第九節(jié)立體幾何中的翻折與探究問題高中總復(fù)習·數(shù)學重點解讀

會用向量法探究空間幾何體中線、面的位置關(guān)系，角的存在條件與翻

折問題.目錄CONTENTS考點·分類突破01.課時·跟蹤檢測02.PART01考點·分類突破精選考點|課堂演練

翻折問題（師生共研過關(guān)）

（1）求直線CF與平面ADE所成角的正切值；

（2）求幾何體ADE-BFC的體積.

解題技法翻折問題的兩個解題策略

探究性問題（師生共研過關(guān)）

（2025·邵陽第二次聯(lián)考）如圖所示，在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD.

（1）證明：BD⊥CC1；解：

證明：連接AC，因為底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥AA1；又AC∩AA1＝

A，AC，AA1?平面A1AC，所以BD⊥平面A1AC.

因為四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，AA1，CC1的延長線交于一點，所以A1，

C1，C，A四點共面，即CC1?平面A1AC，所以BD⊥CC1.

解題技法利用空間向量巧解探究性問題的策略（1）空間向量最適合于解決立體幾何中的探究性問題，它無需進行復(fù)雜

的作圖、論證、推理，只需通過坐標運算進行判斷；（2）解題時，把結(jié)論當作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”

問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標是否有解”“是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等問題，所

以為使問題的解決更簡單、有效，應(yīng)善于運用這一方法解題.提醒

探究線段上是否存在點時，注意三點共線條件的應(yīng)用.

如圖，四棱錐S-ABCD中，△ABD為正三角形，∠BCD＝120°，CB＝CD＝CS＝2，∠BSD＝90°，SC⊥BD.

（1）求二面角A-SB-C的余弦值；解：∵△ABD為正三角形，CB＝CD，取BD中點O，連接AO，CO，則AO⊥BD，CO⊥BD，即

AC⊥BD，垂足為O，∵∠BSD＝90°，∴△BSD為直角三角形，∵O為BD

中點，∴OD＝OS，

（2）線段SC（包含端點）上是否存在點H，使得DH∥平面SAB.

PART02課時·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習

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（2）求點B到平面A'CD的距離.

2.

如圖，已知平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為等腰直角三角形，∠APD＝90°，四邊形ABCD為直角梯形，CD∥AB，AB⊥AD，AB＝AD＝2，PQ∥DC，PQ＝DC＝1.（1）求二面角Q-BC-A的余弦值；解：

取AD的中點為O，連接OP，∵PA＝PD，∴OP⊥AD.

∵平面PAD⊥平面ABCD，OP?平面PAD，平面

PAD∩平面ABCD＝AD，∴OP⊥平面ABCD.

3.

在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形AA1B1B是菱形，AB⊥AC，平面AA1B1B⊥平面ABC，平面A1B1C1與平面AB1C的交線為l.（1）證明：A1B⊥B1C；解：

證明：因為四邊形AA1B1B為菱形，所以A1B⊥AB1.因為平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，AC?平面ABC，AC⊥AB，所以AC⊥平面AA1B1B.

又A1B?平面AA1B1B，所以AC⊥A1B.

又因為AB1∩AC＝A，AB1，AC?平面AB1C，所以A1B⊥平面AB1C.

又B1C?平面AB1C，所以A1B⊥B1C.

（2）已知∠ABB1＝60°，AB＝AC＝2，l上是否存在點P，使A1B與平

面ABP所成角為30°？若存在，求B1P的長度；若不存在，請說明理由.解：

l上不存在點P，使A1B與平面ABP所成角為

30°.理由如下：取A1B1的中點D，連接AD.

因為∠ABB1＝60°，所以∠AA1B1＝60°.又AA1＝A1B1，所以△AA1B1為等邊三角形，所以AD⊥A1B1.因為A1B1∥AB，所以AD⊥AB.

又平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC

＝AB，AD?平面AA1B1B，所以AD⊥平面ABC.

法二

設(shè)AC的中點為O，連接BO，PO.

因為在△PAC中，PA＝PC，O為AC的中點，所以PO⊥AC，因為PA＝PB＝PC，PO＝PO＝PO，AO＝BO＝CO