4.2對數(shù)函數(shù)

【考點梳理】

1.對數(shù)

⑴對數(shù)：如果〃=N(a>0,且。#1),那么尤叫做以。為底N的對數(shù)，記作x=logJV.其中a叫做對數(shù)的底

數(shù)，N叫做真數(shù).

(2)兩類重要的對數(shù)

①常用對數(shù)：以坨為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把logioN記作墟Y；

②自然對數(shù)：以之為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并把logW記作坦坦.

注：⑴無理數(shù)e=2.71828…；(ii)負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)；(iii)log〃l=。，log4=L

(3)對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系當(dāng)。>0,aWl時，cf=Nox=k>g.N.

M

(4)對數(shù)運算的性質(zhì)如果a>0,且aWl,M>0,N>0,那么：①log〃(MN)=lo或M+lo%N；②log,警=log〃M

一log“N；③k>gaM"=nlogaM；一般地，log。.=^logaM；

(5)換底公式及對數(shù)恒等式①對數(shù)恒等式：1N=M②換底公式：log/二陪m>0且aWl；

lOgcU

c>0且cWl；b>0).特別地，1匿點=總?

2.對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)

定義一般地，函數(shù)y=logax(a>0,且aWl)叫做對數(shù)函數(shù)

a>l0<a<\

x=l1X=1

圖象Jy=iog?x

/\;

1T月og“x

定義域(0,+8)

值域R

過定點(1,0)

性質(zhì)

在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

考點一對數(shù)

【例題】(1)1W2；=()

A.—2B.——C.—D.2

【答案】A

2

【解析】log2^-=log22-=-2,故選：A.

(2)下列等式成立的是(

A.log2（8-4）=log28-log24B.62

log244

3

C.log22=31og22D.log2（8+4）=log28+log24

【答案】C

【解析】對于A：log28-log,4=log,[=l,故A不正確；對于B：log，9=log,2=lw"^=**=j,

44log24log222

n3

故B不正確;C：VlogaM=nlogaM,：.log22=31og22,故C正確，對于D：

5

log2（8+4）=log212log28+log24=log2（8x4）=log22=5,故D不正確，故選：C.

（3）已知。=ln2,6=ln3,c=log32,則（）

A.c>a>bB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a

【答案】c

【解析】因為/(x)=lnx在(0,+oo)上單調(diào)遞增，2<3,所以In2<ln3,即又因為

c=log2=<\n2=a,所以b>a>c,故選：C.

3In3

(4)已知坨5=〃，則lg20=()

A.4+。B.0.6+aC.2—aD.2a—4

【答案】c

【解析】已知lg5=a,..lg20=lg與=lgl00-lg5=lgl()2-ig5=2igl0-lg5=2-a,故選：C.

(5)等比數(shù)列比,｝中,若%=9,則log3a4+1鳴％=()

A.2B.3C.4D.9

【答案】C

【解析】等比數(shù)列｛%｝中，若％=9,所以的6=%2=81,所以1鳴%+現(xiàn)3a6=1臉3)2=。381=4,故選:

C.

(6)設(shè)5"'=9，則logs3=(

m

C.mD.

mm~2

【答案】D

2

【解析】由5"=9得：=log59=log53=21og53,/.log53=y,故選：D.

【變式】（1）下列各等式正確的為（）

A.log23-log25=log2(3x5)B.lg3+lg4=lg(3+4)

x

〃

C.log2-=log2x-log2yD.lg\/^=—Igm(m>0,n>\,$N*)

yn

【答案】D

【解析】A：log2(3x5)=log23+log25Hlog23Jog25,錯誤；B：Ig3+lg4=lg(3x4)^lg(3+4),錯誤；C：

當(dāng)x,y均為負(fù)數(shù)時，等式右邊無意義，錯誤；D：1g標(biāo)=!電小且根>0,n>i,〃eN*,正確，故選:

n

D.

(2)Ig2+lg5=()

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】：lg2+lg5=lg(2x5)=lgl0=l,故選：D.

(3)若等比數(shù)列｛凡｝滿足。4=1°，貝()

A.1B.2C.3D.l+lg2

【答案】B

【解析】由題意知,a2a6=a；=100,則電電4=2,故選：B.

(4)若lg2=a,lg3=b,則lgl2=()

A.2a+bB.a2+bC.a2bD.Zab

【答案】A

【解析】因為lg2=a,lg3=6,所以lgl2=lg3x4=lg3+lg4=lg3+lg22=lg3+21g2=2a+6,故選：A.

(5)已知a=lg0.2,b=log56,c=ln2,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a

【答案】C

【解析】a=lg0.2<0,Z>=log56>log55=l,0<c=ln2<lne=l,所以℃<》，故選：C.

log2]16

(6)的值為()

4

log3

【答案】C

【解析】原式=幽2=^^=2,故選：c.

2

log32210g323

考點二對數(shù)函數(shù)

[例題】(1)已知函數(shù)〃x)=log2Mx>°)，則〃4)=()

A.2B.—2C.~D.—

22

【答案】A

2

【解析】/(4)=log24=log22=21og22=2,故選：A.

(2)下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是()

r

A.y=log“(2x)B.y=log22C.j=log2x+lD.y=lg尤

【答案】D

【解析】由對數(shù)函數(shù)的定義：形如y=log〃x(a>0且。*1)的形式，則函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，只有D符合，故選

D.

(3)函數(shù)〃x)=log2(x2-2x)的定義域為()

A.(-oo,0)B.(2,+co)C.(0,2)D.(-00,0)(2,+00)

【答案】D

【解析】由題可知f-2x>0,即x(x-2)>0,解得x<0或x>2,故函數(shù)〃尤)=log2(/-2x)的定義域為

(—oo,0)(2,+co),故選：D.

（4）函數(shù)/（x）=4+log“（尤-1）（"°且"1）的圖象恒過定點.

【答案】（2,4）

【解析】因為函數(shù)/（x）=4+log式x-l）（q>0且。力1）,令x—l=l,解得x=2,所以，（2）=4+logJ=4,

即函數(shù)〃x）恒過點（2,4）,故答案為：（2,4）.

（5）若log.”2（x2-7x+13）=0,求x的值.

【答案】x的值為4.

x2-7x+13=l,x2-7x+12=0,

【解析】因為log-，-7x+13)=0,所以x-2>0,即x>2,解得x=4.故所求x的值為4.

尤一2wl,xw3,

【變式】（1）函數(shù)〃尤）=（1+a-5）log“x為對數(shù)函數(shù)，則等于（）

A.3B.-3C.-log36D.-log38

【答案】B

【解析】因為函數(shù)〃尤）為對數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)系數(shù)為1,即4+々_5=1,即"2或-3,因為對數(shù)函

數(shù)底數(shù)大于0,所以a=2,/（x）=log2x,所以/（口=-3,故選：B.

（2）若log?logJ（log2x）=0,則苫=.

_2_

【答案】0

【解析】logi（log2%）=lnlog2X=:，故尤=夜，故答案為：血.

52

（3）函數(shù)>=膽產(chǎn)”的定義域為（）

A.[2,+oo)B.(-00,2]C.[1,2]D.(1,2]

【答案】D

【解析】由題設(shè)，[ipo<x-l<l,可得1<%W2,所以函數(shù)定義域為d,2],故選：D.

2

(4)函數(shù)/(x)=log“(2x—l)+3(。>0且恒過定點.

【答案】(1,3)

【解析】當(dāng)2x—1=1時，即x=l,貝lJ/(x)=log〃l+3=3,所以/(x)=log.(2xT)+3恒過定點(1,3),故答案為：

(1,3).

21

(5)設(shè)3，=4'=36,求一+一的值.

xy

【答案】1

y

【解析】因為3,=36,4=36,所以x=log336,y=log436,所以

2121

一+一=-——+-——=2log363+log364=log369+log364=log3636=1.

xylog336log436

【方法總結(jié)】

1.對數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)在應(yīng)用時，如果底數(shù)。的取值范圍不確定，則要對其進行分類討論.

2.熟練掌握指數(shù)式與對數(shù)式的互化，它不僅體現(xiàn)了兩者之間的相互關(guān)系，而且為對數(shù)的計算、化簡、證明

等問題提供了更多的解題途徑.

3.比較兩個對數(shù)的大小的基本方法

(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進行判斷；若底數(shù)為同一字母，則需對這一字母進行分

類討論.

(2)若底數(shù)不同真數(shù)相同，則可先換底再進行比較.

(3)若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助1,0等中間量進行比較.

4.2對數(shù)函數(shù)

一、選擇題

1.若“>o,awl,M>O,N>D,下列運算正確的是()

A.=-^logaMB.(logaM)”=Nlog“M

C.(log.M)+(log“N)=loga(M-N)D.(logflM)+(loga?/)=loga(M+A9

【答案】A

11

【解析】由。>0,awl,M>0,N>0,知：對于A,log“帕=/og“A/w=—log“A/,故A

N

正確；對于B,(log,/)“#Nlog“M,故B錯誤；對于C,(log?")+(logaN)Hloga(M-N),

故C錯誤；對于D,logoM+logoN=logaMNloga(M+N),故D錯誤.故選：A.

2.給出下列函數(shù)：

①y=logzY；②y=Iog3(x一1)；③y=log(x+1)X；@y=logex,其中是對數(shù)函數(shù)的有()

3

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【解析】①②不是對數(shù)函數(shù)，因為對數(shù)的真數(shù)不是僅有自變量x；③不是對數(shù)函數(shù)，因為對

數(shù)的底數(shù)不是常數(shù)；④是對數(shù)函數(shù)，故選：A.

3.計算：log?32-2log?4=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

32

【解析】log,32-21og24=log2—=log,2-1,故選：A.

4."2"=2"'是"Ina=In/?”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必

要條件

【答案】B

a-b

【解析】2"=2"oa=6,lna=lnb=<a>。，所以"2"=2""是"lna=lnb”的必要而不充

b>Q

分條件，故選：B.

5.Ig4+21g5=()

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】B

【解析】由題得lg4+21g5=lg4+lg52=lg4+lg25=lg(4x25)=lgl00=lgl()2=2,故選：B.

6..方程ln(log3X)=。的解是()

A.1B.2C.eD.3

【答案】D

【解析】Vln(log3x)=0,log3x=e°=1,/.%=3,故選：D.

7.函數(shù)y=ln(x-2)+l的值域為()

A.RB.(1,+s)C.[1,+<?)D.(2,+oo)

【答案】A

【解析】由對數(shù)函數(shù)>=lnx的值域為R,向右平移2個單位得函數(shù)％=ln(x-2)的值域為R,

則y=ln(x-2)+l的值域為R,故選:A.

8.已知a=logsg，log?3,c=log32,則()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】D

【解析】由。=log3：＜0＜c=bg32＜l＜6=log23,所以力＞c＞a,故選：D.

9.不等式log2（3x+l）＜l成立的一個充分不必要條件是（）

A.—＜尤＜一B.x＜0

33

C.-1＜%＜—D.0＜%＜—

33

【答案】D

【解析】由log2（3x+1）＜1o—＜尤＜§,由于0＜無＜§=＞—§＜x＜］，而

＜尤＜；，故不等式log2（3x+l）＜l成立的一個充分不必要條件是0＜x＜；,A

選項是充要條件，B選項是既不充分也不必要條件，C選項是必要不充分條件，故選：D.

10.已知。=lg2,3"=10,貝!Jbg515=()

a+\-abb+i-ab

A.B.

a-abb-ab

Z?+1—a〃+1—b

C.D.

1—tz\-b

【答案】B

【解析】由題可得＞=bg*即館3Km

]%]5=些=晝±贖=但3+1-但2=±=且也

1g5l-lg2l-lg21-ab-ab

故選：B.

二、填空題

11.Ig5+lg2=.

【答案】1

【解析】lg5+lg2=lg（5x2）=lgl0=l,故答案為：1.

12.方程ln（log2X）=0的解是

【答案】2

【解析】由對數(shù)的運算性質(zhì)，可得ln（log2X）=0,可得logzx=l,解得x=2,故答案為：2.

13.若1。孔々）（5-。）有意義，則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】（2,3）1_（3,5）

5-〃>0〃<5

【解析】要使1。&心）（5-。）有意義，須<。-2>0即<?！?,角牽得2<a<3或3<a<5,即

a—2w1aw3

實數(shù)°的取值范圍是（2,3）（3,5）,故答案為：（2,31（3,5）.

14.已知log35=H2,則用機表示log2545=.

m+2

【答案】

2m

log45_log5+log32_log5+21og3_m+2

【解析】因為log35=M,所以log2545=33333

2

log325log35210g352m

m+2

故答案為:

2m

flosx,x>0

15.已知函數(shù)/（%）=「9；，則f（/（T））的值是___________.

[2x,x<0

【答案】-1

【解析】因為/（?[詈：-：。貝了（/（一1））=/（1=一1,故答案為：-1.

16.若4"=9〃=36,貝!!!+[=_________.

ab

【答案】1

1_ln4同理「In9

【解析】因為4"=9=6,所以,所以

aIn36h?36

11In4In9In4+ln9

—I—=---1---=------=1,故答案為:1.

abIn36In36In36

17.已知log3（log詞=0,Iog2（log3y）=l,則％+y=.

【答案】13

【解析】由Iog3（log4x）=0得log4X=l,得x=4,由Iog2（log3y）=l,log3y=2,得y=32=9,

所以x+y=4+9=13,故答案為：13.

18.設(shè)〃>1,函數(shù)#x）=logG；在區(qū)間［〃,20上的最大值與最小值之差為《，則〃=.

【答案】4

【解析】因為〃>1,所以?x）=log辦在［。，2〃］上遞增，所以k）g4（2〃）一k）g〃a=《，即log〃2

=J,所以〃〃=4,答案：4.

Z.Ct——乙

三、解答題

19.求值：2log32-log3—+log38.

【答案】2

3。OQ_14x8

Oga

【解析]解：2log32-log3+log38=log34-log3-^+log38-32=log39=2.

99V

21

20.設(shè)3"=4"=36,求—+7的值；

ab

【答案】1

【解析】解：由3"=4〃=36,得。=。336,6=108436,由換底公式得工=108363，!=。364,

ab

21

?,--+T=21og363+log4=log36=1.

ab3636

21.已知log?[logs(log4x)]=。，求x的值.

【答案】64

【解析[解：Hlog2[log3(log4X)]=0,所以Iog3(log4尤)=2°=1,所以log