第六章Z

變換及其應(yīng)用6.1

Z

變換的定義6.2

Z變換收斂區(qū)及典型序列Z變換6.3

Z變換的性質(zhì)與定理6.4逆Z變換6.5離散系統(tǒng)的復(fù)頻域分析6.6系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性6.7離散系統(tǒng)的模擬6.8基于MATLAB的離散頻域分析6.1Z變換的定義

Z變換的定義可由抽樣信號(hào)的拉氏變換引出。連續(xù)信號(hào)的理想抽樣信號(hào)為式中,T為抽樣間隔。對(duì)上式取雙邊拉氏變換，得到

交換運(yùn)算次序，并利用沖激函數(shù)的抽樣性，得到抽樣信號(hào)的拉氏變換為(6.1-1)令z=esT或 ，引入新的復(fù)變量，式(6.1-1)可寫(xiě)為(6.1-2)式(6.1-2)是復(fù)變量Z的函數(shù)（T是常數(shù)），可寫(xiě)成(6.1-3)式(6.1-3)是雙邊Z變換的定義。如果x(n)是因果序列，則式(6.1-3)的Z變換為(6.1-4)6.2Z變換收斂區(qū)及典型序列Z變換例6.2-1已知序列分別求它們的Z變換及收斂區(qū)。解

X1(z)與X2(z)相同，但X1(z)的收斂區(qū)是以|a|為半徑的圓外，而X2(z)的收斂區(qū)是以|a|為半徑的圓內(nèi)。此例說(shuō)明，收斂區(qū)與x(n)有關(guān)，并且對(duì)于雙邊Z變換，不同序列的表示式有可能相同，但各自的收斂區(qū)一定不同。所以為了惟一確定Z變換所對(duì)應(yīng)的序列，雙邊Z變換除了要給出X(z)的表示式外，還必須標(biāo)明X(z)的收斂區(qū)。任意序列Z變換存在的充分條件是級(jí)數(shù)滿足絕對(duì)可和，即(6.2-1)1.有限長(zhǎng)序列圖6.2-1有限長(zhǎng)序列示意圖有限長(zhǎng)序列的Z變換為

由上式有限長(zhǎng)序列的Z變換可見(jiàn)，此時(shí)X(z)是有限項(xiàng)級(jí)數(shù)，因此只要級(jí)數(shù)每項(xiàng)有界，則有限項(xiàng)之和亦有界。當(dāng)x(n)有界時(shí)，Z變換的收斂區(qū)取決于|z|-n。當(dāng)n1≤n≤n2時(shí)，顯然，|z|在整個(gè)開(kāi)區(qū)間(0,∞)可滿足這一條件。所以有限長(zhǎng)序列的收斂區(qū)至少為0<|z|<∞。如果0≤n1，X(z)只有z的負(fù)冪項(xiàng)，收斂區(qū)為0<|z|≤∞；若n2≤0，X(z)只有z的正冪項(xiàng)，收斂區(qū)為0≤|z|<∞；均為半開(kāi)區(qū)間。特別的，x(n)=δ(n)X(z)=1，0≤|z|≤∞，收斂區(qū)為全z平面。例6.2-2已知序列x(n)=RN(n)，求X(z)。解收斂域?yàn)?<|z|≤∞2.右邊序列右邊序列是有始無(wú)終的序列，即n2→∞，如圖6.2-2所示。右邊序列的Z變換為當(dāng)n1<0時(shí)，將右邊序列的X(z)分為兩部分①②

式中第①項(xiàng)是有限長(zhǎng)序列的收斂域0≤|z|<∞；第②項(xiàng)只有z的負(fù)冪項(xiàng)，其收斂域RX-<|z|≤∞，是以RX-為半徑的圓外，且RX-一定大于零；綜合①、②兩項(xiàng)的收斂區(qū)情況，一般右邊序列的收斂區(qū)為式(6.2-2)表明，右邊序列的收斂區(qū)是以RX-為收斂半徑的圓外。

當(dāng)n1≥0時(shí)，X(z)的和式中沒(méi)有z的正冪項(xiàng)，收斂域?yàn)镽X-<|z|≤∞。圖6.2-2右邊序列示意圖例6.2-3

已知序列求X(z)。解此例收斂域是以X(z)的極點(diǎn)1/3為半徑的圓外。推論：在X(z)的封閉表示式中，若有多個(gè)極點(diǎn)，則右邊序列的收斂區(qū)是以絕對(duì)值最大的極點(diǎn)為收斂半徑的圓外。3.左邊序列左邊序列是無(wú)始有終的序列，即n1→-∞，如圖6.2-3所示。左邊序列的Z變換為當(dāng)n2>0時(shí)，將左邊序列的X(z)分為兩部分①②

式中第①項(xiàng)只有z的正冪項(xiàng)，收斂域0≤|z|<RX+；第②項(xiàng)是有限長(zhǎng)序列，收斂域?yàn)?<|z|≤∞；綜合①、②兩項(xiàng)的收斂區(qū)情況，一般左邊序列的收斂區(qū)為0<|z|<RX+(6.2-3)

式(6.2-3)表明左邊序列的收斂區(qū)是以RX+為收斂半徑的圓內(nèi)。當(dāng)n2<0，X(z)的和式中沒(méi)有z的負(fù)冪項(xiàng)時(shí)，其收斂域?yàn)?≤|z|<RX+

。圖6.2-3左邊序列示意圖

例6.2-4已知序列x(n)=-bnu(-n-1)，求X(z)。

解

注意到此例收斂域是以X(z)的極點(diǎn)b為半徑的圓內(nèi)，推論：在X(z)的封閉表示式中，若有多個(gè)極點(diǎn)，則左邊序列收斂區(qū)是以絕對(duì)值最小的極點(diǎn)為收斂半徑的圓內(nèi)。

4.雙邊序列

雙邊序列是無(wú)始無(wú)終的序列，即n1→-∞，n2→∞。其Z變換為將雙邊序列的X(z)分為兩部分①②式中第①項(xiàng)是左序列，其收斂域?yàn)?≤|z|<RX+；第②項(xiàng)是右序列，其收斂域?yàn)镽X+<|z|≤∞；綜合第①、②項(xiàng)的收斂區(qū)情況可知，只有當(dāng)RX->RX-時(shí)，X(z)的雙邊Z變換存在，收斂區(qū)為(6.2-4)式(6.2-4)表明雙邊序列的收斂區(qū)是以RX-為內(nèi)徑，以RX+為外徑的一環(huán)形區(qū)；而當(dāng)RX+<RX-時(shí)，X(z)的雙邊Z變換不存在。例6.2-5已知雙邊序列x(n)=c|n|，c為實(shí)數(shù)，求X(z)。

n<0時(shí)，n≥0時(shí)討論：(1)|c|<1時(shí)，c|n|波形如圖6.2-4所示。圖6.2-4

|c|<1雙邊序列示意圖(2)|c|>1時(shí)，c|n|波形如圖6.2-5所示。因?yàn)? 無(wú)公共收斂區(qū)，所以X(z)的雙邊Z變換不存在。圖6.2-5

|c|>1雙邊序列示意圖6.2.2典型序列的Z變換在離散系統(tǒng)分析中除了因果序列，非因果序列也有一定的應(yīng)用，所以典型序列中除了單邊序列外，還有雙邊序列。

1.單位樣值序列δ(n)

2.單位階躍序列

u(n)3.斜變序列nu(n)|z-1|<1可利用u(n)的Z變換，等式兩邊分別對(duì)z-1求導(dǎo)，得兩邊各乘以z-1

4.指數(shù)序列5.單邊正、余弦序列

由指數(shù)序列的可推得將正、余弦序列分解為兩個(gè)指數(shù)序列|z|>1同理|z|>16.雙邊指數(shù)序列6.3Z變換的性質(zhì)定理1.線性若則ax(n)+by(n)aX(z)+bY(z)R-<|z|<R+

（6.3-1）式中一般情況下線性相加后的序列其Z變換的收斂區(qū)會(huì)改變。

例6.3-1利用線性求雙曲余、正弦序列x1(n)=cosh(nθ0)u(n)，x2(n)=sinh(nθ0)u(n)的Z變換。

解已知指數(shù)序列及變換雙曲余弦序列可分解為利用線性及指數(shù)序列的變換，雙曲余弦序列的變換為同理2.雙邊Z變換的位移（移序）性（m>0）若序列x(n)的雙邊Z變換為證明令n+m=k，代入上式例6.3-23.單邊Z變換的位移性(1)若序列x(n)的單邊Z變換為則序列左移后單邊Z變換為（6.3-3）證明序列左移后單邊Z變換的示意圖如圖6.3-1所示。特別的，圖6.3-1序列左移后單邊Z變換的示意圖(2)若x(n)u(n)X(z),則m>0（6.3-4）證明序列右移后單邊Z變換的示意圖如圖6.3-2所示。特別的，圖6.3-2序列右移后的單邊Z變換(3)若x(n)為因果序列，,則(6.3-5)(6.3-6)

例6.3-3求周期序列的單邊Z變換。

解周期序列x(n)=x(n+rN)

令n=0~N-1的主值區(qū)序列為x1(n)，單邊周期序列可表示為x(n)u(n)=x1(n)+x1(n-N)+x1(n-2N)+…再令x1(n)的Z變換為X1(z)，則x(n)的單邊Z變換為為離散周期因子。4.指數(shù)序列加權(quán)（6.3-7）證

利用指數(shù)序列加權(quán)性及 ，可推得5.x(n)線性加權(quán)或z域微分性(6.3-8)證(交換運(yùn)算次序)

利用z域微分性及 ，可推得6.初值定理

（6.3-9）證明:對(duì)因果序列x(n)，有

對(duì)等式兩邊取極限

7.終值定理

若x(n)是因果序列,除單位圓上可有一個(gè)z=1的一階極點(diǎn)外，其余極點(diǎn)均在單位圓內(nèi),則（6.3－10）7.終值定理若x(n)是因果序列,除單位圓上可有一個(gè)z=1的一階極點(diǎn)外，其余極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)。則（6.3-10）8.時(shí)域卷積定理若w(n)=x(n)*y(n)，則式中(6.3-11)證明變換求和次序利用移序性例6.3-4求w(n)=x(n)*y(n)。解圖6.3-3離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)求解9.復(fù)頻域卷積定理若w(n)=x(n)y(n)，則R-<|v|<R+

（6.3-12）式中,v平面的收斂區(qū)為max［RX-,|z|/RY+］<|v|<min［RX+,|z|/RY-］。c是X(v)與公共收斂區(qū)內(nèi)一條逆時(shí)針?lè)忾]曲線。證明將 代入上式(交換積分、求和次序)計(jì)算一般用留數(shù)法而不是用復(fù)變函數(shù)積分，即其中,zk為v平面上 在圍線c內(nèi)的全部極點(diǎn)。6.4逆Z變換

逆Z變換也稱(chēng)反變換，Z反變換可用英文縮寫(xiě)Z-1表示，是由X(z)求x(n)的運(yùn)算，若(6.4-1)則由柯西積分定理，可以推得逆變換表示式為(6.4-2)即對(duì)X(z)zn-1作圍線積分，其中c是在X(z)的收斂區(qū)內(nèi)一條逆時(shí)針的閉合圍線。一般來(lái)說(shuō)，計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分比較困難，所以當(dāng)X(z)為有理函數(shù)時(shí)，介紹常用的兩種反變換方法。6.4.1留數(shù)法當(dāng)X(z)為有理函數(shù)時(shí)，x(n)可由下式計(jì)算：(6.4-3)例6.4-1求x(n)。X(z)的收斂區(qū)與極點(diǎn)分布如圖6.4-1所示。由|z|>|a|可知,x(n)為右邊序列，即有x(n)=0，n<0，所以取n≥0。當(dāng)n≥0時(shí)，c圍線包圍z=a的一階極點(diǎn)。圖6.4-1

X(z)的收斂區(qū)與極點(diǎn)分布6.4.2冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法將X(z)展開(kāi)，X(z)=…+x(-1)z+x(0)+x(1)z-1+…，其系數(shù)就是x(n)。特別的，對(duì)單邊的左序列或右序列，當(dāng)X(z)為有理函數(shù)時(shí)，冪級(jí)數(shù)法也稱(chēng)長(zhǎng)除法。舉例說(shuō)明用長(zhǎng)除法將X(z)展開(kāi)成級(jí)數(shù)求得X(z)的方法。

例6.4-2已知 |z|>1/|a|,求x(n)。解因?yàn)槭諗繀^(qū)在1/|a|外，序列為右序列，應(yīng)展開(kāi)為z的降冪級(jí)數(shù)。由此可得x(n)=a-nu(n)。例6.4-3已知 ，求x(n)。

解因?yàn)槭諗繀^(qū)在1/|a|圓內(nèi)，序列為左序列，應(yīng)展開(kāi)為z的升冪級(jí)數(shù)。由此可得x(n)=-a-nu(-n-1)。用長(zhǎng)除法可將X(z)展開(kāi)為z的升冪或降冪級(jí)數(shù)，它取決于X(z)的收斂區(qū)。所以在用長(zhǎng)除法之前，首先要確定x(n)是左序列還是右序列，由此決定分母多項(xiàng)式是按升冪還是按降冪排列。由長(zhǎng)除法可以直接得到x(n)的具體數(shù)值，但當(dāng)X(z)有兩個(gè)或兩個(gè)以上極點(diǎn)時(shí)，用長(zhǎng)除法得到的序列值，要?dú)w納為x(n)閉合式還是比較困難的，這時(shí)可以用部分分式法求解x(n)。6.4.3部分分式法

X(z)一般是z的有理函數(shù)，可表示為有理分式形式。最基本的分式及所對(duì)應(yīng)的序列為式（6.4-3）是基本Z變換對(duì)。部分分式法就是基于此基礎(chǔ)上的一種方法，即將X(z)的一般有理分式展開(kāi)為基本（單極點(diǎn)）有理分式之和。這與傅氏變換、拉氏變換的部分分式法相似。（6.4-6）通常X(z)表示式為（6.4-7）式中,分子最高次為M，分母最高次為N。設(shè)M≤N，且X(z)均為單極點(diǎn)，X(z)可展開(kāi)為式中（6.4-8）（6.4-9）（6.4-10）

因?yàn)閆變換的基本形式為，在用部分分式展開(kāi)法時(shí)，可以先將 展開(kāi)，然后每個(gè)分式乘以z，X(z)就可以展開(kāi)為 的形式，即（6.4-11）式中,A0對(duì)應(yīng)的變換為A0

δ(n)，根據(jù)收斂域最終確定x(n)。

例6.4-4已知 ，|z|>1，求x(n)。解1<|z|，是右邊（因果）序列。例6.4-5已知求x(n)。解因?yàn)槭諗繀^(qū)為2<|z|<3，是雙邊序列，由此可得x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1)

若X(z)在z=d1有一s階的重極點(diǎn)，其余為單極點(diǎn)。X(z)可展開(kāi)為其中,A0、Ak計(jì)算同前，Bk為（6.4-12）6.5離散系統(tǒng)的復(fù)頻域分析6.5.1利用Z變換求解差分方程N(yùn)階LTI離散系統(tǒng)的差分方程一般形式為（6.5-1）

當(dāng)x(n)是因果序列，已知初始（邊界）條件y(-1),y(-2),…,y(-N)時(shí)，可利用Z變換求解式（6.5-1），對(duì)式（6.5-1）等式兩邊取Z變換，利用單邊Z變換的位移性，得到（6.5-2）式中,y(l)是初始條件。1.零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)是僅由激勵(lì)引起的響應(yīng)。當(dāng)激勵(lì)x(n)是因果序列時(shí)，并且系統(tǒng)初始條件為零（y(l)=0,-N≤l≤-1），則式（6.5-2）為（6.5-3）由式（6.5-3）得零狀態(tài)響應(yīng)為（6.5-4）令（6.5-5）式中,H(z)為系統(tǒng)（傳輸）函數(shù)，零狀態(tài)響應(yīng)還可表示為（6.5-6）（6.5-7）

例6.5-1已知一離散系統(tǒng)的差分方程為y(n)-by(n-1)=x(n),求y(n)。其中x(n)=anu(n),y(-1)=0。

解因?yàn)閥(-1)=0，是零狀態(tài)響應(yīng)。對(duì)方程兩邊取Z變換2.零輸入響應(yīng)

零輸入響應(yīng)是僅由系統(tǒng)初始儲(chǔ)能引起的響應(yīng)，與初始（邊界）條件y(-1)、y(-2)、…、y(-N)密切相關(guān)。此時(shí)激勵(lì)x(n)=0，式（6.5-1）差分方程右邊等于零，式（6.5-2）變?yōu)椋?.5-8）（6.5-9）其中,y(l)為系統(tǒng)的初始（邊界）條件，-N≤l≤-1（6.5-10）例6.5-2差分方程同例6.5-1，x(n)=0，y(-1)=-1/b，求y(n)。解激勵(lì)x(n)=0，是零輸入響應(yīng)。對(duì)方程兩邊取Z變換3.全響應(yīng)利用Z變換，不需要分別求零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)，可以直接求解差分方程的全響應(yīng)。（6.5-11）

例6.5-3

系統(tǒng)差分方程、激勵(lì)x(n)同例6.5-1，y(0)=0，求y(n)。

解先求出邊界條件y(-1),將n=0代入原方程迭代y(0)-by(n-1)=x(0)=1解出y(-1)=-1/b，此時(shí)的y(n)是全響應(yīng)。方程兩邊取Z變換Y(z)-b［z-1Y(z)+y(-1)］=X(z)

例6.5-4

已知某離散系統(tǒng)模擬如圖6.5-1所示，求系統(tǒng)函數(shù)H(z)及沖激響應(yīng)h(n)。

解

圖6.5-1例6.5-3離散系統(tǒng)6.5.2Z變換與拉普拉斯（傅里葉）變換的關(guān)系要討論Z變換與拉氏變換的關(guān)系，首先要研究z平面與s平面的映射（變換）關(guān)系。在5.1節(jié)中我們將連續(xù)信號(hào)的拉氏變換與采樣序列的Z變換聯(lián)系起來(lái)，引進(jìn)了復(fù)變量z，它與復(fù)變量s有以下的映射關(guān)系(6.5-12)或式中,T是采樣間隔，對(duì)應(yīng)的采樣頻率ωs=2π/T。

為了更清楚地說(shuō)明式(6.5-12)的映射關(guān)系，將s=σ+jω代入式(6.5-12)，z=esT=e(σ+jω)T=eσTejωT=rejθ

由此得到式中,θ是數(shù)字域頻率，由式(6.5-13)具體討論s與z平面的映射關(guān)系。(1)s平面的虛軸（σ=0）映射到z平面的單位圓ejθ，s平面左半平面（σ<0）映射到z平面單位圓內(nèi)(r=eσT<1)；s平面右半平面(σ>0)映射到z平面單位圓外(r=eσT>1)。

(2)ω=0時(shí)，θ=0，s平面的實(shí)軸映射到z平面上的正實(shí)軸。s平面的原點(diǎn)s=0映射到z平面單位圓z=1的點(diǎn)。

(3)由于z=rejθ是θ的周期函數(shù)，當(dāng)ω由時(shí)，θ由-π~π，幅角旋轉(zhuǎn)了一周，映射了整個(gè)z平面，且ω每增加一個(gè)采樣頻率ωs=2π/T，θ就重復(fù)旋轉(zhuǎn)一周，z平面重疊一次。s平面上寬度為2π/T的帶狀區(qū)映射為整個(gè)z平面，這樣s平面一條條寬度為ωs的“橫帶”被重疊映射到整個(gè)z平面。所以，s~z平面的映射關(guān)系不是單值的。圖6.5-2s~z平面的映射關(guān)系

由以上s~z平面的映射關(guān)系，再利用理想采樣作為橋梁，可以得到連續(xù)信號(hào)x

(t)的拉氏變換X

(s)與采樣序列Z變換的關(guān)系為(6.5-14)

傅氏變換是雙邊拉氏變換在虛軸（σ=0，s=jω）上的特例，當(dāng)σ=0，s=jω映射為z=ejθ是z平面的單位圓。將此關(guān)系帶入式(6.5-14)，可以得到Z變換與傅氏變換關(guān)系(6.5-15)圖6.5-3理想采樣序列的傅氏變換6.６系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性6.6.1系統(tǒng)函數(shù)可以用單位脈沖響應(yīng)h(n)來(lái)表示LTI離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系y(n)=T［x(n)］=x(n)*h(n)對(duì)應(yīng)的Z變換為Y(z)=H(z)X(z)定義LTI離散系統(tǒng)輸出Z變換與輸入Z變換之比為系統(tǒng)函數(shù)（6.6-1）

當(dāng)x(n)=δ(n)，H(z)=Y(z)。所以系統(tǒng)函數(shù)是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(n)的Z變換。

H(z)=Z［h(n)］

h(n)=Z-1［H(z)］(6.6-2)

N階LTI離散系統(tǒng)的差分方程通常為(6.6-3)系統(tǒng)為零狀態(tài)時(shí)，對(duì)兩邊取Z變換，可得解出得到系統(tǒng)函數(shù)（6.6-4）

式（6.7-4）是z-1的有理分式，其系數(shù)正是差分方程的系數(shù)，系統(tǒng)函數(shù)還可以分解為（6.6-5）式中,{ck}是H(z)的零點(diǎn)；{dk}是H(z)的極點(diǎn)。由式（6.6-5）可見(jiàn)，除了系數(shù)A外，H(z)可由其零、極點(diǎn)確定。將零點(diǎn){ck}與極點(diǎn){dk}標(biāo)在z平面上，可得到離散系統(tǒng)的零、極點(diǎn)圖。

當(dāng)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)有原點(diǎn)以外的任意極點(diǎn)時(shí)，即式（6.7-5）中有dk≠0時(shí)，對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)的時(shí)寬為無(wú)限，這樣的系統(tǒng)稱(chēng)為無(wú)限沖激響應(yīng)系統(tǒng),簡(jiǎn)稱(chēng)IIR系統(tǒng)；當(dāng)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)只有原點(diǎn)處極點(diǎn)時(shí)，即式（6.6-5）中所有dk=0時(shí)，對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)的時(shí)寬有限，這樣的系統(tǒng)稱(chēng)為有限沖激響應(yīng)系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱(chēng)FIR系統(tǒng)。FIR系統(tǒng)函數(shù)一般表示為（6.6-6）

由于FIR系統(tǒng)可以具有線性相位，并且不存在系統(tǒng)穩(wěn)定問(wèn)題，因此得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。與連續(xù)系統(tǒng)相似，離散系統(tǒng)的特性與其零、極點(diǎn)分布密切相關(guān)，但將系統(tǒng)函數(shù)由有理分式形式分解為零、極點(diǎn)形式時(shí)，并不容易，而用MATLBA可以很方便地確定零、極點(diǎn)并作零、極點(diǎn)圖。6.6.2H(z)的零、極點(diǎn)分布與時(shí)域特性

H(z)與h(n)是一對(duì)Z變換對(duì),所以只要知道H(z)在z平面上的零、極點(diǎn)分布情況,就可以知道系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)h(n)變化規(guī)律。假設(shè)式(6.7-5)的所有極點(diǎn)均為單極點(diǎn)且M≤N，利用部分分式展開(kāi)（6.6-7）式（6.7-7）對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為（6.6-8）

1.|dk|<1的極點(diǎn)若|dk|<1，極點(diǎn)在z平面的單位圓內(nèi)，hk(n)的幅度隨n的增長(zhǎng)而衰減；一對(duì)單位圓內(nèi)共軛極點(diǎn)dk與dk*對(duì)應(yīng)的hk(n)是衰減振蕩。

2|dk|=1的極點(diǎn)若|dk|=1，極點(diǎn)在z平面的單位圓上，hk(n)的幅度隨n的增長(zhǎng)不變；一對(duì)單位圓上的共軛極點(diǎn)dk與dk*對(duì)應(yīng)的hk(n)是等幅振蕩。

3.|dk|>1的極點(diǎn)若|dk|>1，極點(diǎn)在z平面的單位圓外，hk(n)的幅度隨n的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)；一對(duì)單位圓外共軛極點(diǎn)dk與dk*對(duì)應(yīng)的hk(n)是增幅振蕩。圖6.7-1H(z)的極點(diǎn)與h(n)模式的示意圖6.6.3系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性

系統(tǒng)函數(shù)的收斂區(qū)直接關(guān)系到系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。

1.因果系統(tǒng)

由因果系統(tǒng)的時(shí)域條件n<0，h(n)=0及H(z)的定義，可知因果系統(tǒng)的H(z)只有z的負(fù)冪項(xiàng)，其收斂區(qū)為RH-<|z|≤∞。因此收斂區(qū)包含無(wú)窮時(shí)，必為因果系統(tǒng)。2.穩(wěn)定系統(tǒng)由系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)域條件 ，可知系統(tǒng)的傅氏變換存在，H(z)收斂區(qū)必定包含單位圓。其收斂區(qū)為RH-<|z|<RH+，且RH-<1<RH+

。因此收斂區(qū)包含單位圓時(shí)，為穩(wěn)定系統(tǒng)。與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)當(dāng)虛軸上有一階極點(diǎn)時(shí)，定義系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定的情況類(lèi)似，當(dāng)H(z)的單位圓上有一階極點(diǎn)時(shí)，定義離散系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。

3.因果穩(wěn)定系統(tǒng)綜合上述1、2情況，當(dāng)RH-<|z|≤∞，且RH-<1時(shí)，系統(tǒng)是因果穩(wěn)定系統(tǒng)，意味著因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的所有極點(diǎn)只能分布在單位圓內(nèi)，若H(z)有單位圓上或單位圓外的極點(diǎn)，系統(tǒng)就是非穩(wěn)定系統(tǒng)。例6.6-1已知某離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，將系統(tǒng)函數(shù)寫(xiě)成零#,極點(diǎn)形式式中,極點(diǎn)的模所有極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，所以是穩(wěn)定系統(tǒng)。6.7離散系統(tǒng)的模擬6.7.1IIR系統(tǒng)的直接（卡爾曼）形式

描述N階IIR系統(tǒng)輸入x(n)與輸出y(n)關(guān)系的差分方程一般為對(duì)應(yīng)的N階離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為(6.7-2)(6.7-1)圖6.7-1式(6.7-2)的信號(hào)流圖表示

實(shí)現(xiàn)IIR系統(tǒng)的直接形式是將系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子、分母表示為多項(xiàng)式形式，即式中（6.7-3）圖6.7-2IIR系統(tǒng)的直接Ⅰ型IIR系統(tǒng)函數(shù)也可以寫(xiě)為（6.7-4）圖6.7-3IIR系統(tǒng)的另一種直接Ⅰ型圖6.7-4IIR系統(tǒng)的直接Ⅱ型

由圖6.7-4可見(jiàn)若M=N，可省N個(gè)延遲器。圖6.7-4的結(jié)構(gòu)稱(chēng)為直接Ⅱ型，也稱(chēng)最少延遲網(wǎng)絡(luò)、典范形式、正準(zhǔn)型。通常IIR的直接形式是指直接Ⅱ型。

例6.7-1已知數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)畫(huà)出該濾波器的直接型結(jié)構(gòu)。解例6.7-1的直接型結(jié)構(gòu)如圖6.7-5所示。圖6.7-5例6.7-1的直接型結(jié)構(gòu)6.7.2IIR系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)形式

IIR系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)形式實(shí)現(xiàn)方法是將H(z)分解為零、極點(diǎn)形式式中，{ck}為零點(diǎn)；{dk}為極點(diǎn)。

系統(tǒng)的零、極點(diǎn)有可能是復(fù)數(shù)，由于ak、bk均是實(shí)數(shù)，因此如果H(z)有復(fù)數(shù)的零、極點(diǎn)，一定是共軛成對(duì)的。把每對(duì)共軛因子合并，可構(gòu)成一個(gè)實(shí)系數(shù)的二階節(jié)。實(shí)系數(shù)單根也可以看成是復(fù)數(shù)的特例，兩兩可合并為基本二階節(jié)。這樣（6.7-5）式中, 為表示對(duì) 取整。例如，圖6.7-6離散系統(tǒng)級(jí)的聯(lián)形式例6.7-2已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)畫(huà)出系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)。解例6.7-2系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)如圖6.7-7所示。圖6.7-7例6.7-2離散系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)形式或圖6.7-8例6.7-2離散系統(tǒng)的另一種級(jí)聯(lián)形式例6.7-3

已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)畫(huà)出系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)。解

例6.7-3級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)如圖6.7-9所示。圖6.7-9例6.7-3級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)6.7.3IIR系統(tǒng)的并聯(lián)形式

IIR系統(tǒng)的并聯(lián)形式實(shí)現(xiàn)先將H(z)展開(kāi)為部分分式與級(jí)聯(lián)情況相同，把每對(duì)共軛因子合并，可構(gòu)成一個(gè)實(shí)系數(shù)的二階節(jié)。實(shí)系數(shù)單根是復(fù)數(shù)的特例，也可兩兩合并為基本二階節(jié)。這樣（6.7-6）當(dāng)M<N時(shí)沒(méi)有式（6.7-6）中的第二項(xiàng)和式。圖6.7-10M=N時(shí)系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)圖6.7-11例6.7-4系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)例6.7-4

已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)畫(huà)出系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)。解

例6.7-4系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)如圖6.7-11所示。在極點(diǎn)位置不確定的情況下，將系統(tǒng)函數(shù)變換為并聯(lián)形式有時(shí)也非易事。不過(guò)利用MATLAB程序可方便地將H(z)展開(kāi)為部分分式。6.7.4FIR系統(tǒng)的直接形式（橫截型、卷積型）

FIR系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)是時(shí)寬為N的有限長(zhǎng)序列，相應(yīng)的FIR系統(tǒng)函數(shù)為(6.7-7)

其特點(diǎn)是系統(tǒng)函數(shù)H(z)無(wú)極點(diǎn)，因此它的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)一般沒(méi)有反饋支路。下面介紹幾種FIR系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)形式。由式（6.7-7）得FIR系統(tǒng)的差分方程為（6.7-8）圖6.7-12FIR系統(tǒng)的直接結(jié)構(gòu)圖圖6.7-13另一種FIR系統(tǒng)的直接結(jié)構(gòu)6.7.5FIR系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)形式

FIR級(jí)聯(lián)形式實(shí)現(xiàn)方法是將H(z)的共軛零點(diǎn)或兩個(gè)單零點(diǎn)組成基本的二階節(jié)，H(z)為基本二階節(jié)的子系統(tǒng)函數(shù)之積，即（6.7-9）圖6.7-14FIR系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)形式

例6.7-5已知某FIR網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)函數(shù)H(z)=0.96+2z-1+2.8z-2+1.5z-3，畫(huà)出其直接型與級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。

解或例6.8-5直接型與級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)如圖6.7-15所示。圖6.7-15例6.7-5系統(tǒng)直接型與級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)FIR級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是每一個(gè)基本二階節(jié)可以控制一對(duì)零點(diǎn)，在需要控制零點(diǎn)時(shí)可以采用。但它所需要的系數(shù)βik（乘法器）要比直接形式的多。

6.8基于MATLAB的離散頻域分析

6.8.1

Z變換的MATLAB程序

例6.8-1單邊序列f1(t)=anu(n)=3nu(n)；f2(t)=cos

(

0n)u(n)z變換的MATLAB程序symsnz;%聲明符號(hào)變量f1=3.^n;F1_z=ztrans(f1)f2=cos((pi/2).*n);F2_z=ztrans(f2)結(jié)果6.8.2Z反變換的MATLAB程序

例6.8-2 ,|z|>5的Z反變換的MATLAB程序。clear;symszn;X=z^2/((z-1)*(z-0.5))X_n=iztrans(X)結(jié)果x(n)=2-0.5n。圖6.8-1例6.5-1輸入序列、輸出序列2、零輸入響應(yīng)例6.8-2零輸入響應(yīng)的MATLAB程序clear;nf=30;np=0;ns=0;n=[0:30];b=[1];a=[1,-1/2];x=0.^n.*stepseq(np,ns,nf);Y=[-2];%初始條件y=filter(b,a,x,Y)stem(n,y);axis([-110-1.10.1]);ylabel(’y(n)’);xlabel(’n’);title(’零輸入響應(yīng)’);line([-1,10],[0,0]);line([0,0],[0,0.1]);圖6.8-2例6.5-2輸入序列、輸出序列3.全響應(yīng)例6.9-6求例6.5-3全響應(yīng)的MATLAB程序。clear;nf=30;np=0;ns=-1;n=-1:30;b=［1］;a=［1,-1/2］;x=(1/3).^n.*stepseq(np,ns,nf);Y=［-2］;%初始條件y=filter(b,a,x,Y)subplot(2,1,1);stem(n,x);ylabel(′x(n)′);axis(［-110-0.11.1］);line(［-1,10］,［0,0］);line(［0,0］,［-0.1,1.1］);title(′輸入序列′);subplot(2,1,2);stem(n,y);axis(［-110-0.10.5］);ylabel(′y(n)′);xlabel(′n′);line(［-1,10］,［0,0］);line(［0,0］,［-0.1,0.5］);title(′全響應(yīng)′);圖6.8-3例6.5-3輸入序列、輸出序列6.8.4求系統(tǒng)零極點(diǎn)及作圖的MATLAB程序

例6.8-7已知某系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為求其零、極點(diǎn)并繪出零、極點(diǎn)圖。解例6.8-7的MATLAB程序及結(jié)果如下：b=［0.20.10.30.10.2］;%分子多項(xiàng)式系數(shù)a=［1-1.11.5-0.70.3］;%分母多項(xiàng)式系數(shù)r1=roots(a) %求極點(diǎn)r2=roots(b) %求零點(diǎn)zplane(b,a)答案r1=0.2367+0.8915i0.2367-0.8915i0.3133+0.5045i0.3133-0.5045ir2=-0.500+0.8660i-0.5000-0.866i0.2500+0.9682i0.2500-0.9682i例6.8-7零極點(diǎn)如圖6.8-4所示。圖6.8-4例6.8-7零、極點(diǎn)圖

6.8.5

系統(tǒng)模擬的MATLAB程序

1.變直接形式為級(jí)聯(lián)形式的擴(kuò)展函數(shù)

擴(kuò)展函數(shù)dir2cas:

function［b0,B,A］=dir2cas(b,a);

b0=b(1);b=b/b0;

a0=a(1);a=a/a0;

b0=b0/a0;

M=length(b);N=length(a);ifN>M

b=［bzeros(1,N-M)］;

elseifM>N

a=［azeros(1,M-N)］;N=M;

else

NM=0;

end

K=floor(N/2);B=zeros(K,3);A=zeros(K,3);

ifK*2==N;

b=［b0］;

a=［a0］;

endbroots=cplxpair(roots(b));

aroots=cplxpair(roots(a));

fori=1:2:2*K

Brow=broots(i:1:i+1,:);

Brow=real(poly(Brow));

B(fix((i+1)/2),:)=Brow;

Arow=aroots(i:1:i+1,:);

Arow=real(poly(Arow));

A(fix((i+1)/2),:)=Arow;

end例6.8-8已知例6.7-3IIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為變直接形式為級(jí)聯(lián)形式的MATLAB程序及結(jié)果為b=［8-411-2］;

%分子多項(xiàng)式系數(shù)a=［1-1.250.75-0.125］;

%分母多項(xiàng)式系數(shù)［b0,B,A］=dir2cas(b,a)

%變直接形式為級(jí)聯(lián)形式答案b0=8B=1.0000-0.3