[核心必知]1.預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P34～P36的內(nèi)容，回答下列問題．某廠家計(jì)劃用一種材料生產(chǎn)一種盛500ml溶液的圓柱形易拉罐．(1)生產(chǎn)這種易拉罐，如何計(jì)算材料用的多少呢？提示：計(jì)算出圓柱的表面積即可．(2)如何制作使用材料才能最?。刻崾荆阂褂昧献钍?，只需圓柱的表面積最?。稍O(shè)圓柱的底面半徑為x，列出圓柱表面積S＝2πx2＋eq\f(1000,x)(x＞0)，求S最小時(shí)，圓柱的半徑、高即可．2．歸納總結(jié)，核心必記(1)優(yōu)化問題生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．(2)解決優(yōu)化問題的基本思路[問題思考]在實(shí)際問題中，如果在定義域內(nèi)函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則函數(shù)在該點(diǎn)處取最值嗎？提示：根據(jù)函數(shù)的極值與單調(diào)性的關(guān)系可以判斷，函數(shù)在該點(diǎn)處取最值，并且極小值點(diǎn)對(duì)應(yīng)最小值，極大值點(diǎn)對(duì)應(yīng)最大值．[課前反思](1)生活中的優(yōu)化問題主要涉及哪些問題？；(2)解決優(yōu)化問題的基本思路是什么？．講一講1．某市在市內(nèi)主干道北京路一側(cè)修建圓形休閑廣場(chǎng)．如圖，圓形廣場(chǎng)的圓心為O，半徑為100m，并與北京路一邊所在直線l相切于點(diǎn)M.點(diǎn)A為上半圓弧上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作l的垂線，垂足為點(diǎn)B.市園林局計(jì)劃在△ABM內(nèi)進(jìn)行綠化．設(shè)△ABM的面積為S(單位：m2)，∠AON＝θ(單位：弧度)．(1)將S表示為θ的函數(shù)；(2)當(dāng)綠化面積S最大時(shí)，試確定點(diǎn)A的位置，并求最大面積．[嘗試解答](1)BM＝AOsinθ＝100sinθ，AB＝MO＋AOcosθ＝100＋100cosθ，θ∈(0，π)．則S＝eq\f(1,2)MB·AB＝eq\f(1,2)×100sinθ×(100＋100cosθ)＝5000(sinθ＋sinθcosθ)，θ∈(0，π)．(2)S′＝5000(2cos2θ＋cosθ－1)＝5000(2cosθ－1)(cosθ＋1)．令S′＝0，得cosθ＝eq\f(1,2)或cosθ＝－1(舍去)，此時(shí)θ＝eq\f(π,3).當(dāng)θ變化時(shí)，S′，S的變化情況如下表：所以，當(dāng)θ＝eq\f(π,3)時(shí)，S取得最大值Smax＝3750eq\r(3)m2，此時(shí)AB＝150m，即點(diǎn)A到北京路一邊l的距離為150m.(1)平面圖形中的最值問題一般涉及線段、三角形、四邊形等圖形，主要研究與面積相關(guān)的最值問題，一般將面積用變量表示出來后求導(dǎo)數(shù)，求極值，從而求最值．(2)立體幾何中的最值問題往往涉及空間圖形的表面積、體積，在此基礎(chǔ)上解決與實(shí)際相關(guān)的問題．解決此類問題必須熟悉簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積公式，如果已知圖形是由簡(jiǎn)單幾何體組合而成，則要分析其組合關(guān)系，將圖形進(jìn)行拆分或組合，以便簡(jiǎn)化求值過程．練一練1．請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒．如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒．E、F在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)．設(shè)AE＝FB＝x(cm)．(1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應(yīng)取何值？(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值．解：設(shè)包裝盒的高為h(cm)，底面邊長(zhǎng)為a(cm)．由已知得a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以當(dāng)x＝15時(shí)，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2eq\r(2)(－x3＋30x2)，V′＝6eq\r(2)x(20－x)．由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.當(dāng)x∈(0，20)時(shí)，V′＞0；當(dāng)x∈(20，30)時(shí)，V′＜0.所以當(dāng)x＝20時(shí)，V取得極大值，也是最大值．此時(shí)eq\f(h,a)＝eq\f(1,2)，即包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為eq\f(1,2).講一講2．為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．[嘗試解答](1)由題設(shè)，隔熱層厚度為xcm，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建造費(fèi)用為C1(x)＝6x.最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,（3x＋5）2)，令f′(x)＝0，即eq\f(2400,（3x＋5）2)＝6，解得x＝5，x＝－eq\f(25,3)(舍去)．當(dāng)0≤x<5時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)5<x≤10時(shí)，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.所以，當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬元．實(shí)際生活中用料最省、費(fèi)用最低、損耗最小、最節(jié)省時(shí)間等問題都需要利用導(dǎo)數(shù)求解相應(yīng)函數(shù)的最小值，此時(shí)根據(jù)f′(x)＝0求出極值點(diǎn)(注意根據(jù)實(shí)際意義舍去不合適的極值點(diǎn))后，函數(shù)在該點(diǎn)附近滿足左減右增，則此時(shí)唯一的極小值就是所求函數(shù)的最小值．練一練2．一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比，已知在速度為10km/h時(shí)，燃料費(fèi)是每小時(shí)6元，而其他與速度無關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元，問此輪船以多大的速度航行時(shí)，能使每千米的費(fèi)用總和最少？解：設(shè)燃料費(fèi)y＝kv3，因?yàn)楫?dāng)v＝10時(shí)，y＝6，∴k＝eq\f(3,500)，∴y＝eq\f(3,500)v3.∴每千米總費(fèi)用：S＝eq\f(1,v)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,500)v3＋96))＝eq\f(3,500)v2＋eq\f(96,v)，S′＝eq\f(3,250)v－eq\f(96,v2).令S′＝0得v＝20，當(dāng)v∈(0，20)時(shí)，S′<0；當(dāng)v∈(20，＋∞)時(shí)，S′>0.∴v＝20km/h是S的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，∴v＝20km/h時(shí)，每千米的費(fèi)用總和最少．知識(shí)點(diǎn)3利潤(rùn)最大問題講一講3．某廠生產(chǎn)某種電子元件，如果生產(chǎn)出一件正品，可獲利200元，如果生產(chǎn)出一件次品，則損失100元．已知該廠制造電子元件過程中，次品率p與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系是：p＝eq\f(3x,4x＋32)(x∈N*)．(1)將該廠的日盈利額T(元)表示為日產(chǎn)量x(件)的函數(shù)；(2)為獲最大盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？[嘗試解答](1)因?yàn)榇纹仿蕄＝eq\f(3x,4x＋32)，所以當(dāng)每天生產(chǎn)x件時(shí)，有x·eq\f(3x,4x＋32)件次品，有xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3x,4x＋32)))件正品．所以T＝200x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3x,4x＋32)))－100x·eq\f(3x,4x＋32)＝25·eq\f(64x－x2,x＋8)(x∈N*)．(2)T′＝－25·eq\f(（x＋32）（x－16）,（x＋8）2)，由T′＝0，得x＝16或x＝－32(舍去)．當(dāng)0<x<16時(shí)，T′>0；當(dāng)x>16時(shí)，T′<0;所以當(dāng)x＝16時(shí)，T最大，即該廠的日產(chǎn)量定為16件，能獲得最大盈利．解決此類有關(guān)利潤(rùn)的實(shí)際應(yīng)用題，應(yīng)靈活運(yùn)用題設(shè)條件，建立利潤(rùn)的函數(shù)關(guān)系，常見的基本等量關(guān)系有(1)利潤(rùn)＝收入－成本；(2)利潤(rùn)＝每件產(chǎn)品的利潤(rùn)×銷售件數(shù)．練一練3．某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a為常數(shù)．已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克．(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大．解：(1)因?yàn)閤＝5時(shí)，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)f(x)＝(x－3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10（x－6）2))＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6.從而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3，6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．所以，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42，即當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大．——————————————[課堂歸納·感悟提升]——————————————1．本節(jié)課的重點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題．2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)利用導(dǎo)數(shù)解決面積、體積的最值問題，見講1；(2)利用導(dǎo)數(shù)解決成本最低(費(fèi)用最省)問題，見講2；(3)利用導(dǎo)數(shù)解決利潤(rùn)最大問題，見講3.3．在利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題時(shí)，要注意函數(shù)的定義域應(yīng)使實(shí)際問題有意義，這也是本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn).課下能力提升(八)[學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練]題組1面積、體積的最值問題1．如果圓柱軸截面的周長(zhǎng)l為定值，則體積的最大值為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,6)))eq\s\up12(3)πB.eqB.\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,3)))eq\s\up12(3)πC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,4)))eq\s\up12(3)πD.eqD.\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,4)))eq\s\up12(3)π解析：選A設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，體積為V，則4r＋2h＝l，∴h＝eq\f(l－4r,2)，V＝πr2h＝eq\f(1,2)πr2l－2πr3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<r<\f(l,4))).則V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝eq\f(l,6)，而r>0，∴r＝eq\f(l,6)是其唯一的極值點(diǎn)．當(dāng)r＝eq\f(l,6)時(shí)，V取得最大值，最大值為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,6)))eq\s\up12(3)π.2．用邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮做一個(gè)無蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成一個(gè)鐵盒．所做的鐵盒容積最大時(shí)，在四角截去的正方形的邊長(zhǎng)為()A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm解析：選B設(shè)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，鐵盒的容積Vcm3.由題意，得V＝x(48－2x)2(0<x<24)，V′＝12(x－24)(x－8)，令V′＝0，得x＝8或x＝24(舍去)．當(dāng)x∈(0，8)時(shí)，V′>0；當(dāng)x∈(8，24)時(shí)，V′<0.∴當(dāng)x＝8時(shí)，V取得最大值．題組2成本最低(費(fèi)用最省)問題3．做一個(gè)容積為256m3的方底無蓋水箱，所用材料最省時(shí)，它的高為()A．6mB．8mC．4mD．2m解析：選C設(shè)底面邊長(zhǎng)為xm，高為hm，則有x2h＝256，所以h＝eq\f(256,x2).所用材料的面積設(shè)為Sm2，則有S＝4x·h＋x2＝4x·eq\f(256,x2)＋x2＝eq\f(256×4,x)＋x2.S′＝2x－eq\f(256×4,x2)，令S′＝0，得x＝8，因此h＝eq\f(256,64)＝4(m)．4．某公司一年購(gòu)買某種貨物2000噸，每次都購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)為eq\f(1,2)x2萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)之和最小，則x＝________．解析：設(shè)該公司一年內(nèi)總共購(gòu)買n次貨物，則n＝eq\f(2000,x)，總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)之和f(x)＝4n＋eq\f(1,2)x2＝eq\f(8000,x)＋eq\f(1,2)x2，令f′(x)＝x－eq\f(8000,x2)＝0，解得x＝20.且當(dāng)0<x<20時(shí)f′(x)<0，當(dāng)x>20時(shí)f′(x)>0，故x＝20時(shí)，f(x)最小．答案：205．甲、乙兩地相距400千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過100千米/時(shí)，已知該汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本P(元)關(guān)于速度v(千米/時(shí))的函數(shù)是P＝eq\f(1,19200)v4－eq\f(1,160)v3＋15v，(1)求全程運(yùn)輸成本Q(元)關(guān)于速度v的函數(shù)關(guān)系式；(2)為使全程運(yùn)輸成本最少，汽車應(yīng)以多大的速度行駛？并求此時(shí)運(yùn)輸成本的最小值．解：(1)Q＝P·eq\f(400,v)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,19200)v4－\f(1,160)v3＋15v))·eq\f(400,v)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,19200)v3－\f(1,160)v2＋15))·400＝eq\f(v3,48)－eq\f(5,2)v2＋6000(0<v≤100)．(2)Q′＝eq\f(v2,16)－5v，令Q′＝0，則v＝0(舍去)或v＝80，當(dāng)0<v<80時(shí)，Q′<0；當(dāng)80<v≤100時(shí)，Q′>0，∴v＝80千米/時(shí)時(shí)，全程運(yùn)輸成本取得極小值，即最小值，且Qmin＝Q(80)＝eq\f(2000,3)(元)．題組3利潤(rùn)最大問題6．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為()A．13萬件B．11萬件C．9萬件D．7萬件解析：選C因?yàn)閥′＝－x2＋81，所以當(dāng)∈(9，＋∞)時(shí)，y′<0；當(dāng)x∈(0，9)時(shí)，y′>0，所以函數(shù)y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234在(9，＋∞)上單調(diào)遞減，在(0，9)上單調(diào)遞增，所以x＝9時(shí)函數(shù)取最大值．7．某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元購(gòu)進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)定為p元，銷售量為Q件，則銷售量Q與零售價(jià)p有如下關(guān)系：Q＝8300－170p－p2.則最大毛利潤(rùn)為(毛利潤(rùn)＝銷售收入—進(jìn)貨支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元解析：選D設(shè)毛利潤(rùn)為L(zhǎng)(p)，由題意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此時(shí)，L(30)＝23000.因?yàn)樵趐＝30附近的左側(cè)L′(p)>0，右側(cè)L′(p)<0，所以L(30)是極大值，根據(jù)實(shí)際問題的意義知，L(30)是最大值，即零售價(jià)定為每件30元時(shí)，最大毛利潤(rùn)為23000元．8．某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測(cè)，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)，貸款的利率為0.048，假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去．若存款利率為x(x∈(0，0.048))，為使銀行獲得最大收益，則存款利率應(yīng)定為________．解析：存款利率為x，依題意：存款量是kx2，銀行應(yīng)支付的利息是kx3，貸款的收益是0.048kx2，x∈(0，0.048)．所以銀行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0<x<0.048)，由于y′＝0.096kx－3kx2，令y′＝0得x＝0.032或x＝0(舍去)，又當(dāng)0<x<0.032時(shí)，y′>0；當(dāng)0.032<x<0.048時(shí)，y′<0，所以當(dāng)x＝0.032時(shí)，y取得最大值．答案：0.0329．某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交4元的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元(8≤x≤11)時(shí)，一年的銷售量為(12－x)2萬件．(1)求分公司一年的利潤(rùn)L(萬元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大？并求出L的最大值．解：(1)分公司一年的利潤(rùn)L(萬元)與售價(jià)x之間的關(guān)系為：L(x)＝(x－3－4)(12－x)2＝(x－7)(12－x)2，即L(x)＝(x－7)(12－x)2，其中x∈[8，11]．(2)由于L(x)＝(x－7)(12－x)2，∴L′(x)＝(12－x)2＋(x－7)·2(12－x)·(－1)＝(12－x)(12－x－2x＋14)＝(12－x)(26－3x)，令L′(x)＝0得x＝12或x＝eq\f(26,3)，由于x∈[8，11]，所以取x＝eq\f(26,3)，當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(26,3)))時(shí)，L′(x)>0；x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(26,3)，11))時(shí)，L′(x)<0，所以當(dāng)x＝eq\f(26,3)時(shí)，L(x)在[8，11]上取得極大值，也是最大值，Leq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(26,3)))＝eq\f(500,27)(萬元)．故當(dāng)每件售價(jià)為eq\f(26,3)元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，最大利潤(rùn)是eq\f(500,27)萬元．[能力提升綜合練]1．將8分為兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和，使兩個(gè)非負(fù)數(shù)的立方和最小，則應(yīng)分為()A．2和6B．4和4C．3和5D．以上都不對(duì)解析：選B設(shè)一個(gè)數(shù)為x，則另一個(gè)數(shù)為8－x，則其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.當(dāng)0≤x<4時(shí)，y′<0；當(dāng)4<x≤8時(shí)，y′>0.所以當(dāng)x＝4時(shí)，y最小．2．設(shè)底為等邊三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時(shí)，底面邊長(zhǎng)為()A.eq\r(3,V)B.eqB.\r(3,2V)C.eqC.\r(3,4V)D．2eq\r(3,V)解析：選C設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，高為h，∴eq\f(\r(3),4)x2·h＝V，∴h＝eq\f(4V,\r(3)x2)＝eq\f(4\r(3)V,3x2).∴S表＝2·eq\f(\r(3),4)x2＋3x·h＝eq\f(\r(3),2)x2＋eq\f(4\r(3)V,x)，S′(x)＝eq\r(3)x－eq\f(4\r(3)V,x2)，令S′(x)＝0可得eq\r(3)x＝eq\f(4\r(3)V,x2)，x3＝4V，x＝eq\r(3,4V).當(dāng)0<x<eq\r(3,4V)時(shí)，S′(x)<0；當(dāng)x>eq\r(3,4V)時(shí)，S′(x)>0，∴當(dāng)x＝eq\r(3,4V)時(shí)，S(x)最?。?．某廠要圍建一個(gè)面積為512m2的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊要砌新墻，當(dāng)砌新墻所用的材料最省時(shí)，堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別為()A．32m，16mB．30m，15mC．40m，20mD．36m，18m解析：選A設(shè)建堆料場(chǎng)與原墻平行的一邊邊長(zhǎng)為xm，其他兩邊邊長(zhǎng)為ym，則xy＝512，堆料場(chǎng)的新砌墻的長(zhǎng)l＝x＋2y＝eq\f(512,y)＋2y(y>0)，令l′＝－eq\f(512,y2)＋2＝0，解得y＝16(另一負(fù)根舍去)，當(dāng)0<y<16時(shí)，l′<0；當(dāng)y>16時(shí)，l′>0，所以當(dāng)y＝16時(shí)，函數(shù)取得極小值，也就是最小值，此時(shí)x＝eq\f(512,16)＝32.4．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x(0≤x≤390)的關(guān)系是R(x)＝－eq\f(x3,900)＋400x(0≤x≤390)，則當(dāng)總利潤(rùn)最大時(shí)，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品單位數(shù)是()A．150B．200C．250D．300解析：選D由題意可得總利潤(rùn)P(x)＝－eq\f(x3,900)＋300x－20000，0≤x≤390，由P′(x)＝－eq\f(x2,300)＋300＝0，得x＝300.當(dāng)0≤x<300時(shí)，P′(x)>0；當(dāng)300<x≤390時(shí)，P′(x)<0，所以當(dāng)x＝300時(shí)，P(x)最大．5．要做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長(zhǎng)為20cm，要使其體積最大，則高為________cm.解析：設(shè)高為h，則底面半徑r＝eq\r(400－h(huán)2)，0<h<20，V＝eq\f(1,3)π·r2·h＝eq\f(1,3)π·(400－h(huán)2)·h＝eq\f(400,3)πh－eq\f(π,3)h3.由V′＝eq\f(400,3)π－πh2＝0得h2＝eq\f(400,3)，h＝eq\f(20\r(3),3)或h＝－eq\f(20\r(3),3)(舍去)，因?yàn)楫?dāng)0<h<eq\f(20\r(3),3)時(shí)，V′>0，當(dāng)h>eq\f(20\r(3),3)時(shí)，V′<0，所以當(dāng)h＝eq\f(20\r(3),3)時(shí)，V最大．答案：eq\f(20\r(3),3)6．如圖，內(nèi)接于拋物線y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在拋物線上運(yùn)動(dòng)，C，D在x軸上運(yùn)動(dòng)，則此矩形的面積的最大值是________．解析：設(shè)CD＝x，則點(diǎn)C坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，0))，點(diǎn)B坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))\s\up12(2)))，∴矩形ACBD的面積S＝f(x)＝x·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))\s\up12(2)))＝－eq\f(x3,4)＋x，x∈(0，2)．由f′(x)＝－eq\f(3,4)x2＋1＝0，得x1＝－eq\f(2\r(3),3)(舍)，x2＝eq\f(2\r(3),3)，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))時(shí)，f′(x)>0，f(x)是遞增的，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，2))時(shí)，f′(x)<0，f(x)是遞減的，∴當(dāng)x＝eq\f(2\r(3),3)時(shí)，f(x)取最大值eq\f(4\r(3),9).答案：eq\f(4\r(3),9)7．某工廠共有10臺(tái)機(jī)器，生產(chǎn)一種儀器元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素限制，會(huì)產(chǎn)生一定數(shù)量的次品．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，每臺(tái)機(jī)器產(chǎn)生的次品數(shù)P(萬件)與每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬件)(4≤x≤12)之間滿足關(guān)系：P＝0.1x2－3.2lnx＋3.已知每生產(chǎn)1萬件合格的元件可以盈利2萬元，但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元．(利潤(rùn)＝盈利－虧損)(1)試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤(rùn)y(萬元)表示為x的函數(shù)；(2)當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬件)為多少時(shí)所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少？解：(1)由題意得，所獲得的利潤(rùn)為y＝10[2(x－P)－P]＝20x－3x2＋96lnx－90(4≤x≤12)．(2)由(1)知，y′＝eq\f(－6x2＋20x＋96,x)＝eq\f(－2（3x＋8）（x－6）,x).當(dāng)4≤x<6時(shí)，y′＞0，函數(shù)在[4，6)上為增函數(shù)；當(dāng)6<x≤12時(shí)，y′＜0，函數(shù)在(6，12]上為減函數(shù)，所以當(dāng)x＝6時(shí)，函數(shù)取得極大值，且為最大值，最大利潤(rùn)為y＝20×6－3×62＋96ln6－90＝96ln6－78(萬元)．故當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量為6萬件時(shí)所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為(96ln6－78)萬元．8．某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直線分別為y，x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)y＝eq\f(a,x2＋b)(其中a，b為常數(shù))模型．(1)求a，b的值；(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t.①請(qǐng)寫出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域；②當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短？求