a、b、c分別為4、5、6?（1+2+3+4+5+6+4+5+6）+3=12.所以有下面的填法：

練習(xí)3：

1.將1——6六個(gè)數(shù)分別填入下圖的。內(nèi)，使每邊上的三個(gè)。內(nèi)數(shù)的和相等。

2.將1——9九個(gè)數(shù)分別填入下圖。內(nèi)，使每邊上四個(gè)O內(nèi)數(shù)的和都是17?

3.將1——8八個(gè)數(shù)分別填入下圖的。內(nèi)，使每條安上三個(gè)數(shù)的和相等。

【答案】1.1、6、5、2、4、3（答案不唯一）

2.1、6、9、8、4、2、7、5、3（答案不唯一）

3.1、5、6、8、4、3、7,2（答案不唯一）

【例題4】將1——7分別填入下圖的7個(gè)。內(nèi)，使每條線段上三個(gè)。內(nèi)數(shù)的和相等。

【思路導(dǎo)航】首先要確定中心圓內(nèi)的數(shù)，設(shè)中心。內(nèi)的數(shù)是a,那么，三條線段上的總和是1+2+3

+4+5+6+7+2a=28+2a,由于三條線段上的和相等，所以（28+2a）除以3應(yīng)該沒(méi)有余數(shù)。由于28?

3=9...1.那么2a除以3應(yīng)該余2.因此，a可以為1、4或7。當(dāng)a=l時(shí)，(28+2X1)+3—1=9,即每條

線段上其他兩數(shù)的和是9,因此，有這樣的填法。

練習(xí)4：

1.將1——9填入下圖的。中，使橫、豎行五個(gè)數(shù)相加的和都等于25。

2.將1——11這十一個(gè)數(shù)分別填進(jìn)下圖的。里，使每條線上3個(gè)。內(nèi)的數(shù)的和相等。

3.將1——8這八個(gè)數(shù)分別填入下圖。內(nèi)，使外圓四個(gè)數(shù)的和，內(nèi)圓四個(gè)數(shù)的和以及橫行、豎行上四

個(gè)數(shù)的和都等于18?

【答案】1.橫1、2、5、8、9豎3、4、5、6、7

2.中上1、11左上5、7右上2、10左下4、8右下3、9中間6

3.大圈順時(shí)針6、1、3、8小圈順時(shí)針7、4、2、5

【例題5】如下圖(a)四個(gè)小三角形的頂點(diǎn)處有六個(gè)圓圈。如果在這些圓圈中分別填上六個(gè)質(zhì)數(shù)，它

們的和是20,而且每個(gè)小三角形三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)的和相等。問(wèn)這六個(gè)質(zhì)數(shù)的積是多少？

5)~(3

⑤—(2)—(