函數(shù)的周期性和對稱性一函數(shù)的周期性1概念對于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，f(x+T)=f(x)都成立，那么把函數(shù)y=f(x)叫做周期函數(shù)，常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.Eg：上圖是三角函數(shù)fx①函數(shù)圖像可看成由紅色那段圖像玩“分身術(shù)”的向兩邊延申；②紅色圖像的水平長度為AB=2π，它就是函數(shù)的最小正周期T，即T=2π；(思考：4π是周期么)③整個函數(shù)，對于任何x，都有f(x+2π)=f(x).(簡單說來，兩個自變量相差2π，它們對應(yīng)的函數(shù)值均相等)下面兩個圖像也是周期函數(shù)的圖像！他們的周期是什么？最小正周期呢？2常見的結(jié)論①若f(x+a)=f(x+b)，則y=f(x)的周期是T=a?b.②若f(x+a)=?f(x)，則y=f(x)的周期是T=2a；(你可證明試試)③若fx+a=1fx二函數(shù)的對稱性1函數(shù)圖象自身的對稱關(guān)系①軸對稱：若f(x+a)=f(b?x),則y=f(x)有對稱軸x=a+b②中心對稱：若函數(shù)y=f(x)定義域為R，且滿足條件f(a+x)+f(b?x)=c(a,b,c為常數(shù))，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點2兩個函數(shù)圖象之間的對稱關(guān)系①軸對稱若函數(shù)y=f(x)定義域為R，則兩函數(shù)y=f(x+a)與y=f(b?x)的圖象關(guān)于直線特殊地，函數(shù)y=f(a+x)與函數(shù)y=f(a?x)的圖象關(guān)于直x=0對稱.②中心對稱若函數(shù)y=f(x)定義域為R，則兩函數(shù)y=f(a+x)與y=c?f(b?x)的圖象關(guān)于點(b?a特殊地，函數(shù)y=f(x+a)與函數(shù)y=?f(b?x)圖象關(guān)于點(b?a3周期性與對稱性拓展①若函數(shù)y=f(x)同時關(guān)于直線x=a,x=b對稱，則函數(shù)y=f(x)的周期T=2|b?a|；特殊地，若偶函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱，則函數(shù)y=f(x)的周期②若函數(shù)y=f(x)同時關(guān)于點a,0,(b,0)對稱，則函數(shù)y=f(x)的周期T=2|b?a|③若函數(shù)y=fx同時關(guān)于直線x=a對稱，又關(guān)于點b,0對稱,則函數(shù)y=f(x)T=4|b?a|；特殊地，若奇函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱，則函數(shù)y=f(x)的周期【題型一】函數(shù)的周期性【典題1】設(shè)f(x)是周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時，f(x)=x(1+x)，則f(?9【解析】∵f(x)是周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時，f(x)=x(1+x)，∴f?【典題2】設(shè)偶函數(shù)f(x)對任意x∈R，都有f(x+3)=?1f(x)，且當(dāng)f(x)=4x，則f(107.5)=【解析】∵f(x+3)=?1∴f(x+6)=?1∴函數(shù)f(x)是以6為周期的函數(shù)．∵當(dāng)x∈[－3,－∴f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=?1f(2.5)=?故答案為：110【點撥】①在求值過程中，比如本題中求f(107.5)，先用函數(shù)周期性把107.5這個數(shù)值變小些，盡量向[－②函數(shù)綜合性的題型，可用數(shù)形結(jié)合的方法找到思考的方向.鞏固練習(xí)1(★★)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足fx+4=?f(x)，且在A．f(8)<f(11)<f(15) B．f(11)<f(8)<f(15)C．f(15)<f(11)<f(8) D．f(15)<f(8)<f(11)【答案】B【解析】∵f(x)為R上的奇函數(shù)，且滿足∴f(x)是以8∴f(8)=f(0)f(11)=f(3)=－f(15)=f(7)=f(－又f(x)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，∴f(－1)>f(0)>f(1)故選：B．2(★★)已知f(x)是定義在R上周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[?1,1]時，f(x)=|x|，那么當(dāng)x∈[?7,?5]時，f(x)=【答案】|x+6|【解析】當(dāng)x∈[－∴f(x)=f(x+6)=|x+6|故選：C．3(★★★)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足fx+1=?f(x?1)，若f5=a2?2a?4【答案】【解析】由f(x+1)=－f(x－則f(x+4)=－f(x+2)=f(x)，故函數(shù)f(x)的周期為則f(5)=f(1)=a又∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(－∴f(1)＜∴a2－∴實數(shù)a的取值范圍是(－【題型二】函數(shù)圖象自身的對稱關(guān)系【典題1】定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(?34，0)成中心對稱且對任意的實數(shù)x都有fx=?f(x+32)且【解析】∵fx=?f(x+則f∴f(x)是周期為3的周期函數(shù)．(確定周期后，接著求前三項和f(1)+f(2)+f(3)便可)則f∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(?34∵∴f(1)+f(2)+…+f(2014)=f(1)=1【典題2】已知函數(shù)f(x)=2A．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=2對稱 B．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=4對稱 C．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(2,2)對稱 D．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(4,4)對稱【解析】方法一利用函數(shù)平移和奇偶性對于A選項：若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=2對稱，則y=f(x+2)是偶函數(shù)，而y=f(x+2)=2(x+2)對于B選項，可以采取類似選項A的方法排除；對于C選項：若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(2,2)對稱，則則函數(shù)向左和向下均平移2個單位的函數(shù)關(guān)于原點對稱，即y=f(x+2)易得y=f(x+2)?2=對于D選項：若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(4,4)對稱，則函數(shù)向左和向下均平移4個單位的函數(shù)關(guān)于原點對稱，即y=f而y=f(x+4)?4=2(x+4故選C．方法二利用函數(shù)自身的軸對稱和中心對稱關(guān)系利用函數(shù)自身的軸對稱關(guān)系:若f(x+a)=f(b?x),則y=f(x)有對稱軸x=a+b對于A選項：若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=2對稱，則有f(4而f4對于B選項：若函數(shù)fx的圖象關(guān)于x=4對稱，則有而f8利用函數(shù)自身的中心對稱關(guān)系：若f(a+x)+f(b?x)=c(a,b,c為常數(shù)),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點對于C選項：若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(2,2)對稱，則f(x)+f(4?x)=4易得fx+f4?x對于D選項：若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(4,4)對稱，則f(x)+f(8?x)=8而f(x)+f(8?x)=2x故選C．方法三取特殊值排除法對于A選項：f0=0，f4≠0，故函數(shù)f(x)的圖象不可能關(guān)于x=2對于B選項：f0=0，f8≠0，故函數(shù)對于D選項：f0=0，f8=16故選C．【點撥】①從三種方法來說，顯然大家覺得方法三有種秒殺的感覺，很爽，從應(yīng)試的角度來講是這樣子的.從提高數(shù)學(xué)能力的角度，還是需要好好領(lǐng)會下方法一、二；②方法一需要理解抽象函數(shù)的平移變換：左加右減，上加下減，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的力量；③方法一其實也是方法二的一種特殊情況的表現(xiàn)；對于函數(shù)自身的軸對稱和中心對稱關(guān)系(1)軸對稱:若f(x+a)=f(b?x),則y=f(x)有對稱軸x=a+b對于選項A，令a=b=2,有f(x+2)=f(2?x)，即證明f(x+2)是偶函數(shù)便可.(2)中心對稱:若函數(shù)y=f(x)滿足條件f(a+x)+f(b?x)=c(a,b,c為常數(shù))，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點對于選項C，令a=b=2，c=4，有f2+x即證明y=f2+x【題型三】兩個函數(shù)圖象之間的對稱關(guān)系【典題1】下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=lgx的圖象關(guān)于點(1,0)對稱的是()A．y=lg(1?x) B．y=lg(2?x) C．y=log0.1【解析】設(shè)所求函數(shù)圖象上任意一點P(x,y)，則P(x,y)關(guān)于(1,0)對稱的點(2?x,?y)在y=lgx上，即?y=lg(2?x)，所以y=?lg(2?x)=log0.1故選：D．【典題2】下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=2x的圖象關(guān)于直線y=1對稱的是【解析】設(shè)P(x,y)為所求函數(shù)圖象上的任意一點，它關(guān)于直線y=1對稱的點是Q(x,2?y)．由題意知點Q(x,2?y)在函數(shù)y=2則2?y=2x，即【點撥】這種涉及函數(shù)對稱性、平移去求解析式的題，常用代入法.鞏固練習(xí)1(★★)已知函數(shù)f(x)=ax+2x?6的對稱中心為(b,1)，則a=；b【答案】1，6【解析】∵f(x)=結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的圖象平移可知，函數(shù)f(x)的對稱中心為(6，a)∵f(x)的對稱中心為(b，1)，∴b=6故答案為：1，62(★★)【多選題】函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，那么()A．f(2?x)=f(x) B．f(1?x)=f(1+x)C．函數(shù)y=f(x+1)是偶函數(shù) D．函數(shù)y=f(x?1)是偶函數(shù)【答案】ABC【解析】由f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱可知，f(2－x)=f(x)，把函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位可得y=f(x+1)的圖象，關(guān)于x=0對稱，即為偶函數(shù)，把函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個單位可得y=f(x－1)的圖象，關(guān)于故選：ABC．3(★★★)已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(a?x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則函數(shù)f(1)的值為()A．0 B．1 C．lna D．?1【答案】A【解析】函數(shù)f(x)=lnx+ln(a?x)的圖象關(guān)于直線可得f(x)=f(2－即lnx+ln(a－即有l(wèi)nx(a－可得x(a?即ax?可得2(a－2)=0，且a=4?可得f(x)=lnx+ln(2－則f(1)=2ln1=0．故選：A．4(★★★)已知函數(shù)f(x)=lnxA．y=f(x)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱B．y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱 C．f(x)在(0,4)上單調(diào)遞減 D．f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,4)上單調(diào)遞增【答案】A【解析】x4?x>0，則函數(shù)定義域為(0，4)，f(1)=ln即f(3)=－f(1)，有關(guān)于點進而推測f(x+2)為奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，f(x+2)=lnx+22?x，定義域為∴f(x)為f(x+2)向右平移兩個單位得到，則函數(shù)在(0，4)單調(diào)遞增，關(guān)于點(2，0)對稱，故選：A．5(★★)同一平面直角坐標系中，函數(shù)y=2x+1與A．關(guān)于原點對稱B．關(guān)于x軸對稱 C．關(guān)于y軸對稱D．關(guān)于直線y=x對稱【答案】C【解析】∵y=21?x=(1而y=2x+1的圖象可看做由y=且y=2x與y=(1故函數(shù)y=2x+1與y=故選：C．6(★★★)【多選題】已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足條件fx+2=?A．函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù) B．函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(?1,0)對稱 C．函數(shù)y=f(x)為R上的偶函數(shù) D．函數(shù)y