大同中學高三數(shù)學2024.02一．填空題（第1－6題每題4分，第7－12題每題5分，滿分54分）1.已知集合，，則______【答案】【解析】【分析】先解絕對值不等式與求對數(shù)函數(shù)的定義域化簡集合，再求交集即可得解.【詳解】因為，，所以.故答案為：.2.若，則______【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，分別令，聯(lián)立兩個關系式即可得到結果.【詳解】令，得①，再令，可得②，由①②可得.故答案為：.3.已知非零向量滿足，.若為在上的投影向量，則向量夾角的余弦值為______【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由平面向量的數(shù)量積運算和向量的投影向量的計算公式，結合其夾角公式代入計算，即可得到結果.【詳解】由，為在上的投影向量，設向量的夾角為，，所以，故，故答案：.4.若正三棱柱的所有棱長均為4，則其體積為______【答案】【解析】【分析】先求正三棱柱底面正三角形的面積，再根據(jù)正三棱柱的體積公式計算即可.【詳解】正三棱柱的底面為邊長為4的正三角形，其面積為：，則正三棱柱的體積為：.故答案是：.5.如圖，邊長為2的正方形是用斜二測畫法得到的四邊形的直觀圖，則四邊形的面積為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求出直觀圖正方形的面積，由直觀圖和原圖的面積關系分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，正方形的邊長為2，其面積，其該平面圖形的面積，故答案為：．6.已知的兩共軛虛根為，，且，則______．【答案】3【解析】【分析】由根與系數(shù)關系有，設，且，結合題設和復數(shù)模長、乘法運算求參數(shù).【詳解】由題設，可令，且，所以，所以.故答案為：37.在平面直角坐標系中，，把向量順時針旋轉(zhuǎn)定角得到，關于軸的對稱點記為，，則的坐標為________【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件的變化，找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律可得答案.【詳解】把向量順時針旋轉(zhuǎn)定角得到，得，關于軸的對稱點記為，則，即把向量順時針旋轉(zhuǎn)定角得到，得，即關于軸的對稱點記為，則，以此類推可得當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，故的坐標為.故答案為：8.若項數(shù)為n的數(shù)列，滿足：，我們稱其為n項的“對稱數(shù)列”．例如：數(shù)列1，2，2，1為4項的“對稱數(shù)列”；數(shù)列1，2，3，2，1為5項的“對稱數(shù)列”．設數(shù)列為項的“對稱數(shù)列”，其中，，，是公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的最小項等于，記數(shù)列的前項和為，若，則的值為______．【答案】5或4【解析】【分析】根據(jù)公差可得數(shù)列單調(diào)性進而可得，進而可得等差數(shù)列的通項公式，再結合對稱數(shù)列的定義列方程求解即可．【詳解】由于，是公差為的等差數(shù)列，故，單調(diào)遞減，所以，故，則，．又，故，即，由等差數(shù)列前項和公式有，化簡得，解得或．故答案為：5或4．9.已知函數(shù)的定義域為，，則下列說法正確的有______①；②；③是偶函數(shù)；④為的極小值點【答案】①②③【解析】【分析】利用賦值法，結合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷①②③，舉反例即可排除④.【詳解】因為，對于①，令，，故①正確.對于②，令，，則，故②正確.對于③，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故③正確，對于④，不妨令，顯然符合題設條件，此時無極值，故④錯誤.故答案為：①②③.10.已知函數(shù)，若關于x的不等式恰有一個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，根據(jù)一元二次不等式的解法將不等式轉(zhuǎn)化為，討論的大小得關于的不等式，從而可得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖像，如圖所示，有，，由，得，當時，，不等式無解；當時，由得，此時不可能只有一個整數(shù)解．當時，由得，若不等式恰有一個整數(shù)解，則整數(shù)解為，又，，再結合圖像知，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．故答案為：11.設函數(shù).若存在，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是______【答案】【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為存在，使得成立，再利用分離參數(shù)法即可得到答案.詳解】由，即，即，即對任意恒成立，因為函數(shù)，，若存在，使得成立，即存，使得成立，所以存在，使得成立，設，，則，令，解得，當時，，此時單調(diào)遞增，當時，，此時單調(diào)遞減，又，，所以，則，故答案為：.12.以表示數(shù)集中最大的數(shù)．設，已知或，則的最小值為__________．【答案】##0.2【解析】【分析】利用換元法可得，進而根據(jù)不等式的性質(zhì)，分情況討論求解.【詳解】令其中，所以，若，則，故，令，因此,故,則，若，則，即，，則,故,則，當且僅當且時等號成立，如取時可滿足等號成立，綜上可知最小值為，故答案為：【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用換元法，在和前提下進行合理分類討論，根據(jù)題意得到相對應的不等式組，注意題目的條件關鍵詞是“或”.二．選擇題（本大題共4題，滿分20分）13.若，且，則下列不等式中，恒成立的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：，所以A錯；，只能說明兩實數(shù)同號，同為正數(shù)，或同為負數(shù)，所以當時，B錯；同時C錯；或都是正數(shù)，根據(jù)基本不等式求最值，，故D正確．考點：不等式的性質(zhì)14.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點（）A.橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），再向右平行移動個單位長度B.橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），再向右平行移動個單位長度C.橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），再向左平行移動個單位長度D.橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），再向左平行移動個單位長度【答案】C【解析】【分析】利用三角函數(shù)伸縮平移的性質(zhì)即可得解.【詳解】要得到函數(shù)的圖象，需先將函數(shù)的圖象上所有的點橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），從而得到，從而排除BD；對于A，再向右平行移動個單位長度，得，顯然不滿足題意，故A錯誤；對于C，再向左平行移動個單位長度，得，故C正確.故選：C.15.江先生每天9點上班，上班通常開私家車加步行或乘坐地鐵加步行，私家車路程近一些，但路上經(jīng)常擁堵，所需時間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，從停車場步行到單位要6分鐘；江先生從家到地鐵站需要步行5分鐘，乘坐地鐵暢通，但路線長且乘客多，所需間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，下地鐵后從地鐵站步行到單位要5分鐘，從統(tǒng)計的角度出發(fā)，下列說法中合理的有（）參考數(shù)據(jù)：若，則，，A.若出門，則開私家車不會遲到B.若出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大C.若出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大D.若出門，則乘坐地鐵幾乎不可能上班不遲到【答案】D【解析】【分析】對于A，由即可判斷；對于BC，分別計算開私家車及乘坐地鐵不遲到的概率即可判斷；對于D，計算即可判斷【詳解】對于A，當滿足時，江先生仍舊有可能遲到，只不過發(fā)生的概率較小，故A錯誤；對于，若出門，①江先生開私家車，當滿足時，此時江先生開私家車不會遲到；②江先生乘坐地鐵，當滿足時，此時江先生乘坐地鐵不會遲到；此時兩種上班方式，江先生不遲到的概率相當，故B錯誤；對于C，若出門，①江先生開私家車，當滿足時，此時江先生開私家車不會遲到；②江先生乘坐地鐵，當滿足時，此時江先生乘坐地鐵不會遲到；此時兩種上班方式，顯然江先生開私家車不遲到的可能性更大，故C錯誤；對于D，若出門，江先生乘坐地鐵上班，當滿足時，江先生乘坐地鐵不會遲到，此時不遲到的可能性極小，故江先生乘坐地鐵幾乎不可能上班不遲到，故D正確.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是分別分析得江先生使用不同交通工具在路上所花時間，結合正態(tài)分布的對稱性求得其對應的概率，從而得解.16.已知是定義在R上的偶函數(shù)，若、且時，恒成立，且，則滿足的實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用構造函數(shù)法，結合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性來求得的取值范圍.【詳解】設，則，，令，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，對任意的，，所以，函數(shù)為上的偶函數(shù)，且，由可得，即，即，所以，，即，解得.故選：A【點睛】方法點睛：形如的已知條件，往往是給出函數(shù)的單調(diào)性，可以利用函數(shù)單調(diào)性的定義來進行求解.利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性來求解不等式，可將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式的形式，然后結合單調(diào)性、奇偶性去掉函數(shù)符號，再解不等式來求得答案.三．解答題（本大題共有5題，滿分76分）17.在中，角的對邊分別為，.（1）求角；（2）若為鈍角三角形，且，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化切為弦，然后根據(jù)兩角和的正弦公式化簡即可求解；（2）利用正弦定理化邊為角，根據(jù)輔助角公式化為，結合角的范圍利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解范圍.【小問1詳解】由，得，即，所以，又，所以，又且，所以.【小問2詳解】由正弦定理，得，所以，所以，因為是鈍角三角形，不妨設為鈍角，則，所以，因為，所以，所以，所以的取值范圍是.18.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，E為AD的中點．（1）求證：；（2）在線段PC上是否存在點M，使得平面PEB？請說明理由【答案】（1）證明見解析（2）存在為中點時，平面，理由見解析【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，從而證得；（2）存在為中點時，平面，取中點為，可得四邊形為平行四邊形，因此，從而得證.【小問1詳解】因為為中點，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，因此．【小問2詳解】存在為中點時，平面，理由如下：取中點為，連接，因為為中點，，且．在矩形中，為中點，所以，且．所以，且，所以四邊形為平行四邊形，因此，又因為面面，所以面．19.某學校共有1200人，其中高一年級、高二年級、高三年級的人數(shù)比為，為落實立德樹人根本任務，堅持五育并舉，全面推進素質(zhì)教育，擬舉行乒乓球比賽，從三個年級中采用分層抽樣的方式選出參加乒乓球比賽的12名隊員．本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，每場比賽都采取5局3勝制，最后根據(jù)積分選出最后的冠軍，亞軍和季軍積分規(guī)則如下：每場比賽5局中以或獲勝的隊員積3分，落敗的隊員積0分；而每場比賽5局中以獲勝的隊員積2分，落敗的隊員積1分．已知最后一場比賽兩位選手是甲和乙，如果甲每局比賽的獲勝概率為（1）三個年級參賽人數(shù)各為多少？（2）在最后一場比賽甲獲勝的條件下，求其前2局獲勝的概率（3）記最后一場比賽中甲所得積分為X，求X的概率分布及數(shù)學期望【答案】（1）來自高一，高二，高三年級的參賽人數(shù)分別為3人，4人和5人（2）（3）【解析】【分析】（1）利用分層抽樣的等比例性質(zhì)列式求解即可；（2）分別求得最后一場比賽甲獲勝與其前2局獲勝的概率，再利用條件概率公式即可得解；（3）依題意得到的所有可能取值，分別求其對應概率得到分布列，再計算數(shù)學期望即可得解.【小問1詳解】三個年級的參賽人數(shù)分別為，故來自高一，高二，高三年級的參賽人數(shù)分別為3人，4人和5人.【小問2詳解】記甲在最后一場獲勝為事件，其前兩局獲勝為事件，則，，故.【小問3詳解】依題意，的所有可能取值為.；；；.∴的概率分布列為：3210∴.20.已知點分別為橢圓的左?右焦點，直線與橢圓有且僅有一個公共點，直線，垂足分別為點.（1）求證：；（2）求證：為定值，并求出該定值；（3）求的最大值.【答案】（1）證明過程見解析（2）證明過程見解析，定值為1（3）4【解析】【分析】（1）直線與橢圓聯(lián)立后用根的判別式等于0列出方程，求出；（2）利用點到直線距離公式得到，，結合∥，求出，結合第一問的結論證明出為定值1；（3）利用向量線性運算及點在直線的同側得到，結合第二問得到，再用投影向量的知識得出，其中為的夾角），結合第一問結論得到，利用基本不等式求出最值.【小問1詳解】聯(lián)立與得：，由直線與橢圓有一個公共點可知：，化簡得：；【小問2詳解】由題意得：，因為，所以∥，故，其中，，所以，為定值，該定值為1；小問3詳解】，由題意得：點在直線的同側，所以，，（其中為的夾角），由此可知：，當且僅當即時，等號成立，所以的最大值為4.【點睛】對于圓錐曲線定值問題，要能夠利用題干信息用一個變量求解出要求的量，可以是直線的斜率，也可以是點的坐標，然后代入計算得到定點.21.已知為實數(shù)，．對于給定的一組有序?qū)崝?shù)，若對任意，，都有，則稱為的“正向數(shù)組”．（1）若，判斷是否為的“正向數(shù)組”，并說明理由；（2）證明：若為的“正向數(shù)組”，則對任意，都有；（3）已知對任意，都是的“正向數(shù)組”，求的取值范圍．【答案】21.不是的“正向數(shù)組”；22.證明見解析；23.的取值范圍是.【解析】【分析】（1）代入有，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得到的正負時不同取值情況即可；（2）假設存在,使得,通過正向數(shù)組定義轉(zhuǎn)化得對任意恒成立，設，再利用函數(shù)的性質(zhì)即可證明假設不成立；（3）代入有恒成立或恒成立，設，求出是的最大值或最小值時的取值范圍即可.【小問1詳解】若，，對，即，而當，時，，，即，不滿足題意.所以不是的“正向數(shù)組”.【小問2詳解】反證法:假設存在,使得,為的“正向數(shù)組”，對任意,都有.對任意恒成立.令，則在上恒成立，，設，，則當時，在上為負，在上為正，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，當，，當，，即存在，使在上為正，在上為負，在上為正，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當，，當，，則的值域為；若，，在上單調(diào)遞增，又當，，當，，則的值域為.當時，，在上單調(diào)遞增，又當，，當，，必存在，使在上為負，在上為正，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當，，當，，則的值域為.由值域可