2024屆閔行（文綺）中學(xué)高三（下）5月月考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1.在連續(xù)拋四枚硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)中，樣本空間包含___________個(gè)樣本點(diǎn).【答案】【解析】【分析】將所有的樣本點(diǎn)一一列舉出來即可.【詳解】連續(xù)拋四枚硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)中，用表示正面向上，表示反面向上，則樣本空間包含的樣本點(diǎn)有，，共個(gè).故答案為：.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則___________.【答案】##i-2【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意知，，則，故答案為：3.圓的半徑為_________.【答案】【解析】【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，可得出圓的半徑.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故該圓的半徑為.故答案為：.4.若，，則_________.【答案】【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系得，再結(jié)合誘導(dǎo)公式即可得到答案.【詳解】，，，.故答案為：.5.已知無窮等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則的各項(xiàng)和為__________．【答案】【解析】【分析】利用極限的思想可直接求得結(jié)果.【詳解】，.故答案：.6.函數(shù)的值域?yàn)開__________【答案】【解析】【分析】先利用配方可得到然后利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解【詳解】因?yàn)樗愿鶕?jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，可知函數(shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?.直線的傾斜角為___________.【答案】【解析】【分析】先求出直線的斜率，即可得出傾斜角.【詳解】由題意可將原直線方程變形，則直線的斜率為，由傾斜角的取值范圍，所以傾斜角為.故答案為：.8.已知隨機(jī)事件A，B，，，，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算公式和對立事件的概率即可求解.【詳解】依題意得，所以，則，所以，故答案為：.9.在平面直角坐標(biāo)系中，單位圓上三點(diǎn)A，B，C滿足：A點(diǎn)坐標(biāo)為并且，在上的投影向量為，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可畫出示意圖，易知與的夾角的余弦值，再根據(jù)二倍角公式可求得與夾角的余弦值為，根據(jù)向量數(shù)量積的定義即可得.【詳解】根據(jù)題意可知如下圖所示：由題可得，且，設(shè)與的夾角為，所以，又因?yàn)?，所以，由二倍角公式可得；所?故答案為：10.如圖，一個(gè)裝有某種液體的圓柱形容器固定在墻面和地面的角落內(nèi)，容器與地面所成的角為30°，液面呈橢圓形，橢圓長軸上的頂點(diǎn)M，N到容器底部的距離分別是12和18，則容器內(nèi)液體的體積是___________.【答案】【解析】【分析】作出圓柱的軸截面圖，過作容器壁的垂線，垂足為，得到，在直角中，求得，得到圓柱的底面半徑為，結(jié)合圓柱的體積公式，即可求解.【詳解】如圖所示為圓柱的軸截面圖，過作容器壁的垂線，垂足為，因?yàn)槠叫杏诘孛?，可得，橢圓長軸上的頂點(diǎn)，到容器底部的距離分別是12和18，所以，在直角中，，即圓柱的底面半徑為，所以容器內(nèi)液體的體積等于一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱體積的一半，即為容器內(nèi)液體的體積為.故答案為：.11.設(shè)為隨機(jī)變量，從邊長為1的正方體12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，的值為兩條棱之間的距離，則數(shù)學(xué)期望=________.【答案】【解析】【分析】先求出的所有可能取值，然后計(jì)算出現(xiàn)的概率，得分布列，再由期望公式計(jì)算出期望．【詳解】由題意正方體中兩條平行的棱間的距離為1或．正方體共12條棱中任取兩條，共有種取法，其中相交的有，平行且距離為的有種，其余的是異面或距離為1的平行線，共有36種，∴，，，分布列為：01．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量的期望，考查空間直線的位置關(guān)系，考查古典概型概率．綜合度較大，屬于難題．12.若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得和時(shí)的切線方程，并根據(jù)圖象得出a的取值范圍.【詳解】由可得，則函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；設(shè)，則，令，解得；令，解得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；令，解得，可求得的圖象在處的切線方程為；令，解得，可求得的圖象在處的切線方程為；函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖所示：切線與在x軸上的截距分別上，，當(dāng)時(shí)，與函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a取值范圍.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問題.關(guān)鍵點(diǎn)是將零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得和時(shí)的切線方程，根據(jù)圖象即可得出a的取值范圍.二、單選題（本大題共4題，滿分20分）13.下列各項(xiàng)中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求解.【詳解】由函數(shù)的奇偶性可知，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，故排除選項(xiàng)A，B選項(xiàng)；由冪函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故排除選項(xiàng)C，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，故選：D.14.設(shè)為直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】B【解析】【詳解】A中，也可能相交；B中，垂直與同一條直線的兩個(gè)平面平行，故正確；C中，也可能相交；D中，也可能在平面內(nèi).【考點(diǎn)定位】點(diǎn)線面的位置關(guān)系15.若命題：“，，使得”為假命題，則，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由命題的否定為真命題，轉(zhuǎn)化為成立，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可得解.【詳解】由題意，命題的否定“，，使得”為真命題，即，設(shè)，則，所以為增函數(shù)，所以由可知，故選：B16.已知項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列滿足，．若，則k的最大值是（）A.14 B.15 C.16 D.17【答案】B【解析】【分析】通過條件，，得到，再利用條件得到，進(jìn)而得到不等關(guān)系：，從而得到的最大值.【詳解】由，，得到，即，當(dāng)時(shí)，恒有，即，所以，由，得到，所以，，整理得到：，所以.故選：B三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）17.已知正四棱柱的底面邊長為2，.（1）求該四棱柱的側(cè)面積與體積；（2）若為線段的中點(diǎn)，求與平面所成角的大小.【答案】（1），（2）【解析】【詳解】試題分析：⑴根據(jù)題意可得：在中，高∴⑵過作，垂足為，連結(jié)，則平面，∵平面，∴∴在中，就是與平面所成的角∵，∴，又是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴在中∴∴考點(diǎn)：線面角，棱柱的體積點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是對于幾何體體積公式以及空間中線面角的求解的表示，屬于基礎(chǔ)題．18.已知函數(shù).（1）寫出函數(shù)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，角所對的邊分別為，若，且，求的值.【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）【解析】【分析】（1）由三角恒等變換公式化簡，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求解，（2）由題意解得，再由向量數(shù)量積的定義與余弦定理求解，【小問1詳解】，所以；由，得.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；【小問2詳解】由，得.所以或，.因?yàn)槭侨切蝺?nèi)角，所以.而，所以.又，所以.所以，則.19.某地計(jì)劃在水庫建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站.過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量（年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和.單位：億立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.（1）求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；（2）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系：年入流量發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)123若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年凈利潤為5000萬元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年維護(hù)費(fèi)與年入流量有如下關(guān)系：年入流量一臺(tái)未運(yùn)行發(fā)電機(jī)年維護(hù)費(fèi)500800欲使水電站年凈利潤最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？【答案】（1）；（2）應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).【解析】【分析】（1）由題意求出年入流量在3個(gè)范圍：，，的概率.由二項(xiàng)分布可得在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率；（2）記水電站年凈利潤為（單位：萬元）.分別求安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)、安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)、安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的數(shù)學(xué)期望，選擇最大的方案.【詳解】（1）依題意，，，由二項(xiàng)分布，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為：.（2）記水電站年凈利潤為（單位：萬元）①當(dāng)安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)時(shí).由于水庫年入流量總大于40，所以1臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1.此時(shí)的年凈利潤，；②當(dāng)安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)時(shí).此時(shí)，若，則只有1臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此若，則2臺(tái)發(fā)電機(jī)都能運(yùn)行，此時(shí)，因此由此得的概率分布列如下：4500100000.20.8所以，.③當(dāng)安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)時(shí).此時(shí)，若，則只有1臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此若，則有2臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此若，則3臺(tái)發(fā)電機(jī)同時(shí)運(yùn)行，此時(shí)，因此由此得的概率分布列如下：40009200150000.2070.1所以，綜上，欲使水電站年凈利潤最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬于難題.20.已知橢圓，，為左、右焦點(diǎn)，直線過交橢圓于，兩點(diǎn)．（1）若直線垂直于軸，求；（2）當(dāng)時(shí)，在軸上方時(shí)，求、的坐標(biāo)；（3）若直線交軸于，直線交軸于，是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2），（3）存在，或【解析】【分析】（1）由題意方程求得右焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步求得，的坐標(biāo)，則可求；（2）設(shè)，由，利用數(shù)量積為0求得與的方程，再由在橢圓上，得與的另一方程，聯(lián)立即可求得的坐標(biāo)．得到直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立即可求得的坐標(biāo)；（3）設(shè)，，，，直線，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合，得，再由直線的方程：，得縱坐標(biāo)，由直線的方程：，得的縱坐標(biāo)，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得，解得值，從而得到直線方程．【小問1詳解】解：依題意，，當(dāng)軸時(shí)，將代入，解得，則，，所以；【小問2詳解】解：設(shè)，，，，所以，，又在橢圓上，滿足，即，，解得，即．所以直線，聯(lián)立，解得或，所以；【小問3詳解】設(shè)，，，，直線，則，．聯(lián)立，得．則，．由直線的方程：，得縱坐標(biāo)；由直線的方程：，得的縱坐標(biāo)．若，即，，，，代入根與系數(shù)的關(guān)系，得，解得．存在直線或滿足題意．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解析幾何中與弦長相關(guān)的三角形面積常有兩種求法：（1），其中為弦長，為另一頂點(diǎn)到直線的距離；（2）面積等于水平寬與鉛垂高積的一半.21.已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求k的值；（3）記函數(shù)，設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，且恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出切線方程；（2）求出的導(dǎo)數(shù)，判斷的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理判斷即可；（3）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，依題意方程有兩不相等的正實(shí)根、，利用韋達(dá)定理，結(jié)合的取值