第06講圓的對(duì)稱(chēng)性

口他內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練習(xí)題講典例：教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法

練考點(diǎn)強(qiáng)知識(shí)：7大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

㈤知識(shí)點(diǎn)1垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；

2）弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?/p>

3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.

常見(jiàn)輔助線(xiàn)做法（考點(diǎn)）：1）過(guò)圓心，作垂線(xiàn)，連半徑，造Rt^,用勾股，求長(zhǎng)度；

2）有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分

知識(shí)點(diǎn)2垂徑定理的應(yīng)用

經(jīng)常為未知數(shù)，結(jié)合方程于勾股定理解答

⑸知識(shí)點(diǎn)2同圓或等圓的性質(zhì)

①圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等

②在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)

試卷第1頁(yè)，共14頁(yè)

的其余各組量都分別相等.

教材習(xí)題01

解題方法①全

如圖，CM、OB、OC是。O的半徑，且無(wú)￡=記，D、E分另

等三角形的性

Q4、OB的中點(diǎn).C。與CE相等嗎？為什么？

質(zhì)

②等弧的性質(zhì)

C

解：相等，

由題意得，/AOC=/BOC,

［卷案］又：D,E是中點(diǎn)，

OD=OE

即△OOC-EOC,

即CD=CE.

教材習(xí)題02

如圖，8是。的直徑，弦〃理:為求（

AB,0CE:AB,40°./AO解題方法①圓

的度數(shù).

心角的性質(zhì)

【解析】連結(jié)OE.

n、B

（\/\

W

MB.CD是。。的直徑，

.,Q為圓心.

【答案】???踵的度數(shù)為40。，

.-.￡COE=40°（圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)

相等）.

?：OC、OE是。弼半徑，

,OC=OE（同圓的半徑相等）.

.￡C=￡E=70°.

'.'CEIAH.

.?.￡4OC=￡C=70c,

試卷第2頁(yè)，共14頁(yè)

教材習(xí)題03

在直徑為650mm的圓柱形油罐內(nèi)裝進(jìn)一些油后，其橫截面如醫(yī)

解題方法①垂

若油面寬AB=600mm,求油的最大深度.

徑定理

②勾股定理

解：過(guò)點(diǎn)Of乍。0^8于點(diǎn)C,交。好點(diǎn)。，連

接

(，由垂徑定理得:

【答案】D

AC=—AB=—x600=300(n?477),

在Rt"C。中,心+0C2=A02,

3002+OC2=325?

解得：0C=125mm,

CD=OD—OC=325-125=200(mm).

答：油的最大深度是200mm.

練考點(diǎn)強(qiáng)知識(shí)/國(guó)練題型強(qiáng)知識(shí)

考點(diǎn)一利用垂徑定理求值

（2025?廣東湛江?二模）

1.如圖，A,B,C在。。上，AC,08交于點(diǎn)。.若4D=CD=8,OD=6,則。。半

A.2/B.6C.8D.10

（2025?北京石景山?二模）

2.如圖，4B為。。的弦，48=8,。4=5,半徑ODL4B于點(diǎn)C,則的長(zhǎng)為,

試卷第3頁(yè)，共14頁(yè)

（24-25九年級(jí)下?廣東廣州?期中）

3.如圖,有一個(gè)底部呈球形的燒瓶,球的半徑為6cm,瓶?jī)?nèi)液體已經(jīng)過(guò)半,最大深度CD=8cm,

則截面圓中弦N3的長(zhǎng)為（）

A.10cmB.4V3cmC.8acmD.4V10cm

（2025?廣西南寧?模擬預(yù)測(cè)）

4.圓底燒瓶是化學(xué)實(shí)驗(yàn)中常用的反應(yīng)容器.圖1是一個(gè)裝有液體的圓底燒瓶（厚度忽略不

計(jì)），圖2是它的側(cè)面示意圖.若燒瓶中液體水平寬度A3為12cm,豎直高度CO為3cm,

則QO的半徑為cm；

O

C

圖2

考點(diǎn)二利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題

（24-25九年級(jí)上?黑龍江牡丹江?期末）

5.已知。。的半徑為13,弦N3平行于弦CD,CD=10,AB=24,和CD之間的距離

是.

（24-25九年級(jí)上?寧夏銀川?期末）

6.已知的半徑為13cm,弦AB〃CD,AB=24cm,CD=10cm,則4B,CZ）之間的

距離為（）

試卷第4頁(yè)，共14頁(yè)

A.17cmB.7cmC.12cmD.17cm或7cm

（23-24九年級(jí)上?浙江溫州?階段練習(xí)）

7.如圖，的兩條弦（4B不是直徑），點(diǎn)E為中點(diǎn)，連接EC,ED.

（2）求證：EC=ED.

（2023?河南駐馬店?二模）

8.如圖，在。。中，45是直徑，肱EF//4B.

（1）在圖1中，請(qǐng)僅用不帶刻度的直尺畫(huà)出劣弧跖的中點(diǎn)P；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

（2）如圖2,在（1）的條件下連接。尸、PF,若O尸交弦所于點(diǎn)0,△尸沙的面積6,且

EF=n,求。。的半徑；

考點(diǎn)三利用垂徑定理求同心圓問(wèn)題

（24-25九年級(jí)上?河南駐馬店?期末）

9.如圖，兩個(gè)圓都是以。為圓心，大圓的弦交小圓于兩點(diǎn).

（2）若28=8,30=1,小圓的半徑為5,求大圓的半徑五的值.

（22-23九年級(jí)上?浙江杭州?階段練習(xí)）

試卷第5頁(yè)，共14頁(yè)

10.如圖，在兩個(gè)同心圓。。中，大圓的弦與小圓相交于C,。兩點(diǎn).

⑴求證：AC=BD.

（2）若4C=2,3C=4,大圓的半徑尺=5,求小圓的半徑八

（2025?廣西南寧?二模）

11.綜合與實(shí)踐

【問(wèn)題情境】如圖1,貼窗花是我國(guó)特有的喜慶文化之一，我們可以從寓意團(tuán)圓平安的窗花

圖案中抽象出一個(gè)由兩個(gè)同心圓構(gòu)成的幾何圖形（共同的圓心稱(chēng)為中心），如圖2,我們稱(chēng)

這種圖形為“環(huán)花”.

【實(shí)踐探究】設(shè)直線(xiàn)/與“環(huán)花”從左到右依次交于點(diǎn)A,B,C,D.

（1）如圖2,當(dāng)直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)中心。時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段與CD的數(shù)量關(guān)系；

⑵如圖3,當(dāng)直線(xiàn)/不經(jīng)過(guò)中心。時(shí)，請(qǐng)證明（1）中的結(jié)論仍然成立；

【問(wèn)題深化】

（3）如圖4,當(dāng)把“環(huán)花”中的兩個(gè)圓形換成兩個(gè)相似的菱形時(shí)（中心點(diǎn)。是這兩個(gè)菱形對(duì)角線(xiàn)

的公共交點(diǎn)，AB〃EF且F,B,D,H四點(diǎn)均在對(duì)角線(xiàn)F”上），類(lèi)似地形成了“方花”,

MN

直線(xiàn)/不經(jīng)中心。時(shí)，與“方花”從左到右依次交于點(diǎn)M,N,P,Q,求F的值.

考點(diǎn)四利用垂徑定理求解其他問(wèn)題

（24-25九年級(jí)上?福建莆田?階段練習(xí)）

12.如圖，等腰△CU8的底邊交于點(diǎn)C、D.求證：AC=BD.

試卷第6頁(yè)，共14頁(yè)

（24-25九年級(jí)上?浙江?期中）

13.如圖，方格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)4,B,C在格點(diǎn)上.

（1）畫(huà)出過(guò)N,B,C三點(diǎn)的圓的圓心P；

⑵求NC的長(zhǎng).

考點(diǎn)五垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用

（24-25九年級(jí)上?云南昆明?期末）

14.有一種叫云南的生活：冬日暖陽(yáng)，倚橋觀(guān)鷗，滇樸倒影，如詩(shī)如畫(huà).如圖1,大觀(guān)河上

的這座圓弧形拱橋建于上世紀(jì)70年代.圖2是拱橋的示意圖.設(shè)前所在圓的圓心為。，

拱橋的拱頂為點(diǎn)C,OCLAB于點(diǎn)D.已知此拱橋的跨徑長(zhǎng)約為16m,拱高約為

5m.求此拱橋所在圓的半徑.

圖1圖2

（24-25九年級(jí)上?陜西西安?期末）

15.某村為了促進(jìn)農(nóng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展，建設(shè)了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚.如圖，這是蔬菜

大棚的截面，形狀為圓弧型，圓心為O,跨度N3（弧所對(duì)的弦）的長(zhǎng)為8米，拱高C。（弧

的中點(diǎn)到弦N8的距離）為2米.求該圓弧所在圓的半徑.

試卷第7頁(yè)，共14頁(yè)

（24-25九年級(jí)上?廣東惠州?期中）

16.“筒車(chē)”是一種以水流作動(dòng)力，取水罐田的工具，點(diǎn)尸表示筒車(chē)的一個(gè)盛水桶，如圖

①.明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖繪出了“筒車(chē)”的工作原理，如圖②.當(dāng)筒車(chē)

工作時(shí)，盛水桶的運(yùn)行路徑是以軸心。為圓心的一個(gè)圓，且圓心始終在水面上方.若圓被水

面截得的弦N2長(zhǎng)為8m,水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圓上的點(diǎn)距離水面的最大

距離）為2米.

①②

（1）求該圓的半徑.

（2）若水面下降導(dǎo)致圓被水面截得的弦的長(zhǎng)度從原來(lái)的8米變?yōu)?米，則水面下盛水桶的

最大深度為多少米？

考點(diǎn)六利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解

（2025?廣西南寧?模擬預(yù)測(cè)）

17.如圖，已知扇形

（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖，在前上求作一點(diǎn)尸，使P4=PB.（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

⑵在⑴的條件下，連接/尸，若//。2=120。,。4=6,求A/OP的面積.

（24-25九年級(jí)上?江蘇蘇州?期末）

18.如圖，48是半圓的直徑，點(diǎn)。為圓心，C是半圓上一點(diǎn)，連接NC.

試卷第8頁(yè)，共14頁(yè)

c

(1)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在半圓上確定一點(diǎn)P,使得麗=元(保留作圖痕跡);

(2)在(1)的條件下,連接尸3,PC,若/8=10,/C=6,求四邊形/8PC的面積.

(24-25九年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?期中)

19.如圖，48為。。的直徑，點(diǎn)、C、D是前的三等分點(diǎn)，ZAOE=60°,求Z8OC的

度數(shù).

(24-25九年級(jí)上?上海?階段練習(xí))

20.如圖，點(diǎn)4B,C在。。上，順次連接48,BC,CA,且^^=210。，^C=150°-

(1)求/A4C的度數(shù)；

(2)若。。的半徑為2,求△NBC的面積.

考點(diǎn)七利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證

(24-25九年級(jí)下?廣東茂名?階段練習(xí))

21.如圖，D,E分別是。。的半徑0403上的點(diǎn)，且CDJ_O4CE1.OB,垂足分別為

D,E,CD=CE.求證：AC=CB.

試卷第9頁(yè)，共14頁(yè)

（24-25九年級(jí)上?江西贛州?期末）

22.如圖，在。。中，AB=AC，AB、/C是互相垂直的兩條弦，0E1AC,

垂足分別為。、E.求證：OD=OE.

（24-25九年級(jí)上?山東泰安?期末）

23.如圖，43,C,D是。。上的點(diǎn)，AC=BD,AC,BD分別交OD,0C于點(diǎn)求證:

(1)//=/。；

⑵CM=DN.

8串知熾識(shí)框架

值）知識(shí)導(dǎo)圖記憶

試卷第10頁(yè)，共14頁(yè)

1.垂徑定理的有關(guān)運(yùn)算

2.垂徑定理的的實(shí)際應(yīng)用

3.利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解

03過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升

一、單選題

（2025?山西長(zhǎng)治?三模）

24.如圖，是。。的直徑，弦BC與AD交于點(diǎn)、E,連接AC,CD,BD.若

BD=CD,ZBAC=50°,則//BC的度數(shù)為（）

A.50°B.55°C.60°D.65°

（2025?陜西渭南?二模）

25.如圖，ZUBC內(nèi)接于。。，4B是。。的直徑，=10,點(diǎn)。是劣弧前的中點(diǎn)，連接

OD交BC于點(diǎn)、E,DE=1,則弦NC的長(zhǎng)為（）

試卷第11頁(yè)，共14頁(yè)

c

A.3B.4C.6D.8

（2025?新疆喀什?二模）

26.“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，

不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺.問(wèn)：徑幾何？”用現(xiàn)在的幾何語(yǔ)言表達(dá)即：如

圖，CD為。。的直徑，弦垂足為點(diǎn)￡,CE=1寸，48=14寸，則直徑CD的長(zhǎng)

A.48寸B.24寸C.25寸D.50寸

二、填空題

（2025?廣東廣州?二模）

27.在練習(xí)擲鉛球項(xiàng)目時(shí)，某同學(xué)擲出的鉛球在操場(chǎng)地上砸出一個(gè)直徑為6cm、深2cm的

小坑，則該鉛球的直徑為cm.

（2025?江蘇無(wú)錫?二模）

28.如圖，將。。的一部分沿著弦翻折，劣弧恰好經(jīng)過(guò)圓心。，4B=6,則。。的半徑

（24-25九年級(jí)上?山東濱州?階段練習(xí)）

29.常用鋼珠來(lái)測(cè)量零件上小圓孔的寬口，假設(shè)小圓孔的寬口的長(zhǎng)度是24mm,測(cè)得鋼

珠頂端離零件表面的距離為18nm1,如圖所示，則這個(gè)鋼珠的直徑為.

試卷第12頁(yè)，共14頁(yè)

（24-25九年級(jí)下?浙江寧波?階段練習(xí)）

30.如圖，AD是半圓。的直徑，點(diǎn)8、C在半圓上，且筋=病=①，點(diǎn)尸在①上，若

NPCB=130°,則NPBA等于度

三、解答題

（2025?安徽淮北?二模）

31.如圖，為直徑，￡為弦5c的中點(diǎn)，連接AC.

⑴求證：△N8C為等腰三角形；

（2）連接8DCD,若40=10,四邊形/ADC的面積為40,求。￡的長(zhǎng).

（2025?甘肅平?jīng)?一模）

32.筒車(chē)（圖1）是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，如圖2,。。表示筒車(chē)的外輪廓，AB

為筒車(chē)的涉水寬度，E尸為涉水深度（筒車(chē)下方最低點(diǎn)到水面的距離，E、尸分別在線(xiàn)段

AB、劣弧Ag上）.

圖1

試卷第13頁(yè)，共14頁(yè)

⑴請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中作出線(xiàn)段所，用其長(zhǎng)度表示涉水深度(保留作圖痕跡,

不寫(xiě)作法)；

(2)根據(jù)(1)中作出的圖形，若筒車(chē)的涉水寬度N3=3.6m,涉水深度所=0.6m,求該筒

車(chē)的半徑長(zhǎng).

(24-25九年級(jí)上?江西贛州?期末)

33.如圖，正方形ABC。內(nèi)接于。。，“為弧中點(diǎn)，連接57%。飲.

(1)求證：△AffiC是等腰三角形；

⑵若AB=2,求點(diǎn)M到BC的距離.

(24-25九年級(jí)上?山東煙臺(tái)?期末)

34.如圖1,裝有水的水槽放置在水平桌面上，其橫截面是以為直徑的半圓O,

AB=50cm,MN為水面截線(xiàn)，MN=48cm,G”為桌面截線(xiàn)，MN//GH.

(1)作。CLACV于點(diǎn)C,求OC的長(zhǎng)；

(2)將圖1中的水倒出一部分得到圖2,發(fā)現(xiàn)水面高度下降了13cm,求此時(shí)水面截線(xiàn)減少了

多少？

試卷第14頁(yè)，共14頁(yè)

1.D

【分析】本題考查了垂徑定理的推論以及勾股定理，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的

關(guān)鍵.

根據(jù)垂徑定理的推論得到,再對(duì)VX^OAD運(yùn)用勾股定理即可求解半徑.

【詳解】解：???。8為半徑，4D=CD=8,

.■.OD1AC,

0D=6,

；。=+㈤=10，

故選：D.

2.2

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解題關(guān)鍵是利用勾股定理求出待求線(xiàn)段.

根據(jù)垂徑定理，先利用勾股定理求出OC,再求出CA的長(zhǎng).

【詳解】解：???N8為。。的弦，AB=8,半徑于點(diǎn)C,

：.AC=-AB=4,

???OC=yjAO2-AC2=A/52-42=3，

:.CD=OD-OC=5-3=2,

故答案為：2.

3.C

【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解

題的關(guān)鍵.由垂徑定理得==再由勾股定理得NC,進(jìn)而完成解答.

【詳解】解：連接04,

A/^_C__\B

由題意得：OCLAB,

：.AC=BC=-AB,AOCA=90°,

2

答案第1頁(yè)，共26頁(yè)

OA=OD=6cm,CD=8cm,

.-.OC-CD-Or>=8-6=2(cm),

在RtAO/C中，由勾股定理得：/C=&2-22=4行(cm),

.?.AB=2/C=8近(cm),

故選：C.

4.7.5

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.由垂徑定理

得到4D=L/8=6cm,設(shè)。。的半徑為xcm,則O/=OC=xcm,OD=OC-CD=x-3,

2

在中，根據(jù)勾股定理有㈤+Q?=*,代入即可解答.

【詳解】解：連接40,

OC1.AB,

...AD=gAB=gxl2=6(cm),

設(shè)。。的半徑為xcm,則OA=OC=xcm,

：.0D=0C—CD=x—3,

?在中，㈤+。=Of,

即6+(x-3)~=x2,

解得：x-7.5,

??.OO的半徑為7.5cm.

故答案為：7.5.

5.7或17

【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，分當(dāng)。。的圓心。位于43、。之間時(shí)，

當(dāng)。。的圓心。不在兩平行弦/8、CD之間時(shí)，兩種情況分別利用勾股定理和垂徑定理求

出點(diǎn)。到AB和CD的距離，據(jù)此可得答案.

【詳解】解：如圖，當(dāng)。。的圓心。位于/8、8之間時(shí)，作于點(diǎn)E,并延長(zhǎng)

答案第2頁(yè)，共26頁(yè)

EO,交C￡>于尸點(diǎn).分別連接/。、CO.

-.?Cr>=10,AB=24,

：.AE=-AB=U,CF=-CD=5,

22

在RtAAEO中，由勾股定理得OE=>JOA2-AE2=5，

在Rtac尸。中，由勾股定理得OE=Joc2-c尸=12,

:.EF=OE+OF=5+12=17,

???/8和CD之間的距離為17；

如圖所示，當(dāng)。。的圓心。不在兩平行弦C。之間（即弦/5、8在圓心。的同側(cè)）

時(shí)，

同理可得：。尸=12,OE=5,

：.EF=OF-OE=1,

■.AB和CD之間的距離為7；

綜上所述，和CD之間的距離為7或17.

故答案為：7或17.

6.D

【分析】此題考查了垂徑定理，勾股定理.過(guò)點(diǎn)。作OELCD于點(diǎn)E,延長(zhǎng)交43于點(diǎn)R

連接。8,OD,由/3〃CD得到。尸，利用垂徑定理得到?！?5cm,AF=12cm,利J

用勾股定理求出。E，OF,再分當(dāng)CD在圓心同側(cè)時(shí)，當(dāng)48,CD在圓心兩側(cè)時(shí)求出答

案.

答案第3頁(yè)，共26頁(yè)

【詳解】解；如圖所示，當(dāng)平行弦43,在圓心。的同側(cè)時(shí),

過(guò)點(diǎn)。作垂足為E,延長(zhǎng)OE交CD于點(diǎn)尸，連接CM,0C,

則NE=2/B=12cm,CF=-CD=5cm.

22

在Rt2\/0E中，?！?Jo/?一十爐=5折

在RtACO^中，OF=y/0C2-CF2=12cm.

故EF=OF-OE=7cm.

如圖所示，當(dāng)平行弦N8,CD在圓心。的異側(cè)時(shí)，

過(guò)點(diǎn)。作0E_L/8,垂足為E,延長(zhǎng)EO交CO于點(diǎn)尸，連接CM,OC,

則/E=J/3=12cm,CF-CD=5cm.

22

在RtZ\/OE中，OE=SA。-AE?=5cm.

在RtACOF中，0F=yj0C2-CF2=12cm.

故EF=OE+OF=17cm.

綜上，AB,CD之間的距離為7cm或17cm,

故選：D.

7.(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)依據(jù)垂徑定理的推論平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦可得結(jié)論;

(2)證明斯/CD,由垂徑定理可得結(jié)論.

答案第4頁(yè)，共26頁(yè)

【詳解】（1）證明：如圖，連接EO,

???過(guò)點(diǎn)。，E為的中點(diǎn),

（2）證明：延長(zhǎng)EO交CD于尸.

???E01AB,AB//CD,

EFLCD.

???斯過(guò)點(diǎn)。，

CF=DF,

.?.KF垂直平分CD,

EC=ED.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，靈活利用垂徑定理及其推論是解題的關(guān)鍵.

8.（1）見(jiàn)解析

⑵10

【分析】（1）由圓的對(duì)稱(chēng)性，連接/尸、BE交于點(diǎn)連接。河并延長(zhǎng)交。。于尸點(diǎn)即可;

（2）連接。尸，如圖，根據(jù)垂徑定理得到。尸，斯，EQ=FQ=；EF=6,再利用三角形面

積公式計(jì)算出P0=2,設(shè)。。的半徑，則OF=r,利用勾股定理得到

62+（r-2）2=r2,解方程即可.

【詳解】（1）解：連接/尸、BE,它們相交于點(diǎn)連接0河并延長(zhǎng)交。。于P點(diǎn)，如圖

1,

答案第5頁(yè)，共26頁(yè)

圖1圖2

點(diǎn)P為所作；

(2)連接OF,如圖2,

;點(diǎn)尸為劣弧所的中點(diǎn)，

OP1EF,EQ=FQ=^EF=6,

△P0F的面積為6,

PQx6=6,

解得P0=2,

設(shè)。。的半徑「，貝OF=r,

在Rt^OQP中，62+(—2)2=/,

解得廠(chǎng)=10,

即。。的半徑為10.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，涉及垂徑定理和勾股定理，解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟

悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

9.(1)見(jiàn)解析

(2)大圓的半徑為4加

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理；

(1)作于區(qū)根據(jù)垂徑定理得到4&=8及廢=。及即可得到4。=8。；

(2)連接OD,OB,在Rt.OBE和RtZXODE中根據(jù)勾股定理得到OD?-DE2=OB--BE1,

代入求值計(jì)算即可.

【詳解】(1)證明：如圖：作0EL48于E,

答案第6頁(yè)，共26頁(yè)

:.BE-DE=AE-CE,

即AC=BD；

（2）解：如圖，連接

BE=AE=4,?！?4-1=3

在RMOBE和RtZXODE中，由勾股定理，得:

OE2=OD2-DE2,OE2=OB2-BE2,

:.OD2-DE2=OB2-BE2,

BP52-32=O52-42,

解得：OB=AC

，大圓的半徑為48.

10.(1)證明見(jiàn)解析

(2)小圓的半徑r為JT7.

【分析】(1)過(guò)。作于點(diǎn)￡,由垂徑定理可知￡為CD和的中點(diǎn)，則可證得結(jié)

論；

(2)連接OC,CM,由條件可求得CD的長(zhǎng)，則可求得CE和/￡的長(zhǎng)，在RtZ\/OE中，利

用勾股定理可求得OE的長(zhǎng)，在RMCOE中可求得OC的長(zhǎng)；

【詳解】(1)證明：過(guò)。作于點(diǎn)￡,如圖1,

答案第7頁(yè)，共26頁(yè)

A

一

圖1

由垂徑定理可得AE=BE,CE=DE,

：.AE-CE=BE-DE,

；.AC=BD.

(2)解：連接。C,CM,如圖2,

AB=2+4=6,

AE=3,

；,CE=AE—AC=l,

在RtA40E中，由勾股定理可得。爐=o/2_/爐=52-32=16,

在RLCOE中,由勾股定理可得OC2=OE2+CE2=16+12=17,

oc=Vn.即小圓的半徑廠(chǎng)為JT7.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理與勾股定理的知識(shí).此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)

合思想的應(yīng)用，注意輔助線(xiàn)的作法.

11.(1)AB=CD

⑵見(jiàn)解析

(3)1

【分析】(1)根據(jù)OB=OC,再利用線(xiàn)段的和差即可求解；

(2)過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)E,利用垂徑定理得到/￡BE=CE,再利用線(xiàn)段的和差

即可證明；

(3)連接尸”，過(guò)點(diǎn)N作NR〃FH交EF于點(diǎn)R,過(guò)點(diǎn)尸作尸TII尸打交G8于點(diǎn)T,利用

答案第8頁(yè)，共26頁(yè)

平行四邊形的判定得到順必是平行四邊形，得出順=尸5,ZNRM=ABFR,同理可得

PT=DH,ZDHT=ZPTQf再利用菱形的性質(zhì)證明名△QPT,推出AW=尸。，即

可得出答案.

【詳解】（1）解：??,CM=。。，0B=0C,

：.OA-OB=OD-OC,

??.AB=CD.

???OEII,

AE=DE,BE=CE,

??.AE-BE=DE-CE,

AB—CD.

(3)解：如圖，連接EH,過(guò)點(diǎn)N作順I(yè)I切交所于點(diǎn)R,過(guò)點(diǎn)尸作PCI尸〃交于點(diǎn)

-.-AB^EF,NR\\FH,

二四邊形是平行四邊形，

NR=FB,ZNRM=ZBFR,

同理可得，PT=DH,2DHT=ZPTQ,

?.?四邊形ABCD與四邊形EFGH均為菱形，0為它們的中心,

：.OF=OH,OB=OD,GH||EF,

：.FB=DH,NPQT=NNMR,NDHT=ZBFR,

NR=PT,ZNRM=ZPTQ,

答案第9頁(yè)，共26頁(yè)

???^MNR^AQPT(AAS),

：.MN=PQ,

MN1

:.----1.

PQ

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、菱形的性質(zhì)、相似圖形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)與判定、

全等三角形的性質(zhì)與判定，學(xué)會(huì)添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

12.證明見(jiàn)解析

【分析】本題考查了垂徑定理和等腰三角形的性質(zhì)三線(xiàn)合一，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的

關(guān)鍵.

過(guò)點(diǎn)。點(diǎn)作垂足為根據(jù)垂徑定理可得=,再根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)

合一的性質(zhì)可得=,進(jìn)而可求證NC=5D.

【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)。點(diǎn)作（W,CD,垂足為

OMLCD,

CM=DM,

???△0/3為等腰三角形,

?1?AM=BM,

■.AM-CM=BM-DM,

■■AC=BD.

13.（1）見(jiàn)解析;

⑵2石.

【分析】（1）連接BC,分別作線(xiàn)段5c的垂直平分線(xiàn)，交點(diǎn)即為過(guò)4,B,C

三點(diǎn)的圓的圓心P;

（2）利用勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：如圖，連接BC,分別作線(xiàn)段N2,5c的垂直平分線(xiàn)，相交于點(diǎn)

P,

則點(diǎn)尸即為所求.

答案第10頁(yè)，共26頁(yè)

(2)解：由勾股定理得，/C="+22=2收

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理、勾股

定理是解答本題的關(guān)鍵.

14.8.9m

【分析】本題考查了勾股定理和垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

連接04,設(shè)拱橋所在圓的半徑則0D=0C-CD=(r-5)m,由垂徑定理可得

AD=BD^-AB=8m,在Rt44DO,運(yùn)用勾股定理求解即可.

2

【詳解】解：連接。4,

由題意知：/3=16m,CD=5m,設(shè)拱橋所在圓的半徑rm,則。。=0C-CD=(-5)m.

?.?宛是半徑，且OC—3

AD=BD=-AB=^m

2

在RtZ\4DO中，㈤+d=Of

82+(r-5)2=r2,

解得：r=8.9m,

答：此橋拱所在圓的半徑為8.9m.

15.該圓弧所在圓的半徑為5米

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意，通過(guò)勾股定理建立方程是

解題的關(guān)鍵.

由垂徑定理得===設(shè)。。的半徑為「米，則OC=(r-2)米.在

2

RSO/C中，由勾股定理得：AC2+OC2=AO2,代入解方程即可.

答案第n頁(yè)，共26頁(yè)

【詳解】解：經(jīng)過(guò)圓心，。為弧N3中點(diǎn)，

.-.AC^BC^^AB=4,OD1AB,

設(shè)。。的半徑為「米，則。C=（r-2）米.

在RtA0/C中，由勾股定理得：AC2+OC2=AO2,

即42+（r-2）2=r2,

解得r=5.

即該圓弧所在圓的半徑為5米.

16.（1）該圓的半徑為5米

（2）1米

【分析】此題考查勾股定理，垂徑定理.

（1）過(guò)。作于點(diǎn)C,交。。于點(diǎn)。，根據(jù)垂徑定理有==4米，設(shè)圓的半

徑為「米，貝4。/=。。=，米，OC=OD-CD=i■-2（米），在RM/。。中，根據(jù)勾股定理

即可構(gòu)造方程，求解即可；

（2）如圖所示，設(shè)水面下降至/⑻，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)C',交。。于點(diǎn)。，根據(jù)垂

徑定理有HC'=g/?=3米，在RtA/'OC'中，根據(jù)勾股定理求得0C'=^OAI2-A'C'2=4米,

則。77=。。-。（7=1米，即可求解.

過(guò)。作OD_L4B于點(diǎn)C,交。。于點(diǎn)。，則OC_L/B,CD=2

.-.AC=-AB=-xS=4（米）

22

設(shè)圓的半徑為廠(chǎng)米，則。/=。。=廠(chǎng)米，OC=OD-CD^r-2（米）,

在RM/OD中，0c2+/。2=0/2,

即（r—2）2+42=r2,

答案第12頁(yè)，共26頁(yè)

解得，=5,

???該圓的半徑為5米；

（2）如圖所示，設(shè)水面下降至過(guò)點(diǎn)。作ODU48'于點(diǎn)C',交。。于點(diǎn)。,

」x6=3（:米）,

22

???。。的半徑為5米，

。4=。。=5米

.?.在Rt"'OC'中，OC=ylOA'2-A'C'2=A/52-32=4（米），

■.CD'=OD'-OC=5-4=1（米），

水面下盛水桶的最大深度為1（米）.

17.（1）見(jiàn)解析

（2）973

【分析】本題考查尺規(guī)作圖一作角平分線(xiàn)，弧與圓心角的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)與判定,

勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握作角平分線(xiàn)的方法.

（1）作的角平分線(xiàn)交蕊于尸，則了金;，即知尸4=必，尸即為符合條件的點(diǎn).

（2）過(guò)點(diǎn)P作尸。，/。于點(diǎn)。，證明ANOP是等邊三角形，根據(jù)勾股定理求得尸。，再根

據(jù)三角形的面積公式，即可求解.

【詳解】（1）解：以點(diǎn)。為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交04,08于兩點(diǎn)，再以?xún)牲c(diǎn)

為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于一點(diǎn)，連接該點(diǎn)與點(diǎn)。交荔于尸，

即：作的角平分線(xiàn)交同于P,

答案第13頁(yè)，共26頁(yè)

???o尸平分N/OB,

ZAOP=ZBOP,

"AP=BP'

：.PA=PB,

即：該點(diǎn)尸即為所求.

(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作尸。，/。于點(diǎn)

,AP=BP

...ZAOP=ZBOP=-ZAOB=60°

2

又OA=OP

??.△NO尸是等邊三角形，

^■■■OA=6,PQLAO

.-.AQ=^AO=3

???PQ=y]AP2-AQ2=V62-32=373

.?.△NO尸的面積為g/O.尸Q=gx6x3百=94

18.⑴見(jiàn)解析

⑵32

【分析】本題考查作圖一復(fù)雜作圖，垂徑定理，勾股定理，圓周角定理；

(1)過(guò)點(diǎn)。作0PL8C交。。于點(diǎn)尸，點(diǎn)尸即為所求；

(2)利用勾股定理求出8C,再求出利用三角形面積公式求解即可.

【詳解】(1)解：如圖，點(diǎn)尸即為所求；

c￥

答案第14頁(yè)，共26頁(yè)

(2)解：???45是直徑,

:.ZACB=90°,

BC=AB1-AC1=7102-62=8，

-OP1BC,

:.CH=BH,

?.?OA=OB,

OH=—AC=3,

2

???OP=5,

:.PH=OP-OH=5-3=2,

???四邊形/BPC的面積=+?尸7/=』X6X8+LX8X2=32.

2222

19.40°

【分析】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，先求出/"加=120。，根據(jù)點(diǎn)C、D是靛

的三等分點(diǎn)，求出前的度數(shù)是40。，即N5OC=40。，

【詳解】解：為。。的直徑，

.?.//。8=180。

???AAOE=60°

ABOE=180?！?/OE=180°-60°=120°

???點(diǎn)C、D是前的三等分點(diǎn)

；?四的度數(shù)是:、120。=40。

ZJ5OC=40°

故答案為40°

20.(l)NBNC=30。

⑵S"=2+G

【分析】本題考查了圓中弧、弦、角的關(guān)系，垂徑定理以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)結(jié)

論即可.

(1)根據(jù)前=斜-就即可求解；

(2)求出成的度數(shù)可得/3=/C,過(guò)點(diǎn)A作/。12C交3c于點(diǎn)。，連接08OC,分

答案第15頁(yè)，共26頁(yè)

別求出5C,40即可求解.

【詳解】（1）解：，^=210。，AC=150°

???前二60。，

，ZBAC=30°.

（2）解：-ACB=210°^AC=150°^

???AB=AC=150°^

AB=AC,

如圖，過(guò)點(diǎn)A作4D/5。交BC于點(diǎn)。，連接08OC,

則4D過(guò)O,

由（1）可得/3。。=60。.

因?yàn)镺8=OC

.?./oc是等邊三角形，

ZBOD=-ZBOC=30。，BC=OB

2

???。。的半徑為2,

：.BC=OB=2,

：.BD=]-OB=\

2

???OD=yJOB2-BD2=V3

AD=OA+OD=2+V3，

S.,?=—xBCxAD=2+V3.

/\r2

21.見(jiàn)解析

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂徑定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系等知

識(shí)點(diǎn)，求出/CAO=/CEO=90。，根據(jù)HL得出Rt^C。?？誖t^CEO,根據(jù)全等三角形的

答案第16頁(yè)，共26頁(yè)

性質(zhì)得出N4OC=N8OC,即可得出答案.

【詳解】證明：,??CD_LO4CE±OB,

.-.ZCDO^ZCEO=90°,

在RUCOD和RtAC(9￡中，

(CO=CO

"[cz)=CE'

...RtACOD義RtACOE(HL),

.-.ZAOC=ZBOC,

■■AC=CB-

22.證明見(jiàn)解析

【分析】本題考查了弧弦圓心角的關(guān)系，垂徑定理，正方形的判定和性質(zhì)，由弧弦圓心角的

關(guān)系得=進(jìn)而由垂徑定理可得AD=/E,再證明四邊形4E0D是正方形即可求證,

掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】證明：「忌=就，

：.AB=AC,

???OD1AB,OE1AC,

.-.AD=-AB,AE=-AC,ZODA=ZOEA=90°,

22

*'?AD=AE,

???ABIAC,

???ND4E=90。,

???/ODA=ZOEA=ZDAE=90°,

???四邊形ZEO。是矩形，

AD=AE,

四邊形/EOD是正方形，

OD=OE.

23.(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由圓中弦、弧和圓心角的關(guān)系得到乙再由圓的半徑相等，結(jié)合

答案第17頁(yè)，共26頁(yè)

兩個(gè)三角形全等的判定定理得到A/OCAOOB（SAS）,最后由全等三角形的性質(zhì)即可得證;

（2）由等腰三角形性質(zhì)得到乙4=NC,ZZ）=Z5,再結(jié)合（1）中MOC-DOB,即可

得到ZA=ZB=ZC=ZD,從而由兩個(gè)三角形全等的判定定理得到AAONSBOM（ASA）,

最后由全等三角形的性質(zhì)即可得證.

【詳解】（1）證明：???/C=3。，

:.AC=BD>

ZAOC=ZDOB,

OA=OD=OC=OB,

在△/OC和中，

OA=OD

<ZAOC=ZDOB

OC=OB

/XAOCgADOS（SAS）；

/-A=/D；

（2）證明：\-OA=OC=OD=OB,

N4=/C,/D=/B,

由（1）知△/。。/△。。臺(tái)，

/./A=/D,

:.ZA=ZB=ZC=ZDf

?；NAOC=NDOB,ZCOD=ZCOD

:.ZAON=ZBOM,

在△4。。和△003中，

ZA=ZB

<OA=OB

AAON=ZBOM

.?.△NON之△BOM（ASA）,

OM=ON,

???OD=OC,

:.CM=DN.

答案第18頁(yè)，共26頁(yè)

【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合，涉及圓中弦、弧和圓心角的關(guān)系，圓的基本性質(zhì)，全等三角形的

判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟記圓的性質(zhì)及三角形全等的判定與性質(zhì)是

解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

24.D

【分析】本題主要考查垂徑定理及等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂徑定理及等腰三角

形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；由題意易得AB=AC,然后可得

NDAB=gNBAC=25。,進(jìn)而問(wèn)題可求解.

【詳解】I?：-.-BD=CD,

是。。的直徑，

.■.AD1BC,AB=AC，

：.AB=AC,N4EB=90°,

ZBAC=50°,

NDAB=L/BAC=25°,

2

ZABC=90°-ZDAB=65°；

故選D.

25.D

【分析】該題考查了垂徑定理，三角形中位線(xiàn)定理，根據(jù)垂徑定理得出CE=2E,從而得

是△ABC的中位線(xiàn)，AC=2OE,.

【詳解】解：?.?點(diǎn)。是劣弧前的中點(diǎn)，。。是半徑，

CE=BE,

CE=BE,OB-OA,

????！晔恰?3。的中位線(xiàn)，

：.AC=WE9

vDE=\,OD=5,

.???！?5-1=4,

??./C=2OE=8.

故選：D.

答案第19頁(yè)，共26頁(yè)

26.D

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，連接設(shè)圓的半徑為「，在中，利用

勾股定理列出方程進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：連接CM,設(shè)圓的半徑為「，貝的OA=OC=r,

???8為。。的直徑，弦4BLCD,

：.AE=-AB=1,

2

在RtZUE。中，由勾股定理，得：OA2=OE2+AE2,即：r2=(r-l)2+72,

???r=25,

.?.C。=2/=50；

故選D.

【分析】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理，利用勾股定

理進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.由題意畫(huà)出圖形，設(shè)出未知數(shù)，由勾股定理列出方程，解方程,

即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：如圖，由題意知，AB=6cm,CD=2cm,是半徑，^,OCLAB,

設(shè)鉛球的半徑為-cm,則。C=(廠(chǎng)-2)cm,

在RM/OC中，根據(jù)勾股定理得：0c2+/。2=。/2,

即(r-2)2+32=r2,

答案第20頁(yè)，共26頁(yè)

解得：「―13，

4

13

則鉛球的直徑為：2r=y(cm),

13

故答案為：—■

28.2百

【分析】本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、垂徑定理，掌握翻轉(zhuǎn)變換是一種對(duì)稱(chēng)變換，折疊前

后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

過(guò)。作垂直于42的半徑OC,設(shè)交點(diǎn)為。，連接根據(jù)折疊的性質(zhì)可求出。。的長(zhǎng);

根據(jù)勾股定理可㈤=Of,由垂徑定理知=進(jìn)而列方程求解即可.

【詳解】解：過(guò)。作。于。，交。。于C,連接04,設(shè)CM=OC=O3=r,

——4一一

C

由折疊可知：0。=。。=/。。=?,

中，0D=CD=gOC=r,AD=BD=-AB=3,

22

根據(jù)勾股定理，得：㈤+d=Of，

32+(gr>=/,

解得：廠(chǎng)=26(負(fù)值已經(jīng)舍去)

故答案：2VL

29.26

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理等.根據(jù)題意過(guò)圓心作4