第07講整式的除法

3???

?思維導(dǎo)圖

單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)嘉分別相除后，作為商的因

式；對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作

為商的一個(gè)因式.

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)

式，再把所得的商相加.

A核心考點(diǎn)聚焦

1.單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式<

2.用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的除法

3?多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

4.整式四則混合運(yùn)算

5.整式混合運(yùn)算中的化簡(jiǎn)求值

6.利用豎式的方法求整式中多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

一、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

單項(xiàng)式的除法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的

字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.

注意：首先確定結(jié)果的系數(shù)(即系數(shù)相除)，然后同底數(shù)幕相除，如果只在被除式里含有的字母，則連同它

的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.

根據(jù)法則可知，單項(xiàng)式相除與單項(xiàng)式相乘計(jì)算方法類似，也是分成系數(shù)、相同字母與不相同字母三部分分

別進(jìn)行考慮.

二、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商

相力口，即(a+b+c)+m=a+m+b2m+c+m.

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式其特點(diǎn)是把多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，另外還要特別注意符號(hào).

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，注意多項(xiàng)式各項(xiàng)都包括前面的符號(hào).

0B??

i.進(jìn)行整式的混合運(yùn)算時(shí)，注意符號(hào)的變換.

2.利用豎式的方法求整式中多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式時(shí)，多項(xiàng)式要按指數(shù)從高到低排序.

A考點(diǎn)剖析

考點(diǎn)一、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

例題1.計(jì)算：

(l)—5a%3c+i5〃%;(2)-(3)6x2y54-^3xy2)2.

【解析】(1)-5a5b3c^l5a4b=-^ab2c；

243

(2)-?xy+(一1'"孫2]="|辦3,；

(3)6%2y5+(3盯2)2=612,5+9]2y4=gy.

【變式訓(xùn)練】

1.計(jì)算：(1)(—3f)W.W；(2)(-26Z2Z?)2\-3a2b2^^-6a3b3).

=—12x4;

(2)(-2a%y.(~3a2b2)+(-6a3b3)

=(4/廿).(一3間+(_6間

=4X3+6"4+2-362+2-3

=2a3b.

考點(diǎn)二、用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的除法

例題2.月球距離地球約為3.84x105千米，一架飛機(jī)速度為8x102千米/時(shí)，若坐飛機(jī)飛行這么遠(yuǎn)的距離需

小時(shí).(結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示)

【答案】4.8xl02

4R4x1o5

【解析】由題意得：飛機(jī)飛行時(shí)間為：—4X1；=4.8x1023,故答案為：4.8X102.

8xl02v'

【變式訓(xùn)練】

1.計(jì)算：（3X106）^（5X103）=—.

【答案】6xl02

【解析】（3x106）+（5x103）

=（3:5）X（1O6+IO3）

=0.6x103

=6xl（）2,

故答案為：6xl02.

2.學(xué)校圖書館藏書約3.6x10"冊(cè)，學(xué)?，F(xiàn)有師生約1.8x103人，每個(gè)教師或?qū)W生假期平均最多可以借閱冊(cè)

圖書.

【答案】20

【解析】由題意得：3.6X104^（1.8X103）=2X10=20.故答案為：20.

考點(diǎn)三、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

例題3.計(jì)算：

⑴（3x?y2-2xy2+盯）孫；⑵（12/-4/_8/）+（2〃）2.

【解析】(1)(3//一2孫2+孫)孫=6孫一4y+2；

(2)(12/-4/-8/)+(2a)2

=(12/_4/_8片)+4〃

—3a2—a-2?

【變式訓(xùn)練】

1.計(jì)算：(2x3y2-4x2y)H-(-2xy).

【解析】(2//一4/目+(-2孫)

=2x3/4-(-2xy)-4x2y-^-(-2xy)

=-X2J+2X.

2.計(jì)算：(1)(—mn2-6mn3+—n2|4-2n2；-2x3y+^x4y

o

22

【角軍析】(1)原式=w加〃2+2/—+2/+2〃2

=—m—3mn+—；

53

原式=2xy+&3y

(2)

=4y2+；x-4.

考點(diǎn)四、整式四則混合運(yùn)算

例題4.計(jì)算：

(1)7m-m4—(—3m2)+2療；(2)[(m+ri)(jn—〃)+(一〃y]+2m.

【解析】(1)卜根一(一3療2M

=(7m5—9m4)4-2m2

=7m54-2m2-9m4+2m2

=—m3-—m2；

22

(2)[(m+〃)(根—〃)+(—〃)2]+2相

=(m2—n2+n2)4-2m

=m24-2m

1

=-m.

2

【變式訓(xùn)練】

1.計(jì)算：

(1)(〃+-2c)-(4〃。20—8Q2c2)；

⑶(2%、).(一2孫)+(-2%3y)-j-^2%2)；

(4)(6rr^n—6m2n2—3m2).3〉)

[尚軍;|^】(1)一2c)—(4〃。%—8a2c2).4ac

=ab—2ac+b2—Tbc—b1+2ac

=ab-2bc；

(3)(2x3y)2-(-2xy)+(-2x3y)3-2x2

=4x6y2?(-2xy)+(-8x9j3)-j-2x2

=(-8X7/)+(-4X7/)

=-12x7y3；

(4)(6m1n-Gn^n2-3m2).(-3療)

=—2n+2n2+1.

考點(diǎn)五、整式混合運(yùn)算中的化簡(jiǎn)求值

例題5.先化簡(jiǎn)，再求值：［(x-2y)2-(x+3y)a-3y)+3y1+(-4y),其中x=2023,y=.

【解析】［(x-2y)2-(x+3y)(x-3y)+3y〔+(_4y)

二產(chǎn)-4xy+4y2-(Y-9J2)+3J2

=(f—4沖+4y2—f+9/+3y2).(_4y)

=(7切+16y2)+(-4y)

=x-4y；

當(dāng)xnZOZ2yu-"1■時(shí)，

4

原式=2023一4x1_；)=2023+1=2024.

【變式訓(xùn)練】

1.先化簡(jiǎn)，再求值：［(x+y)(y-%)+(%+?-4y］+2y,其中產(chǎn)―1,y=2.

【解析】原式=(/一爐+爐+2盯+/—4y)+2y

=x+y—2；

當(dāng)x=—l,y=2時(shí)，原式=—1+2—2=—1.

2.先化簡(jiǎn)，再求值：［(3x-2y)(3x+y)-3(x-y)(x+y)-(-y+2x)2卜x,其中x=Ly=2.

【解析】原式=(9/-2/-3孫-31+3/-4/+例-/『

二(2/+盯)+%

=2x+y.

當(dāng)x=l,y=2時(shí)，原式=2xl+2=4.

考點(diǎn)六、利用豎式的方法求整式中多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

例題6.閱讀與思考

我們學(xué)過單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，那么多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式該怎么計(jì)算呢？請(qǐng)同學(xué)們閱讀“刻」

苦小組”的項(xiàng)目實(shí)施過程，幫助他們解決項(xiàng)目實(shí)施過程中遇到的問題.

項(xiàng)目主題：用豎式的方法解決多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式.

項(xiàng)目實(shí)施：

任務(wù)一搜集資料：我們也可以用豎式進(jìn)行類似演算，即先把被除式、除式按某個(gè)字母的指數(shù)從大到小依次

排列項(xiàng)的順序，并把所缺的次數(shù)項(xiàng)用零補(bǔ)齊，再類似數(shù)的豎式除法求出商式和余式；其中余式為0或余式

的次數(shù)低于除式的次數(shù).

(1)請(qǐng)把+5無+丁一6按x的指數(shù)從大到小排列：.

任務(wù)二豎式計(jì)算：

例如：計(jì)算(8d+6x+l)+(2x+l),可依照672—21的計(jì)算方法用豎式進(jìn)行計(jì)算.

324x+l

2

21)6722x+1)8x+6%+1

638x2+4x

422x+l

422x+l

00

因此+6x+l)+(2尤+l)=4x+l.

(2)“刻苦小組”把小學(xué)的除法運(yùn)算法則運(yùn)用在多項(xiàng)式除法運(yùn)算上，這里運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是().

A.數(shù)形結(jié)合B.類比C.方程

任務(wù)三學(xué)以致用

(3)(4》2+5工+%3-6)山+2)的商式是,余式是.

【解析】(1)4-+5元+尤3-6按x的指數(shù)從大至U小排歹1J：尤3+4/+5元一6；

(2)“刻苦小組”把小學(xué)的除法運(yùn)算法則運(yùn)用在多項(xiàng)式除法運(yùn)算上，這里運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是類比，故選8；

(3)根據(jù)題意可得，

+2x+1

九+2)/+4x2+5x—6

X3+2X2

2x2+5x-6

2x2+4x

x-6

x+2

-8

所以(4尤2+5%+尤3—6)+(％+2)的商式是x2+2x+l)余式是—8.

【變式訓(xùn)練】

1.閱讀理解：由兩個(gè)或兩類對(duì)象在某些方面的相同或相似，得出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗤蛳嗨频耐评?/p>

方法叫類比法.多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式可以類比多位數(shù)的除法進(jìn)行計(jì)算.

如圖1：

231+lr+3

24

38

36

圖I

，278+12=23LL2,

(尤3+2尤2—3)+(%—=

由圖可得，多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式用豎式計(jì)算，步驟如下：

①把被除式和除式按同一字母的指數(shù)從大到小依次排列(若有缺項(xiàng)用零補(bǔ)齊)；

②用豎式進(jìn)行運(yùn)算；

③當(dāng)余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時(shí)，運(yùn)算終止，得到商式和余式.若余式為零，說明被除式能被除式整除.

例如：(丁+2尤2-3)+(%-1)=尤?+3x+3余式為0,；.%3+2%2—3能被x-i整除.

根據(jù)閱讀材料，請(qǐng)回答下列問題：

(1)多項(xiàng)式f+5x+6除以多項(xiàng)式x+2,所得的商式為；

(2)已矢口尤3+2--辦一1。能被％-2整除，貝1|"=；

(3)如圖2,有2張A卡片，21張8卡片，40張C卡片，能否將這63片拼成一個(gè)與原來總面積相等且一邊長(zhǎng)

為(。+助)的長(zhǎng)方形？若能，求出另一邊長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由.

【解析】(1)列豎式如下：

x+3

x+2卜2+5口+6

x2+2x

3x+6

3x+6

0

，多項(xiàng)式f+5x+6除以多項(xiàng)式％+2,所得的商式為x+3,故答案為：x+3；

(2)列豎式如下：

X2+4A-+（8-<7）

x-2卜3+2-—ax-10

X3-2X2

4x2-ax-10

4--Sx

（8-a）x-10

（8—a）x—2（8—a）

2（8-a）-10

:/+2x?—ax—10能被x-2整除，.'.2（8—a）—10=0,解得。=3,

故答案為：3；

（3）能，理由如下：

根據(jù)題意，A卡片的面積是/,B卡片的面積是必，C卡片的面積是從，

,2張A卡片，21張8卡片，40張C卡片的總面積為2a2+214+4（妨2,

列豎式如下：

2a+5b

。+時(shí)2〃+21a—+40/

2a2+i6ab

Sab+40/>2

5ab+40/）2

6

'余式為0,二2。2+21"+40/能被a+助整除,商式為2a+56,

二可以拼成與原來總面積相等且一邊長(zhǎng)為（a+8初的長(zhǎng)方形，另一邊長(zhǎng)為（2a+5。）.

A過關(guān)檢測(cè)

一、選擇題

1.化簡(jiǎn)6/+（-3。）的結(jié)果是（）

A.2aB.3aC.—2aD.—3a

【答案】c

【解析】6片十（—3a）=[6+（—3）]（a~=—2a,故選C.

2.計(jì)算（-1/+124%-8儲(chǔ)62/（_4/）的結(jié)果是（）

A.a-3b+2ab°B.a2-3b+2abC.a+2abD.1.5a-3b

【答案】A

【解析】原式=（-4/）+（_4/）+（12/6）+（_4/）+（一8//72）+（-4/）=4+（-36）+2462=°_36+2462,

故選A.

3.下列計(jì)算正確的是（）

A.（-2%2y+y）+y=-2/+1B.x'y，+（耳孫=耳%4,2

7

C.215ys+3%3,2+3盯2=2%3y5j）2%2）；4-3xy=—%2j2

【答案】A

22

［角軍析］A.［-2xy+yyy=-2x^lf計(jì)算正確；

B.原式計(jì)算錯(cuò)誤；

79

C-2/力3尤八3孫=——3孫=產(chǎn)原式計(jì)算錯(cuò)誤;

2

D.2x1y^3xy=-x,原式計(jì)算錯(cuò)誤；

故選A.

4.已知”1.6x109,0=4x103,則的值為（）

A.2xl03B.4xl014C.3.2xlO15D.3.2xlO14

【答案】D

【解析】a=1.6xl09,Z;=4xl0\

/./+2b

=（1.6X109）2-（2X4X103）

=2.56x1018+（8xIO?）

=0.32x1015

=3.2xl（）i4,

故選D.

5.一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是104—6^+2/,它的一邊長(zhǎng)是2a,則另一邊長(zhǎng)是（）

A.4a2-3b+a3B.3b-12a+20a1C.5a2+2a—12bD.5a—3b+a2

【答案】D

【解析】長(zhǎng)方形的面積是IO4一6々0+2a3,一邊長(zhǎng)是2々，

它的另一邊長(zhǎng)為（io/—6ab+2a3^2a=5a—3b+a1.

故選D.

二、填空題

6.計(jì)算：根6/+根2〃=.

【答案】m4n

【解析】m6n24-m2n=m6-2n2-1=m4n,故答案為：m4n.

7.如果（4/"-2二戶2/=2%-1（〃為常數(shù)），那么”的值是.

【答案】-2

【解析】因?yàn)?4/"-2/)+2/=2》-1,所以2-〃—3=1,解得”=一2.故答案為：-2.

8.第七屆山西(運(yùn)城)國(guó)際果品交易博覽會(huì)于10月23日到30日在運(yùn)城市舉辦.本屆果博會(huì)以“果蔬運(yùn)城，

走向世界”為主題，努力將果博會(huì)辦成果農(nóng)的豐收節(jié)、果業(yè)的嘉年華、果企的狂歡季、果品的競(jìng)秀場(chǎng).計(jì)劃

參加本次果博會(huì)的小玲家的蘋果園呈長(zhǎng)方形，果園的面積為(%?-6")平方米，一邊長(zhǎng)為3a米，則該蘋果

園的另一邊長(zhǎng)為米.

【答案】(3a-26)

【解析】因?yàn)殚L(zhǎng)方形果園的面積是(9。2-6命)平方米，一邊長(zhǎng)為3a米，

所以它的另一邊長(zhǎng)是(叱-6助+3a=(3a-23米.故答案為：(3a-2b).

9.若f+依一15能被(x—3)整除，則％的值是.

【答案】2

【解析】爐+區(qū)一15能被(x-3)整除，可設(shè)(x—3)(x+加)=/+辰一15,

貝！Jx2+(m-3)x—3m=x2+Ax-15,

.\3m=15,m—3=k,

.\m=5fZ:=m—3=5—3=2,

故答案為：2.

10.多項(xiàng)式d+4%2+6除以多項(xiàng)式所得的余式是.

【答案】4x+l

【解析】列豎式如下：

x+5

x2-x+ljx3+4x2+0x+6

x3-x2+x

5x2—x+6

5X2-5X+5

4x+l

多項(xiàng)式d+4尤2+6除以多項(xiàng)式％2_%+1,所得的余式是4%+L

故答案為：4x+l.

三、計(jì)算題

11.計(jì)算：

3223

⑴(一3加)—⑵(6x2,3)2.卜3孫2J；(3)(24mn-16mn+mn)4-(—8m).

【解析】(1)原式=-27/戶+(—3/4=9加；

(2)原式=36%4y6+9%2y4=4兀2,2；

(3)原式=24/〃+(-8旬-16病〃24-(-8m)+mn34-(-8m)=-3m2n+2mn2-—n3

8

12.先化簡(jiǎn)，再求值：I2%—->+2x)(2x+y)+>[%2丁j.工，其中％=_2,y=l.

【解析】Jx-gyj-(-y+2x)(2x+y)+y[x2y_；y]+x

=(4尤2—2沖+#)一出2_力+12,2_小21+

=(4苫2_2孫+：y2-4x2+,2+尤2y2一：,2｝苫

=(-2孫+九2y2)+%

=-2y+xy2,

當(dāng)％=-2,y=l時(shí)，原式=-2x1+(-2)x「=-4.

13.先化簡(jiǎn)，再求值：(加-2〃)(根+2〃)+(加一〃)2-n(m-3n)4-—m,其中相，〃滿足(2〃附+")3=8〃9H5.

-—2

r2~|1

【解析】(機(jī)—2〃)(機(jī)+2〃)+(機(jī)—〃)—n(m—3n)^—m

L-2

=(jn—4n2+m2—2mn+n2—m^+3^2

=(2m1

=4m—6n,

因?yàn)橄啵瑤诐M足(2屋產(chǎn)")3=8Q%15,即8a3“3m+3"=8a"15,

所以3根=9,3m+3九=15,

所以m=3,n=2,

貝(J原式=4x3-6x2=12-12=0.

14.我們把形如為+平+/3/0)的整式稱為關(guān)于X的一元〃次多項(xiàng)式，記作〃X),g(x)…

等等.將整數(shù)的帶余除法類比到一元多項(xiàng)式，我們可類似地得到帶余式的大除法，其關(guān)系式為：

f(x)=g(x)-q(x)+r[x),其中f(x)表示被除式,g(x)表示除式，q(x)表示商式，r(x)表示余式，且r(x)

的次數(shù)小于g(同的次數(shù).

我們來舉個(gè)例子對(duì)比多項(xiàng)式除法和整數(shù)除法，如下左式中，13579除以112,商為121,余數(shù)為27：而如下

右式中，多項(xiàng)式—+3丫3+5￡+7刀+9除以d+x+2,商式為V+2x+l,余式為2x+7.

x2+Zx+l

F+x+Z)/+3/+5/+7%+9

121

112)13579.4+丁+4______

11221耳3『+7'

23721?+21^+4^

224

~\39jr+3x+9

112?+A2

-1T2r*7

請(qǐng)根據(jù)以上材料，解決下面的