7.1采樣過(guò)程7.2采樣周期的選擇7.3信號(hào)保持7.4Z變換7.5脈沖傳遞函數(shù)7.6穩(wěn)定性分析7.7線性數(shù)字控制系統(tǒng)的時(shí)域分析習(xí)題

第7章線性離散系統(tǒng)的分析與綜合7.1采樣過(guò)程

目前，離散系統(tǒng)最廣泛的應(yīng)用形式是以計(jì)算機(jī)，特別是以微型數(shù)字計(jì)算機(jī)為控制器的所謂數(shù)字控制系統(tǒng)。也就是說(shuō)，數(shù)字控制系統(tǒng)是以一種以數(shù)字計(jì)算機(jī)為控制器去控制具有連續(xù)工作狀態(tài)的被控對(duì)象的閉環(huán)控制系統(tǒng)。因此，數(shù)字控制系統(tǒng)包括工作于離散狀態(tài)下的數(shù)字計(jì)算機(jī)和工作于連續(xù)狀態(tài)下的被控對(duì)象兩大部分。數(shù)字控制系統(tǒng)的方框圖如圖7-1所示。圖7-1數(shù)字控制系統(tǒng)方框圖

采樣開關(guān)經(jīng)一定時(shí)間T0重復(fù)閉合，每次閉合時(shí)間為h，且有h<T0，其中T0稱為采樣周期。采樣周期的倒數(shù)（7-1）

稱為采樣頻率，而

（7-2）

稱為采樣角頻率，量綱為rad/s。連續(xù)時(shí)間函數(shù)經(jīng)采樣開關(guān)采樣后變成重復(fù)周期等于采樣周期T0的時(shí)間序列，如圖7-2（a）所示。采樣時(shí)間序列也稱采樣脈沖序列。這種脈沖序列是在時(shí)間上離散，而在幅值上連續(xù)的信號(hào)，屬于離散模擬信號(hào)，用在相應(yīng)連續(xù)時(shí)間函數(shù)上打*號(hào)來(lái)表示，如圖7-2（a）中的ε*h(t)。將連續(xù)時(shí)間函數(shù)通過(guò)采樣開關(guān)的采樣而變成脈沖序列的過(guò)程，稱為采樣過(guò)程。圖7-2采樣時(shí)間序列

為了對(duì)數(shù)據(jù)控制系統(tǒng)進(jìn)行定量分析，需要導(dǎo)出描述采樣過(guò)程的數(shù)學(xué)表達(dá)式。圖7-2（a）所示的實(shí)際脈沖序列ε*h(t)可通過(guò)下列數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)描述，即（7-3）

在實(shí)際應(yīng)用中，圖7-2（a）所示實(shí)際脈沖的持續(xù)時(shí)間h通常遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于采樣周期T0。因此，圖7-2（a）所示的實(shí)際脈沖序列可近似用圖7-2（b）所示平頂脈沖序列來(lái)描述，可表達(dá)為（7-4）

（7-6）

它的作用在于指出脈沖存在的時(shí)刻nT0（n=0，1，2，…）,而脈沖強(qiáng)度則由nT0時(shí)刻的連續(xù)函數(shù)值ε(nT0)來(lái)確定。（7-5）式中,δ(t-nT0)表示發(fā)生在t=nT0時(shí)刻的具有單位強(qiáng)度的理想脈沖，即圖7-3理想脈沖序列7.2采樣周期的選擇7.2.1采樣定理

采樣定理也稱香農(nóng)（Shannon）定理，其結(jié)論如下：如果采樣角頻率ωs（或頻率fs）大于或等于2ωm（或2fm），即

ωs≥2ωm

（7-7）式中,ωm（或fm）是連續(xù)信號(hào)頻譜的上限頻率，見圖7-4，則徑采樣得到的脈沖序列能無(wú)失真地恢復(fù)為原來(lái)的連續(xù)信號(hào)。圖7-4連續(xù)信號(hào)頻譜

7.2.2

采樣周期的選取采樣周期T0是數(shù)值控制設(shè)計(jì)的一個(gè)關(guān)鍵因素，必須給以充分注意。 采樣定理只給出選取采樣周期的基本原則，而并未給出解決實(shí)際問(wèn)題的條件公式。顯然，采樣周期T0選得越小，也就是采樣頻率ωs選得越高，對(duì)系統(tǒng)控制過(guò)程的信息了解便越多，控制效果越好。但需注意，采樣周期T0選得太短，將增加不必要的計(jì)算負(fù)擔(dān)，而T0選得過(guò)長(zhǎng)又會(huì)給控制過(guò)程帶來(lái)較大的誤差，降低系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，甚至有可能導(dǎo)致整個(gè)控制系統(tǒng)的不穩(wěn)定。那么，究竟應(yīng)該如何選取采樣周期T0呢？表7-1采樣周期T0的參考數(shù)據(jù)

對(duì)于隨動(dòng)，采樣周期的選擇在很大程度上取決于系統(tǒng)的性能指標(biāo)。在一般情況下，控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率相應(yīng)具有低通濾波特性，當(dāng)隨動(dòng)系統(tǒng)輸入信號(hào)的頻率高于其閉環(huán)幅頻特性的諧振頻率ωr時(shí)，信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)將會(huì)很快地衰減，而在隨動(dòng)系統(tǒng)中，一般可近似認(rèn)為開環(huán)頻率響應(yīng)幅頻特性的剪切頻率ωc與閉環(huán)頻率響應(yīng)幅頻特性的諧振頻率ωr相當(dāng)接近，即ωr≈ωc。也就是說(shuō)，通過(guò)隨動(dòng)系統(tǒng)的控制信號(hào)的最高頻率分量為ωc，超過(guò)ωc的分量通過(guò)系統(tǒng)時(shí)將被大幅度地衰減掉。根據(jù)工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，隨動(dòng)系統(tǒng)的采樣頻率ωs可選為

ωs≈10ωc

（7-8）

考慮到T0=2π/ωs，則按式（7-8）選取的采樣周期T0與系統(tǒng)剪切頻率ωc的關(guān)系為（7-9）從時(shí)域性能指標(biāo)來(lái)看，采樣周期T0通過(guò)單位階躍相應(yīng)的上升時(shí)間tr及調(diào)整時(shí)間ts可按下列經(jīng)驗(yàn)關(guān)系選取，即（7-10）（7-11）

7.3信號(hào)保持信號(hào)保持是指將離散信號(hào)——脈沖序列轉(zhuǎn)換（或恢復(fù)到）連續(xù)信號(hào)的轉(zhuǎn)換過(guò)程。用于這種轉(zhuǎn)換過(guò)程的元件稱為保持器。從數(shù)學(xué)意義來(lái)說(shuō)，保持器的任務(wù)是解決各采樣時(shí)刻之間的插值問(wèn)題。我們知道，在采樣時(shí)刻上，連續(xù)信號(hào)的函數(shù)值與脈沖序列的脈沖強(qiáng)度相等。以時(shí)刻的信號(hào)為例，那就是

以nT0時(shí)刻的信號(hào)為例，那就是

以及對(duì)于采樣時(shí)刻（n+1）T0來(lái)說(shuō)，則有n=0,1,2,...7.3.1零階保持器實(shí)際上，保持器是具有外推功能的元件。也就是說(shuō)，保持器再現(xiàn)時(shí)刻(如nT0+τ(0<τ<T0)）的輸出信號(hào)取決于過(guò)去時(shí)刻（如nT0）離散信號(hào)的外推。在數(shù)值控制系統(tǒng)中，應(yīng)用最廣泛的是具有常值外推功能的保持器，或稱為零階保持器，用符號(hào)H0來(lái)表示。也就是說(shuō)，對(duì)于零階保持器有下式成立:

ε(nT0+τ)=α0

（7-12）

式中，α0為常值，τ的變化范圍是0≤τ<T0。顯然，在τ=0時(shí)，式（7-12）也成立，這時(shí)有

ε(nT0)=α0

（7-13）由式（7-12）及（7-13）求得

ε(nT0+τ)=ε(nT0)0≤τ<T0

（7-14）式（7-14）說(shuō)明，零階保持器是一種按常值規(guī)律外推的保持器。圖7-5零階保持器的輸出曲線

零階保持器的時(shí)域特性gＨ(t)如圖7-6（a）所示。它是高度為1，寬度為T0的方脈沖。高度等于1，說(shuō)明采樣值經(jīng)過(guò)保持器既不放大，也不衰減；寬度等于T0，說(shuō)明零階保持器對(duì)采樣值只能不增不減地保持一個(gè)采樣周期。由圖7-6（b）求得零階保持器的傳遞函數(shù)GH(s)為（7-15）

由式（7-15）求得零階保持器的頻率響應(yīng)為

（7-16）圖7-6零階保持器的時(shí)域特性和傳遞函數(shù)

(a)時(shí)域特性；(b)傳遞函數(shù)

從圖7-5看到，經(jīng)由零階保持器得到的連續(xù)信號(hào)具有階梯形狀，它并不等于采樣前的連續(xù)信號(hào)ε(t)。平均地看，由零階保持器轉(zhuǎn)換得到的連續(xù)信號(hào)（圖7-5中的點(diǎn)劃線）在時(shí)間上要遲后于采樣前的連續(xù)信號(hào)。式（7-16）表明，這個(gè)遲后時(shí)間等于采樣周期的一半，即T0/2。零階保持器相對(duì)其它類型的保持器具有實(shí)現(xiàn)容易及遲后時(shí)間小等優(yōu)點(diǎn)，是在數(shù)值控制系統(tǒng)中應(yīng)用最廣泛的一種保持器。7.3.2一階保持器一階保持器是一種基于兩個(gè)采樣值ε(nT0)與ε［(n+1)T0］按線性外推規(guī)律保持脈沖序列ε*(t)的保持器。線性外推函數(shù)的斜律為

{ε(nT0)-ε［(n+1)T0］}/T0,而外推函數(shù)值為（7-17）式中，τ=t-nT0,nT0≤t≤(n+1)T0。圖7-7一階保持器的輸出曲線

基于線性外推規(guī)律的一階保持器的輸出信號(hào)εH(t)如圖7-7所示。根據(jù)輸出信號(hào)εH(t)可求得一階保持器的時(shí)域特性gH(t)，并由時(shí)域特性gH(t)求得相應(yīng)的頻率響應(yīng)為

（7-18）

從式（7-18）可見，一階保持器的遲后相移較零階保持器的遲后相移為大，其平均相移等于零階保持器平均相移的2倍。由于這個(gè)原因，數(shù)字控制系統(tǒng)一般很少采用一階保持器，而普遍采用零階保持器。7.4Z變換

線性連續(xù)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)及穩(wěn)定特性可應(yīng)用拉氏變換方法進(jìn)行分析。與此相似，線性數(shù)字控制系統(tǒng)的性能也可以應(yīng)用基于拉氏變換方法建立的Z變換方法來(lái)分析。Z變換方法可看成是拉式變換方法的一種變形，它可由拉式變換導(dǎo)出。

7.4.1Z變換

設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)可進(jìn)行拉式變換，其象函數(shù)為X(s)?？紤]到t<0時(shí)x(t)=0，連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)經(jīng)采樣周期為T0的采樣開關(guān)后，得到脈沖序列為對(duì)上式進(jìn)行拉式變換，得到（7-19）

因復(fù)變量s含在指數(shù)函數(shù)中不便計(jì)算，故引入一個(gè)新變量（7-20）將式（7-20）代入式（7-19），便求得以z為變量的函數(shù)X(z)，即（7-21）

需指出，在Z變換過(guò)程中，由于考慮的僅是連續(xù)時(shí)間函數(shù)經(jīng)采樣開關(guān)采樣后的離散時(shí)間函數(shù)——脈沖序列，也就是說(shuō)，考慮的僅是連續(xù)時(shí)間函數(shù)在采樣時(shí)刻上的采樣值，因此式（7-21）表達(dá)的僅是連續(xù)時(shí)間函數(shù)在采樣時(shí)刻的信息，而不反映采樣時(shí)刻之間的信息。從這種意義上來(lái)說(shuō)，連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)與相應(yīng)的采樣脈沖序列x*(t)具有相同的Z變換，即X(z)=Z［x*(t)］=Z［x(t)］（7-22）1）級(jí)數(shù)求和法將式（7-21）寫成展開形式，即

X(z)=x(0)+x(T0)z-1+x(2T0)z-2+...+x(nT0)z-n+...（7-23）式（7-23）離散時(shí)間函數(shù)x*(t)是Z變換的一種級(jí)數(shù)表達(dá)形式。顯然，只要知道連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)在采樣時(shí)刻nT0(n=1,2,...,∞)上的采樣值x(nT0)，便可通過(guò)式（7-23）求取其Z變換的級(jí)數(shù)展開形式。但級(jí)數(shù)具有無(wú)窮多項(xiàng)，是開式，如不能寫成閉式，是很難應(yīng)用的。幸好，常用函數(shù)的級(jí)數(shù)形式都可寫成閉式。例7.1

試求取單位階躍函數(shù)的Z變換解單位階躍函數(shù)在所有采樣時(shí)刻上的采樣值均為1，即根據(jù)式（7-23）求得在上式中，若，則上式可寫成下列閉式，即

（7-24）因?yàn)閷(s)展開成部分分式和的形式，即

式中,si為N(s)的零點(diǎn)，即X(s)的極點(diǎn)；為常系數(shù)；

由拉氏變換知，與Ai/(s+si)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的原函數(shù)為，又根據(jù)式（7-26），便可求得Z［Ai/(s+si)］為

。因此，函數(shù)x(t)的Z變換由象函數(shù)X(s)求得為（7-27）3）留數(shù)計(jì)算法已知連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)的拉氏變換象函數(shù)X(s)及其全部極點(diǎn)si(i=1,2,3,…,n)，則x(t)的Z變換可通過(guò)下列留數(shù)計(jì)算式求得，即（7-29）式中，ri為重極點(diǎn)si的個(gè)數(shù)；n為彼此不等的極點(diǎn)各數(shù)。表7-2Z變換表例7.4試求連續(xù)時(shí)間函數(shù)的Z變換。 解首先寫出的拉式變換，即（7-30）根據(jù)式（7-29）求得為常用時(shí)間函數(shù)的Z變換及其相應(yīng)的拉式變換列入表7-2，以備求取這些時(shí)間函數(shù)的Z變換時(shí)查用。7.4.2.Z變換的基本定理這里介紹Z變換的一些基本定理，它們與拉氏變換的基本定理有許多相似之處。

1）線性定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)、x1(t)及x2(t)的Z變換分別為X(z)、X1(z)及X2(z)，并設(shè)a為常數(shù)或與時(shí)間t及復(fù)變量z無(wú)關(guān)的變量，則有

Z［ax(t)］=aX(z)（7-32）

Z［x1(t)±x2(t)］=X1(z)±X2(z)（7-33）2）遲后定理

設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)當(dāng)t<0時(shí)恒為0，且具有Z變換，則有

Z［x(t-kT0)］=z-k·X(z)（7-34）式（7-34）所示為Z變換的遲后定理，它說(shuō)明當(dāng)原函數(shù)x(t)在時(shí)間上產(chǎn)生k個(gè)采樣周期kT0的遲后時(shí)，其相應(yīng)的Z變換具有通過(guò)z-k表示的k步負(fù)偏移或k步遲后。

證明根據(jù)式（7-21）所示Z變換定義，求得將上式展開，并考慮到x(-T0)=x(-2T0)=...=x(-kT0)=0得到Z［x(t-kT0)］

=x(0)z-k+x(T0)z-(k+1)+...+x(nT0)z-(k+n)+...=z-kX(z)定理得證。圖7-8z-k表示的時(shí)滯3）終值定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)的Z變換為X(z)，并設(shè)X(z)不含z=1的二重以上極點(diǎn)，以及在z平面單位圓外無(wú)極點(diǎn)，則x(t)的終值通過(guò)其Z變換X(z)求得,為

（7-35）式（7-35）所表達(dá)的便是Z變換的終值定理。仿上式還可以寫出其中由此求得或?qū)懗蓪?duì)上式等號(hào)兩邊同取得極限，可得即定理得證。7.4.3

Z反變換

Z反變換是Z正變換（簡(jiǎn)稱Z變換）的逆運(yùn)算。通過(guò)Z反變換，可由象函數(shù)求取相應(yīng)的原函數(shù)——采樣脈沖序列。也就是說(shuō)，通過(guò)Z反變換得到的僅是各采樣時(shí)刻上連續(xù)時(shí)間函數(shù)的函數(shù)值。下面介紹與Z正變換對(duì)應(yīng)的三種求取Z反變換的方法。1）長(zhǎng)除法將連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)的Z變換X(z)展開成z-1的無(wú)窮級(jí)數(shù)，即

X(z)=x(0)+x(T0)z-1+x(2T0)z-2+...+x(nT0)z-n+...

（7-36）設(shè)象函數(shù)X(z)為復(fù)變量Z的有理函數(shù)，即

式中,M(z)=b0+b1z-1+b2z-2+...+bmz-m

N(z)=a0+a1z-1+a2z-2+...+akz-k，k≥m

通過(guò)分子多項(xiàng)式M(z)除以分母多項(xiàng)式N(z)的長(zhǎng)除法，可得到具有式（7-36）所示形式的無(wú)窮級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)中z-n項(xiàng)系數(shù)x(nT0)(n=0,1,2,...,∞)將是采樣脈沖序列x*(t)的脈沖強(qiáng)度。

例7.6

試求取X(z)=10z/(z-1)(z-2)的Z反變換x*(t)。

解由

應(yīng)用長(zhǎng)除法求得

X(z)=10z-1+30z-2+70z-3+150z-4+...

對(duì)照式（7-36），由上得到

x(0)=0

x(T0)=10

x(2T0)=30

x(3T0)=70

x(4T0)=150

...

因此，脈沖序列x*(t)可寫為x*(t)=10δ(t-T0)+30δ(t-2T0)+70δ(t-3T0)+150δ(t-4T0)+...2）部分分式法由已知的象函數(shù)X(z)求數(shù)極點(diǎn)z1,z2,…,zn，再將X(z)/z展開成部分分式和的形式，即由X(z)/z求取X(z)的表達(dá)式，即

最后，逐項(xiàng)地通過(guò)查Z變換表求取Aiz/(z-zi)對(duì)應(yīng)的Z反變換，并根據(jù)這些反變換寫出與象函數(shù)X(z)對(duì)應(yīng)的原函數(shù)x*(t)，即（7-37）式中Z-1［·］是對(duì)括號(hào)內(nèi)的象函數(shù)求Z反變換的符號(hào)。通過(guò)查Z變換表8-1，求得其中即由此求得3）留數(shù)計(jì)算法應(yīng)用留數(shù)計(jì)算法求取已知X(z)的Z反變換，首先求取x(nT0)(n=0,1,2,...，∞)，即

x(nT0)=∑res［X(z)·zn-1］

其中留數(shù)和∑res［X(z)·zn-1］可寫為（7-38）

式中，zi(i=1,2,…,l)為X(z)彼此不相等的極點(diǎn)，這些極點(diǎn)的總數(shù)為l;r為重極點(diǎn)zi的重復(fù)個(gè)數(shù)。其次由求得的x(nT0),仿照式（7-5）可寫出與已知象函數(shù)X(z)對(duì)應(yīng)的原函數(shù)——脈沖序列例7.8試求取X(z)=z/(z-γ)(z-1)2的Z反變換。

分析線性數(shù)字控制系統(tǒng)時(shí)，脈沖傳遞函數(shù)是個(gè)很重要的概念。正如線性連續(xù)控制系統(tǒng)的特性可由傳遞函數(shù)來(lái)描述一樣，線性數(shù)字控制系統(tǒng)的特性可通過(guò)脈沖傳遞函數(shù)來(lái)描述。圖7-9所示為典型開環(huán)線性數(shù)字控制系統(tǒng)的方框圖，其中G(s)為該系統(tǒng)連續(xù)部分的傳遞函數(shù)。連續(xù)部分的輸入為采樣周期等于T0的脈沖序列ε*(t)，其輸出為經(jīng)虛擬同步采樣開關(guān)的脈沖序列c*(t)。c*(t)反映連續(xù)輸出c(t)在采樣時(shí)刻上的離散值。

7.5脈沖傳遞函數(shù)圖7-9開環(huán)線性數(shù)字控制系統(tǒng)方框圖

脈沖傳遞函數(shù)的定義是輸出脈沖序列的Z變換與輸入脈沖序列的Z變換之比。如圖7-9所示開環(huán)線性數(shù)字控制系統(tǒng)的連續(xù)部分的脈沖傳遞函數(shù)G(s)為（7-39）脈沖傳遞函數(shù)G(z)可通過(guò)連續(xù)部分的傳遞函數(shù)G(s)來(lái)求取。例如，設(shè)

則可通過(guò)部分分式求取相應(yīng)的Z變換G(z)，該G(z)便是對(duì)應(yīng)G(s)的脈沖傳遞函數(shù)，即由求得

基于脈沖響應(yīng)概念，當(dāng)線性數(shù)字控制系統(tǒng)連續(xù)部分的輸入信號(hào)為脈沖序列時(shí)，其輸出為一系列脈沖響應(yīng)之和，即

c(t)=ε(0)g(t)+ε(T0)g(t-T0)+...+ε(nT0)g(t-nT0)+...

在t=mT0時(shí)刻，輸出響應(yīng)c(t)的脈沖強(qiáng)度為

c(mT0)

=ε(0)g(mT0)+ε(T0)g［(m-1)T0］

+...+ε(nT0)g［(m-n)T0］+...

由于c(mT0)只表示發(fā)生在mT0時(shí)刻的脈沖強(qiáng)度，故輸出的脈沖響應(yīng)序列為對(duì)上式取Z變換，得到記m-n=h，上式可改寫為

由于h<0，即m-n<0，g［(m-n)T0］=0，故有其中，于是求得1.線性數(shù)字控制系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)線性數(shù)字控制系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的定義是主反饋信號(hào)與偏差信號(hào)Z變換之比。（7-40）

式中,G(z)為開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)；ε(z)為偏差信號(hào)的Z變換；Y(z)為主反饋信號(hào)的Z變換。

圖7-10所示為線性數(shù)字控制系統(tǒng)開環(huán)方框圖的3種形式，其中G0(z)為前向通道傳遞函數(shù)，H(z)為主反饋通道傳遞函數(shù)；圖（a）為單位反饋系統(tǒng)方框圖，圖（b）及（c）為非單位反饋系統(tǒng)方框圖。圖7-10線性數(shù)字控制系統(tǒng)開環(huán)方框圖1）串聯(lián)環(huán)節(jié)間無(wú)同步采樣開關(guān)隔離時(shí)的脈沖傳遞函數(shù)圖7-11（a）所示串聯(lián)環(huán)節(jié)無(wú)同步采樣開關(guān)隔離時(shí)，其脈沖傳遞函數(shù)G(z)=C(z)/ε(z)由描述連續(xù)工作狀態(tài)的傳遞函數(shù)G1(s)與G2(s)乘積G1(s)G2(s)來(lái)求取，記為

G(z)=Z［G1(s)G2(s)］=G1G2(z)（7-41）圖7-11串聯(lián)環(huán)節(jié)方框圖

設(shè)兩串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)分別為G1(s)=1/(0.1s+1)及G2(s)=1/s,求取它們之間無(wú)同步采樣開關(guān)隔離時(shí)的脈沖傳遞函數(shù)。按式（7-41）要求，首先計(jì)算然后由G(z)=Z［G1(s)G2(s)］求取脈沖傳遞函數(shù)

對(duì)于圖7-10（a）所示的單位反饋線形式自控制系統(tǒng)，其開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

G(z)=Z［G0(s)］=G0(z)

其中G0(s)可以是若干（如m個(gè)）無(wú)同步采樣開關(guān)隔離的串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)。在這種情況下，開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)為

G(z)=Z［G1(s)G2(s)...Gn(s)］=G1G2...Gn(z)（7-42）對(duì)于圖7-10（b）所示的非單位線性數(shù)字控制系統(tǒng)，其開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

G(z)=Z［G0(s)H(s)］=G0H(z)（7-43）然后由式（7-43）求得脈沖傳遞函數(shù)為對(duì)于圖7-10（c）所示非單位反饋線性數(shù)字控制系統(tǒng)，由式（7-43）求得其開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

在串聯(lián)環(huán)節(jié)間有同步采樣開關(guān)隔離時(shí)，總的脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)與零點(diǎn)和串聯(lián)環(huán)節(jié)的極點(diǎn)與零點(diǎn)相同；在串聯(lián)環(huán)節(jié)間無(wú)同步采樣開關(guān)隔離時(shí)，前者與后者的極點(diǎn)仍相同，但它們的零點(diǎn)卻不完全一樣。顯然，針對(duì)兩個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)得到的關(guān)于求取其總的脈沖傳遞函數(shù)的結(jié)論完全可以推廣到多個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)的情況，如式（7-42）所示。3）環(huán)節(jié)與零階保持器串聯(lián)時(shí)的脈沖傳遞函數(shù)設(shè)零階保持器的傳遞函數(shù)以及另一串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G′2(s)，它是復(fù)變量s的有理分式。顯然，在這種情況下，兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無(wú)同步采樣開關(guān)隔離。為求取總的脈沖傳遞函數(shù)，首先需要計(jì)算其中

由于

不是復(fù)變量s的有理分式，故不能直接按式（7-41）來(lái)計(jì)算G1G2(z)。但由（7-44）

式中設(shè)與零階保持器串聯(lián)的環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

其中k與a為常量，按式（7-44）求得環(huán)節(jié)G′2(s)與零階保持器串聯(lián)的脈沖傳遞函數(shù)為（7-45）7.5.2.線性數(shù)字控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)典型線性數(shù)字控制系統(tǒng)的方框圖如圖7-12所示。首先求得在控制信號(hào)r(t)作用下線性數(shù)字控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。從圖7-12可寫出下列關(guān)系式：

C(s)=G1(s)G2(s)ε*(s)Y(s)=H(s)C(s)ε(s)=R(s)-Y(s)

由上列各式求得

ε(s)=R(s)-G1(s)G2(s)H(s)ε*(s)（7-46）

圖7-12典型線性數(shù)字控制系統(tǒng)的方框圖

其中,ε*(s)代表對(duì)偏差信號(hào)ε(t)進(jìn)行采樣所得脈沖序列的拉氏變換，也就是離散偏差的Z變換，即有

ε*(s)=ε(z)（7-47）將式（7-47）代入式（7-46），并將式（7-46）等號(hào)兩邊各項(xiàng)取Z變換，可得

ε(z)=R(s)-G1G2H(z)·ε(z)

由上式求得偏差信號(hào)對(duì)于控制信號(hào)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為（7-48）

考慮到

C(z)=G1G2(z)·ε(z)

由式（7-48）求得被控制信號(hào)對(duì)于控制信號(hào)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為（7-49）

其次求取在擾動(dòng)信號(hào)f(t)單獨(dú)作用下線性數(shù)字控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。從圖7-12可寫出

C(z)=G2(z)F(z)+G1G2(z)ε(z) ε(z)=-H(z)·C(z)

由上列兩式，最終求得被控制信號(hào)對(duì)于擾動(dòng)信號(hào)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為（7-50）

對(duì)于單位反饋線性控制系統(tǒng)，由于H(s)=1，因此式（7-48）~（7-50）分別變成表7-3所列為常見線性數(shù)字控制系統(tǒng)的方框圖及其被控制信號(hào)的Z變換C(z)。（7-51）（7-52）（7-53）表7-3常見線性數(shù)字控制系統(tǒng)的C(z)

例7.9

試求取圖7-13所示線性數(shù)字控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，圖中為零階保持器的傳遞函數(shù),k/s(s+a)為連續(xù)部分的傳遞函數(shù)，k與a均為常數(shù)。圖7-13線性數(shù)字控制系統(tǒng)方框圖解通過(guò)Z變換，根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)求取開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)由式（7-45）求得給定系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為由于給定系統(tǒng)是單位反饋線性數(shù)字控制系統(tǒng)，故由上式所示開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)根據(jù)式（7-51）及（7-52）可求得給定系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為7.6穩(wěn)定性分析7.6.1s平面與z平面的映射關(guān)系復(fù)變量s與復(fù)變量z間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為（7-54）

式中T0為采樣周期。在式（7-54）中，代入s=σ+jω，得到

（7-55）

對(duì)于s平面的虛軸，復(fù)變量s的實(shí)部σ=0，其虛部ω從-∞變至+∞。從式（7-55）可見，σ=0對(duì)應(yīng)|z|=1，ω從-∞變至+∞對(duì)應(yīng)復(fù)變量z的幅角∠z也從-∞變到+∞。當(dāng)ω從-ωs/2變到+ωs/2時(shí)，∠z由-π變到+π。因此，s平面虛軸由-jωs/2~+jωs/2區(qū)段，見圖7-14（a），映射到z平面為一單位圓，如圖7-14（b）所示。圖7-14s平面虛軸在z平面上的映射

7.6.2線性數(shù)字控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件圖7-12所示線性數(shù)字控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為由上式求得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

1+G1G2H(z)=0（7-56）

設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的特征根或閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為z1，z2，…，zn，則線性數(shù)字控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：線性數(shù)字控制系統(tǒng)的全部特征根zi（i=1,2,…,n）均需分布在z平面的單位圓內(nèi)，或全部特征根的模必須小于1，即|zi|<1（i=1,2,...,n），如果在上述特征根中，有位于單位圓之外者時(shí)，則閉環(huán)系統(tǒng)將是不穩(wěn)定的。

由于兩個(gè)特征根均分布在Z平面的單位圓內(nèi)，所以該線性控制系統(tǒng)在給定參數(shù)下是穩(wěn)定的。

7.6.3.勞斯（Routh）穩(wěn)定判據(jù)分析線性連續(xù)控制系統(tǒng)時(shí)，曾應(yīng)用Routh穩(wěn)定性判據(jù)判斷系統(tǒng)的特征根中位于s平面右半部的個(gè)數(shù)，以此鑒別系統(tǒng)是否穩(wěn)定。對(duì)于線性數(shù)字控制系統(tǒng)，也可以用Routh穩(wěn)定判據(jù)分析其穩(wěn)定性。不過(guò)，需注意，不能直接應(yīng)用以復(fù)變量z表示的特征方程，而必須首先進(jìn)行（7-57）

的所謂ω變換，然后再對(duì)以ω為變量的特征方程應(yīng)用Routh穩(wěn)定判據(jù)分析線性數(shù)字控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

在應(yīng)用Routh穩(wěn)定判據(jù)分析線性數(shù)字控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性之前，需要說(shuō)明由ω變換聯(lián)系起來(lái)的z平面與ω平面間的映射關(guān)系。為此，分別設(shè)復(fù)變量z與ω為

z=x+jy

ω=u+jv

將式（7-57）改寫成（7-58）

將復(fù)變量z及ω通過(guò)它們的實(shí)部、虛部表示代入式（7-58），可得（7-59）

其中x2+y2=|z|2。從式（7-59）看到，當(dāng)復(fù)變量z的模|z|=1時(shí)，復(fù)變量ω的實(shí)部等于0，而其虛部不為0，這說(shuō)明，z平面單位圓在ω平面上的映像為ω平面的虛軸。對(duì)所有模大于1的復(fù)變量z來(lái)說(shuō)，因?yàn)閺?fù)變量ω的實(shí)部為正，故z平面單位圓外部區(qū)域在ω平面上的影響將是其整個(gè)右半部。同理，對(duì)于所有模小于1的復(fù)變量z，由于對(duì)應(yīng)的復(fù)變量ω的實(shí)部為負(fù)，故z平面單位圓內(nèi)部區(qū)域在ω平面上的影響將是其整個(gè)左半部。z平面與ω平面間的映射關(guān)系見圖7-15。圖7-15s平面到ω平面上的映射

基于上述z平面與ω平面間的映射關(guān)系結(jié)論，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程通過(guò)ω變換后，由于完全符合Routh穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用條件，故可根據(jù)以復(fù)變量ω表示的閉環(huán)系統(tǒng)特征方程應(yīng)用Routh穩(wěn)定判據(jù)分析線性數(shù)字控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

例7.11

試用Routh穩(wěn)定判據(jù)分析例7.9所示線性數(shù)字控制系統(tǒng)當(dāng)參數(shù)α=1,k=1及T0=1s時(shí)的穩(wěn)定性。根據(jù)上列特征方程寫出如下Routh計(jì)算表：從上列Routh計(jì)算表看出，例7.9所示線性數(shù)字控制系統(tǒng)在給定的參數(shù)條件下是穩(wěn)定的，這個(gè)結(jié)論與例7.10中的結(jié)論相同。

最后還需指出，在圖7-13所示線性數(shù)字控制系統(tǒng)中，若無(wú)采樣開關(guān)及零階保持器，則變成一般的二階線性控制系統(tǒng)，而這類系統(tǒng)的穩(wěn)定性是與開環(huán)增益無(wú)關(guān)的。但二階線性數(shù)字控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性卻與開環(huán)增益的取值有很大關(guān)系。事實(shí)上，當(dāng)開環(huán)增益較小時(shí)，系統(tǒng)可以穩(wěn)定工作，如例7.11所示的情況；但在開環(huán)增益超過(guò)一定值（臨界值）時(shí)，系統(tǒng)就會(huì)變成不穩(wěn)定。開環(huán)增益的臨界值可用Routh穩(wěn)定判據(jù)求取。例如，圖7-13所示系統(tǒng)，在參數(shù)、時(shí)，其閉環(huán)特征方程為寫出Routh計(jì)算表，即根據(jù)Routh穩(wěn)定性要求，可得到下列不等式求得滿足二階線性數(shù)字控制系統(tǒng)穩(wěn)定要求的開環(huán)增益k的取值范圍為經(jīng)變換，可得7.7線性數(shù)字控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

1.線性數(shù)字控制系統(tǒng)的響應(yīng)過(guò)程應(yīng)用Z變換方法分析線性數(shù)字控制系統(tǒng)，需根據(jù)其閉環(huán)脈沖函數(shù)C(z)/R(z)，通過(guò)給定輸入信號(hào)的z變換R(z)，求取被控制信號(hào)的z變換C(z)，最后經(jīng)Z反變換求取被控制信號(hào)的脈沖序列c*(t)。c*(t)代表線性數(shù)字控制系統(tǒng)對(duì)給定輸入信號(hào)的響應(yīng)過(guò)程?；诔{(diào)量σp、調(diào)整時(shí)間ts=λT0(λ為大于0的整數(shù)，T0為采樣周期)及穩(wěn)定誤差等性能指標(biāo)，根據(jù)線性數(shù)字控制系統(tǒng)的響應(yīng)過(guò)程c*(t),便可分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)與穩(wěn)定性能。

例7.12

試應(yīng)用Z變換方法分析圖7-13所示的線性數(shù)字控制系統(tǒng)。已知r(t)=l(t)以及參數(shù)α=1,k=1及周期采樣T0=1s。通過(guò)長(zhǎng)除法，將展開無(wú)窮級(jí)數(shù)形式，即圖7-16系統(tǒng)輸出脈沖序列7.7.2線性數(shù)字控制系統(tǒng)的穩(wěn)定誤差根據(jù)線性數(shù)字控制系統(tǒng)響應(yīng)輸入信號(hào)的輸出響應(yīng)過(guò)程曲線c*(t)或響應(yīng)誤差曲線e*(t)，通過(guò)查圖可求得系統(tǒng)響應(yīng)給定輸入信號(hào)的穩(wěn)定誤差e*ss(t)。應(yīng)用該法求取線性數(shù)字控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差時(shí)，需要先根據(jù)系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)C(z)/R(z)或E(z)/R(z)以及給定輸入信號(hào)的Z變換R(z)求出系統(tǒng)的輸出響應(yīng)過(guò)程c*(t)或響應(yīng)誤差e*(t)。然后在t≥ts

情況下，由r*(t)與c*(t)的差值或直接由響應(yīng)誤差e*(t)求取系統(tǒng)的穩(wěn)定誤差e*ss(t)。這里，ts為系統(tǒng)響應(yīng)過(guò)程的調(diào)整時(shí)間。注意，e*ss(t)是從t=ts開始計(jì)時(shí)時(shí)誤差變量對(duì)于時(shí)間t的函數(shù)，它代表在t≥ts的穩(wěn)定情況下響應(yīng)誤差e*(t)的變化過(guò)程，其中包括不隨時(shí)間變化的恒值過(guò)程。

線性數(shù)字控制系統(tǒng)的穩(wěn)定誤差還可通過(guò)誤差系數(shù)和輸入信號(hào)及其各階導(dǎo)數(shù)在采樣時(shí)刻上的數(shù)值來(lái)求取。設(shè)線性數(shù)字控制系統(tǒng)響應(yīng)理想單位脈沖δ(t)的響應(yīng)誤差為K*e(t)，則該系統(tǒng)響應(yīng)輸入脈沖序列的響應(yīng)誤差為e*(t)=r(0)K*e(t)+r(T0)K*e(t-T0)+r(2T0)K*e(t-2T0)+...+r(nT0)K*e(t-nT0)+...

響應(yīng)誤差e*(t)在采樣時(shí)刻nT0的數(shù)值為

e(nT0)=r(0)K*e(nT0)+r(T0)Ke［(n-1)T0］+

r(2T0)Ke［(n-2)T0)］+...+r(nT0)Ke(0)+...

考慮到t<0時(shí)r(t)=0，上式可寫成（7-60）若系統(tǒng)的輸入信號(hào)r(t)對(duì)于所有的t前m階導(dǎo)數(shù)均存在，則可將r(t-τ)展開成泰勒級(jí)數(shù)，即（7-61）在式（7-61）中，令t=nT0及τ=kT0，可得（7-62）將式（7-62）代入式（7-60），可得（7-63）式中：（7-64）

系數(shù)c0,c1,c2,...,cm,...定義線性數(shù)字控制系統(tǒng)的誤差系數(shù)。從式（7-63）可見，在已知誤差系數(shù)和輸入信號(hào)及其各階導(dǎo)數(shù)的情況下，便可求得在采樣時(shí)刻nT0上系統(tǒng)響應(yīng)輸入信號(hào)r(t)的穩(wěn)定誤差e*ss(t)的數(shù)值e*ss(nT0)，如果把n=0，1，2，…時(shí)各采樣時(shí)刻的值ess(0)，ess(T0)，ess(2T0)，...都按式（7-63）計(jì)算出來(lái)，則可寫出線性數(shù)字控制系統(tǒng)響應(yīng)輸入信號(hào)r(t)的穩(wěn)定誤差e*ss(t):

一般來(lái)說(shuō)，按式（7-64）通過(guò)脈沖響應(yīng)K*e(t)計(jì)算誤差系數(shù)是比較困難的。下面介紹通過(guò)線性數(shù)字控制系統(tǒng)的閉環(huán)誤差脈沖函數(shù)Φe(z)計(jì)算誤差系數(shù)的方法。設(shè)

Φe(z)=a0+a1z-1+a2z-2+...+akz-k+...（7-65）由于Z-1［Φe(z)］=K*e(t)，故對(duì)上式取Z反變換，得到

K*e(t)=a0