一、控制系統(tǒng)導(dǎo)論

組成自動(dòng)控制系統(tǒng)的元部件很多，不論其物理性質(zhì)，還是其結(jié)構(gòu)用途方面都有著很大的差異。不同物理結(jié)構(gòu)的元部件可以有形式上完全相同的數(shù)學(xué)模型，對(duì)于不同結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)亦然，這樣的系統(tǒng)我們稱為“相似系統(tǒng)”。因此，對(duì)于性質(zhì)不同、數(shù)量眾多的自動(dòng)控制元部件，我們按形式相同的數(shù)學(xué)模型來(lái)分類，總結(jié)出一些典型環(huán)節(jié)。1-1不同元部件的典型環(huán)節(jié)一、控制系統(tǒng)導(dǎo)論1-1不同元部件的典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)比例積分微分慣性延遲學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)要求：（1）掌握比例環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型、時(shí)域響應(yīng)特點(diǎn)及比例系數(shù)對(duì)輸出響應(yīng)的影響；（2）掌握積分環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型、時(shí)域響應(yīng)特點(diǎn)及積分時(shí)間常數(shù)對(duì)輸出響應(yīng)的影響；（3）掌握微分環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型、時(shí)域響應(yīng)特點(diǎn)及微分時(shí)間常數(shù)對(duì)輸出響應(yīng)的影響；（4）掌握慣性環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型、時(shí)域響應(yīng)特點(diǎn)及慣性時(shí)間常數(shù)對(duì)輸出響應(yīng)的影響；（5）掌握純延遲環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型、時(shí)域響應(yīng)特點(diǎn)及延遲時(shí)間對(duì)輸出響應(yīng)的影響。能力要求：（1）能夠根據(jù)時(shí)域響應(yīng)特點(diǎn)判斷典型環(huán)節(jié)類型；（2）能夠歸納總結(jié)出典型環(huán)節(jié)中重要參數(shù)對(duì)輸出響應(yīng)的影響。任務(wù)1齒輪減速器的數(shù)學(xué)模型及時(shí)域響應(yīng)

內(nèi)容及要求

推導(dǎo)齒輪減速器數(shù)學(xué)模型（MathematicalModel）并進(jìn)行仿真（Simulate），通過(guò)記錄并觀察齒輪減速器的單位階躍、單位脈沖及單位斜坡函數(shù)的響應(yīng)曲線，總結(jié)其時(shí)域響應(yīng)特點(diǎn)，掌握比例系數(shù)（Gain）對(duì)其時(shí)域響應(yīng)影響以及其物理意義。搭建齒輪減速器，即比例環(huán)節(jié)（ProportinalElement），的模擬電路，掌握比例環(huán)節(jié)有源及無(wú)源電路的特點(diǎn)。

任務(wù)1齒輪減速器的數(shù)學(xué)模型及時(shí)域響應(yīng)

為了從理論上對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行定性和定量的分析，進(jìn)而對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)節(jié)、校正，首先需要建立起該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型是人類認(rèn)識(shí)復(fù)雜事物過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化研究難度，縮小研究范圍，高度抽象出來(lái)的一種模型。通過(guò)建立某些事物的模型，進(jìn)而研究該模型來(lái)揭示原型的某些形態(tài)、特征和本質(zhì)。模型一般可分為概念模型、物理模型和數(shù)學(xué)模型。1.1線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1.數(shù)學(xué)模型的概念1.1線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1.數(shù)學(xué)模型的概念概念模型一般指以圖示、文字、符號(hào)等組成的流程圖形式對(duì)事物的規(guī)律和機(jī)理進(jìn)行描述、闡明。物理模型即根據(jù)相似原理，把真實(shí)事物按比例放大或縮小制成的模型，其狀態(tài)變化和原事物基本相同，可以模擬客觀事物的某些功能和性質(zhì)。如圖2-1所示即為某民航飛機(jī)的物理模型。該物理模型不具備真實(shí)原型的飛行功能，但是模擬了其外形特征。圖2-1物理模型（民航飛機(jī)）由以上可以得出，只要能夠描述原型中的某種或某些特征，無(wú)論是用文字、實(shí)物還是符號(hào)，都可以稱為模型。模型與原型之間既有共同點(diǎn)也有區(qū)別，模型只是對(duì)原型的部分描述。1.1線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1.數(shù)學(xué)模型的概念控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及與內(nèi)部其他變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。最簡(jiǎn)單的一個(gè)數(shù)學(xué)模型的例子就是歐姆定律（Ohm’slaw）。1.1線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1.數(shù)學(xué)模型的概念圖2-2電阻電路如圖2-2所示的電阻R組成的電路。當(dāng)我們選定電阻兩端的電壓u(t)為輸入量，流過(guò)電阻的電流i(t)為輸出量時(shí)，則由歐姆定律可知

u(t)=i(t)?R

(2-18)式中，u(t)的單位為伏（V），i(t)的單位為安培（A），R的單位為歐姆（Ω）。此方程即為電阻的數(shù)學(xué)模型，不同阻值的電阻數(shù)學(xué)模型亦不同，但是形式上是一致的。假設(shè)某一電阻阻值為10Ω，額定功率為5W，在電阻兩端加入1V電壓，根據(jù)電阻的數(shù)學(xué)模型可知，流過(guò)該電阻的電流為0.1A，由電阻功率及電壓之間的關(guān)系式：

p(t)=(u^2(t))/R

(2-19)可得，此時(shí)電阻產(chǎn)生的功率為0.1W。假設(shè)在電阻兩端加入10V電壓，由數(shù)學(xué)模型可知，此時(shí)流過(guò)電阻的電流理論上應(yīng)為1A，功率為10W，由于電阻實(shí)際可以承受的功率為5W，因此實(shí)際上，若電阻兩端連接10V電壓，電阻將會(huì)被燒毀，該電阻最大能夠加的輸入電壓為√5V。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型取決于輸入信號(hào)的范圍。除此之外，根據(jù)研究對(duì)象在實(shí)際系統(tǒng)中的功能不同，數(shù)學(xué)模型也可以是關(guān)于溫度、高度、速度等參數(shù)的函數(shù)。1.1線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1.數(shù)學(xué)模型的概念圖2-3電容電路圖除電阻以外，電路中常見的元器件還有電容和電感，如圖2-3所示為電容的電路圖。選定電阻兩端的電壓u(t)為輸入量，流過(guò)電阻的電流i(t)為輸出量時(shí)，其數(shù)學(xué)模型為

u(t)=1/C∫i(t)dt+u(0)

(2-20)

圖2-4電感電路圖如圖2-4所示為電感的電路圖。選定電阻兩端的電壓u(t)為輸入量，流過(guò)電阻的電流i(t)為輸出量時(shí)，其數(shù)學(xué)模型為 u(t)=L(di(t))/dt (2-21)1.1線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1.數(shù)學(xué)模型的概念2.數(shù)學(xué)模型分類數(shù)學(xué)模型通常有兩種描述方法：一種是輸入-輸出描述，也稱端部描述，它只描述系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系，無(wú)法描述系統(tǒng)內(nèi)部特征，適用于單變量的控制系統(tǒng)；另一種是狀態(tài)變量描述，又稱內(nèi)部描述，它不僅描述了系統(tǒng)的輸入、輸出的關(guān)系，而且也描述了系統(tǒng)的內(nèi)部特性，特別適用于多變量控制系統(tǒng)。自動(dòng)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型分為微分方程（DifferentialEquation）、傳遞函數(shù)（TransferFunction）、系統(tǒng)框圖（BlockDiagram）、頻率特性（FrequencyCharacteristic）和狀態(tài)方程（StateEquation），其中，微分方程是端部描述的數(shù)學(xué)模型中最基本的形式，傳遞函數(shù)、系統(tǒng)框圖、頻率特性等其他形式的數(shù)學(xué)模型均由微分方程推導(dǎo)得出；頻率特性的概念及相關(guān)知識(shí)將在單元四的任務(wù)二中詳細(xì)介紹，狀態(tài)方程為多輸入多輸出系統(tǒng)（Multi-inputMulti-outputSystem）的數(shù)學(xué)模型，將在《現(xiàn)代控制理論》課程中學(xué)習(xí)。在《自動(dòng)控制原理》課程中，微分方程屬于時(shí)域的數(shù)學(xué)模型，頻率特性屬于頻域的數(shù)學(xué)模型，傳遞函數(shù)和方框圖屬于復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型。同一系統(tǒng)，不同域的數(shù)學(xué)模型之間可以相互轉(zhuǎn)換，如圖2-5所示?？梢詫⑽⒎址匠掏ㄟ^(guò)傅里葉變換（Fouriertransform）得到系統(tǒng)的頻率特性，拉普拉斯變換（Laplacetransform）得到傳遞函數(shù)。拉普拉斯變換簡(jiǎn)稱拉氏變換，具體定義及定理參見附錄A。一個(gè)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型雖然可以表示為不同的形式，但選用哪種合適形式的數(shù)學(xué)模型對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和研究，需要根據(jù)具體的系統(tǒng)的特征而定。例如對(duì)于多變量控制系統(tǒng)和最優(yōu)控制系統(tǒng)，宜采用狀態(tài)變量描述；而對(duì)于單輸入單輸出（Single-inputSingle-output）系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)或頻率響應(yīng)的分析，應(yīng)采用傳遞函數(shù)描述更為方便。圖2-5不同域的數(shù)學(xué)模型之間轉(zhuǎn)換關(guān)系2.數(shù)學(xué)模型分類3.微分方程

微分方程（DifferentialEquation）是以由牛頓（Newton，1642-1727）和萊布尼茲（Leibniz，1646-1716）所創(chuàng)立的微積分學(xué)（Calculus）為基礎(chǔ)，用以描述線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的基本形式的一種數(shù)學(xué)模型。微積分產(chǎn)生的動(dòng)力源于于人類不斷探求物質(zhì)世界運(yùn)動(dòng)規(guī)律的需求。物理世界的運(yùn)動(dòng)規(guī)律只靠實(shí)驗(yàn)觀測(cè)通常很難認(rèn)識(shí)清楚，因?yàn)橛捎诩夹g(shù)和時(shí)間的限制，人們不太可能將運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程觀察完全。但是，運(yùn)動(dòng)物體以及其瞬時(shí)變化率之間，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中通常按照某種已知定律存在著聯(lián)系，人們?cè)陂L(zhǎng)期的觀察和實(shí)踐過(guò)程中捕捉到這種聯(lián)系，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將這種聯(lián)系表達(dá)出來(lái)，將運(yùn)動(dòng)物體抽象為變量，將其瞬態(tài)變化率抽象為該變量的導(dǎo)數(shù)，從而形成一個(gè)微分方程（DifferentialEquation）。如果能夠求出這個(gè)方程的解，則可得到其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。圖2-6為RLC電路，其輸入電壓為ur，輸出電壓為uc。由基爾霍夫電壓定律（Kirchhoff’svoltagelaw）得：i(t)R+Ldi(t)/dt+uc(t)=ur(t) (2-22)uc(t)=1/C∫i(t)dt

(2-23)消去中間變量i(t)，則有LC(d2uc(t))/(dt2)+RC(duc(t))/dt+uc(t)=ur(t)

(2-24)式中，c(t)為系統(tǒng)的輸出量，r(t)為系統(tǒng)的輸入量，a_0~a_n，b_0~b_m為實(shí)系數(shù)。3.微分方程式2-7即為圖2-6所示電路的數(shù)學(xué)模型，它描述了該電路在u_r(t)作用下電容兩端電壓u_c(t)的變化規(guī)律。系統(tǒng)的微分方程一般形式如下圖2-6RLC電路3.微分方程

3.微分方程建立系統(tǒng)微分方程式的一般步驟是（1）根據(jù)基本的物理、化學(xué)等定律，列出系統(tǒng)中每一部分或元件的輸入量與輸出量的微分方程式。在列方程式時(shí)，要注意與相鄰部分或元件間的關(guān)聯(lián)影響。（2）確定整個(gè)系統(tǒng)的輸入、輸出量，消去其余的中間變量，得到系統(tǒng)輸入與輸出間的微分方程式。（3）對(duì)所求的微分方程進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，把與輸入量有關(guān)的項(xiàng)寫在方程等號(hào)的右方，與輸出量有關(guān)的項(xiàng)寫在方程等號(hào)的左方。建立起系統(tǒng)的微分方程式后，在已知輸入信號(hào)形式的情況上，通過(guò)對(duì)微分方程式求解，就可以得到系統(tǒng)在該給定輸入信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)表達(dá)式，工程師可通過(guò)分析該表達(dá)式（通常為一個(gè)關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)）即可得到系統(tǒng)的在時(shí)域上的特性。然而，用微分方程表示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在實(shí)際應(yīng)用中一般會(huì)遇到如下的困難：（1）當(dāng)微分方程式的階次越高，求解難度就越大，計(jì)算的工作量也隨之大大增加，這就使得微分方程在實(shí)際中的應(yīng)用范圍受到了一定限制。（2）對(duì)于控制系統(tǒng)的分析，不僅要了解它在給定信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)，同樣也要重視系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與其性能間的關(guān)系。顯然對(duì)于后者的要求，微分方程作為一種端部描述的數(shù)學(xué)模型，是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。4.傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)（TransferFunction）定義如下，在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)(或元件)輸出量的拉氏變換與其輸入量的拉氏變換之比，即為線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，記為G(s)，即

式中，C(s)為輸出量c(t)的拉氏變換，R(s)為輸入量r(t)的拉氏變換。式2-4表示了系統(tǒng)的輸入與輸出間的因果關(guān)系，即系統(tǒng)的輸出C(s)是由其輸入R(s)經(jīng)過(guò)G(s)的傳遞而產(chǎn)生的，因而G(s)被稱為傳遞函數(shù)。將微分方程的一般形式進(jìn)行拉氏變換，得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式為傳遞函數(shù)性質(zhì)如下:（1）傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)(或元部件)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入、輸出等外部信號(hào)的大小和形式無(wú)關(guān)。（2）傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)，因?yàn)樗怯晌⒎址匠探?jīng)拉氏變換得到的，而拉氏變換是一種線性變換。（3）傳遞函數(shù)一般為復(fù)變量s的有理分式，它的分母多項(xiàng)式s的最高階次n總是大于或等于其分子多項(xiàng)式s的最高階次m，即n≥m。（4）由于傳通函數(shù)是在零初始條件下定義的，因而它不能反映在非零初始條件下系統(tǒng)(或元部件)的運(yùn)動(dòng)情況。（5）由于傳遞函數(shù)也屬于端部描述的數(shù)學(xué)模型，因此一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入與一個(gè)輸出之間的關(guān)系，而不能反映系統(tǒng)內(nèi)部的特性。5.系統(tǒng)框圖（1）系統(tǒng)框圖的組成信號(hào)線：箭頭表示信號(hào)的流向，字母表示變量（包括輸入變量、輸出變量、中間變量）；功能框：方框中字母表示該部分（環(huán)節(jié)）的傳遞函數(shù)；比較點(diǎn)：信號(hào)輸入要注明極性（正或負(fù)，默認(rèn)為正），從該點(diǎn)輸出的值大小為輸入值的代數(shù)和；引出點(diǎn)：表示同一信號(hào)從該點(diǎn)引出。從該點(diǎn)引出的變量大小、性質(zhì)相同，與引出條數(shù)無(wú)關(guān)。前向通道：由信號(hào)線和功能框串聯(lián)組成，且信號(hào)線箭頭指向由輸入端指向輸出端；反饋支路：由信號(hào)線和功能框串聯(lián)組成，且信號(hào)線箭頭指向與前向通道中的信號(hào)線箭頭指向相反。2）繪制系統(tǒng)框圖的一般步驟：（1）確定系統(tǒng)輸入量與輸出量，建立系統(tǒng)中各元件的微分方程，并對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換，得到各元件的傳遞函數(shù)；（2）繪制出各個(gè)元件的功能框，按照實(shí)際系統(tǒng)各元件之間的連接關(guān)系，用信號(hào)線連接各功能框，并在信號(hào)線上標(biāo)注各輸入量與輸出量；（3）整理框圖，系統(tǒng)的輸入量在系統(tǒng)框圖的左面，輸出量在系統(tǒng)框圖的右面。系統(tǒng)框圖繪制完成后，在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行性能分析時(shí)，往往需要得到系統(tǒng)的開環(huán)或閉環(huán)的傳遞函數(shù)，因此需要對(duì)系統(tǒng)框圖進(jìn)行等效變換，具體變換規(guī)則參見附錄B。5.系統(tǒng)框圖

在求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時(shí)，需要消去系統(tǒng)中所有的中間變量，這是一項(xiàng)較為繁瑣的工作。在進(jìn)行消元后，由于僅剩下系統(tǒng)的輸入（或擾動(dòng)）和輸出兩個(gè)變量，因而無(wú)法反映系統(tǒng)中信息的傳遞過(guò)程。若采用系統(tǒng)框圖（BlockDiagram）表示控制系統(tǒng)，則不僅能簡(jiǎn)明地表示系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)間的關(guān)系和信號(hào)的傳遞過(guò)程，而且不需要消元就能方便地求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)框圖既適用于線性控制系統(tǒng)，也適用于非線性控制系統(tǒng)。因此，它在控制工程中得到了廣泛的應(yīng)用。5.系統(tǒng)框圖1.1.1 齒輪減速器數(shù)學(xué)模型

減速器是一種相對(duì)精密的機(jī)械，其目的是降低轉(zhuǎn)速，從而增加轉(zhuǎn)矩，在生產(chǎn)中應(yīng)用十分廣泛。齒輪減速器輸入齒輪軸的輪齒與輸出軸上的輪齒合在一起，輸入軸的輪齒數(shù)少于輸出軸上的輪齒數(shù)，如圖2-8所示。

主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速n1（t）為輸入量，從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速n2（t）為輸出量；Z1為主動(dòng)輪齒數(shù)，Z2為從動(dòng)輪齒數(shù)。其微分方程為：

n2(t)=z1/z2n1(t)

(2-28)式中，設(shè)Z1/Z2為常數(shù)K，進(jìn)行拉氏變換后，得到其傳遞函數(shù)為：

G(s)=(N2(s))/(N1(s）)=z1/z2=K

(2-29)由以上齒輪減速器實(shí)例的數(shù)學(xué)模型可知，其輸出量與輸入量成正比關(guān)系，我們將數(shù)學(xué)模型具有該特點(diǎn)的元件統(tǒng)稱為比例環(huán)節(jié)（ProportionalElement）。1.1.1 齒輪減速器數(shù)學(xué)模型比例環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是輸出不失真、不延遲、成比例地復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)的變化。它的微分方程可總結(jié)為 c(t)=Kr(t) (2-30)式中，c(t)是環(huán)節(jié)的輸出量;r(t)是環(huán)節(jié)的輸人量;K為常數(shù)，稱為比例系數(shù)或增益。對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)是 G(s)=(C(s))/(R(s))=K (2-31)其系統(tǒng)框圖如圖2-9所示常見的比例環(huán)節(jié)還有杠桿和質(zhì)量塊為m的小車等，如圖2-10（a）-（d）所示，（a）為杠桿，（b）為質(zhì)量塊，（c）為無(wú)源電路，（d）為有源放大電路。當(dāng)r(t)=R（R為常數(shù)）時(shí)，比例環(huán)節(jié)的輸出c(t)稱為階躍響應(yīng)，當(dāng)r(t)=1(t)時(shí)，輸出稱為單位階躍響應(yīng)，記作h(t)，即：1.1.1 齒輪減速器數(shù)學(xué)模型

1.1.1 齒輪減速器數(shù)學(xué)模型同理，可得到比例環(huán)節(jié)的單位脈沖響應(yīng)曲線及單位斜坡響應(yīng)曲線，如圖2-28所示。根據(jù)式2-21可得，比例環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線為一條幅值為K的直線，如圖2-27所示1.1.1 齒輪減速器數(shù)學(xué)模型

由圖2-27及圖2-28可知，比例環(huán)節(jié)的輸出量為其輸入量的等比例放大或縮小。當(dāng)比例系數(shù)（增益）K>1時(shí)，輸出量為輸入量等比例放大；當(dāng)K<1時(shí)，輸出量為輸入量等比例縮??；當(dāng)K=1時(shí)，輸出量與輸入量相等。比例環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)可以立即響應(yīng)輸入量，輸出量相對(duì)輸入量既不超前也不滯后。將圖2-27與實(shí)驗(yàn)結(jié)果中圖2-30對(duì)比可知，由數(shù)學(xué)模型計(jì)算得出的階躍響應(yīng)特點(diǎn)與實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果相同，當(dāng)數(shù)學(xué)模型比例系數(shù)與實(shí)際環(huán)節(jié)比例系數(shù)相同時(shí)，可以用數(shù)學(xué)模型的響應(yīng)曲線對(duì)實(shí)際環(huán)節(jié)的性能進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)前的分析。1.1.1 齒輪減速器數(shù)學(xué)模型

由比例環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型可知，比例環(huán)節(jié)電路的輸出電壓與輸入電壓之間存在比例關(guān)系，即電路可實(shí)現(xiàn)比例運(yùn)算。如圖2-31所示電路即為一個(gè)比例環(huán)節(jié)的無(wú)源電路。

1.2 知識(shí)拓展：比例環(huán)節(jié)模擬電路1.比例環(huán)節(jié)無(wú)源模擬電路可知，該比例環(huán)節(jié)電路的比例系數(shù)K=R_1?((R_1+R_2))，因此，可通過(guò)改變電路中各電阻值來(lái)調(diào)節(jié)該環(huán)節(jié)的比例系數(shù)的大小，且對(duì)于無(wú)源比例環(huán)節(jié)電路來(lái)說(shuō)，其比例系數(shù)始終是小于1的，為了得到大于1的比例系數(shù)，可以采用有源比例環(huán)節(jié)電路來(lái)實(shí)現(xiàn)。1.2 知識(shí)拓展比例環(huán)節(jié)模擬電路1.比例環(huán)節(jié)無(wú)源模擬電路

1.2 知識(shí)拓展：比例環(huán)節(jié)模擬電路

2.比例環(huán)節(jié)有源模擬電路

比例環(huán)節(jié)有源模擬電路是一種最基本的運(yùn)算電路，它是通過(guò)在運(yùn)算放大器上增加反饋網(wǎng)絡(luò)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。其他各種運(yùn)算電路都是建立在該電路基礎(chǔ)上，通過(guò)擴(kuò)展或演變而成的。例如加法、減法器以及微分、積分等模擬運(yùn)算電路等。根據(jù)輸入信號(hào)接法的不同，將比例環(huán)節(jié)有源模擬電路分為三種基本形式：反相輸入、同相輸入以及差分輸入比例運(yùn)算電路，其中反相輸入模擬運(yùn)算電路在實(shí)際應(yīng)用中比較多，在此我們只對(duì)該中運(yùn)算電路進(jìn)行介紹。圖中，ur(t)為輸入量，經(jīng)電阻R1連接至運(yùn)算放大器的反相輸入端A點(diǎn)，其同相輸入端直接接地。uo(t)為輸出量，經(jīng)電阻R2反饋至運(yùn)算放大器的反相輸入端A點(diǎn)。理想運(yùn)算放大器在線性工作區(qū)時(shí)具有“虛短”和“虛斷”的特點(diǎn)，由“虛斷”（即A點(diǎn)和B點(diǎn)近似斷路），可得流入反相輸入端電流i-(t)≈0A。又因“虛短”（即A點(diǎn)和B點(diǎn)近似短路），可得A點(diǎn)電壓uA近似等于B點(diǎn)電壓uB，即uA≈uB=0V。2.比例環(huán)節(jié)有源模擬電路

1.2 知識(shí)拓展：比例環(huán)節(jié)模擬電路1.2 知識(shí)拓展：比例環(huán)節(jié)模擬電路即輸出電壓uo(t)與輸入電壓ur(t)幅值成正比，相位相反。放大倍數(shù)K由電阻R2與R1的比值決定，該比值可以大于1，也可以小于1。若R1=R2，即比值為1，則稱此反相運(yùn)算電路為“反相器”。

任務(wù)2 水箱的數(shù)學(xué)模型及時(shí)域響應(yīng)任務(wù)內(nèi)容及要求：推導(dǎo)截面積相等的水箱的數(shù)學(xué)模型，并搭建水箱，即積分環(huán)節(jié)（IntegralElement），的模擬電路，通過(guò)記錄并觀察積分環(huán)節(jié)模擬電路的單位階躍、單位脈沖及單位斜坡函數(shù)的響應(yīng)曲線，總結(jié)其時(shí)域響應(yīng)特點(diǎn)，掌握積分時(shí)間常數(shù)（TimeConstant）對(duì)其時(shí)域響應(yīng)影響以及其物理意義。任務(wù)準(zhǔn)備：在任務(wù)準(zhǔn)備部分，主要介紹了完成本任務(wù)學(xué)生所需掌握的基本理論知識(shí)，主要包括：水箱的數(shù)學(xué)模型。任務(wù)2 水箱的數(shù)學(xué)模型及時(shí)域響應(yīng)2.1水箱的數(shù)學(xué)模型如圖2-34所示的水箱，上下各截面積相等，其底面積設(shè)為A，液位高度為h(t)，初始液位h(0)=0，0時(shí)刻開始向水杯中注水，水流量為Q(t),以Q(t)作為水杯的輸入，h(t)為輸出。

圖2-34水箱注水示意圖則該水箱輸入量與輸出量之間的關(guān)系為：

積分環(huán)節(jié)也是自動(dòng)控制系統(tǒng)中常見的一種環(huán)節(jié)，凡是輸出量對(duì)輸入量具有積累、儲(chǔ)存特點(diǎn)的元器件一般都包含積分環(huán)節(jié)，例如位移與速度、電容電壓與電流、水箱液位與水流量等。它的微分方程可總結(jié)為：式中，c(t)是環(huán)節(jié)的輸出量;r(t)是環(huán)節(jié)的輸人量;Ti為常數(shù)，稱為積分時(shí)間常數(shù),Ki=1/Ti，稱為積分常數(shù)。對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)是：任務(wù)2 水箱的數(shù)學(xué)模型及時(shí)域響應(yīng)

任務(wù)2 水箱的數(shù)學(xué)模型及時(shí)域響應(yīng)2.1水箱的數(shù)學(xué)模型

由以上積分環(huán)節(jié)實(shí)例可以得出，積分環(huán)節(jié)的輸出量與其輸入量對(duì)時(shí)間的積分量（即圖2-35所示的面積）成正比，我們將數(shù)學(xué)模型具有該特點(diǎn)的元件統(tǒng)稱為積分環(huán)節(jié)（IntegralElement）。任務(wù)2 水箱的數(shù)學(xué)模型及時(shí)域響應(yīng)任務(wù)2 水箱的數(shù)學(xué)模型及時(shí)域響應(yīng)2.2 知識(shí)拓展：積分環(huán)節(jié)時(shí)域響應(yīng)積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)h(t)為：根據(jù)式2-19可得，積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線為一條斜率為1/Ti（K）的斜線，如圖2-28所示：

任務(wù)2 水箱的數(shù)學(xué)模型及時(shí)域響應(yīng)由圖2-28可知，積分時(shí)間常數(shù)Ti為輸出量與輸入量的交點(diǎn)位置所對(duì)應(yīng)的時(shí)間，積分時(shí)間越大（積分常數(shù)Ki越?。瑒t輸出信號(hào)上升速度越慢。下面以水箱為例對(duì)積分時(shí)間的物理意義進(jìn)行說(shuō)明。由水箱的數(shù)學(xué)模型可知，水箱底面積A為該環(huán)節(jié)的積分時(shí)間常數(shù)如圖2-42。當(dāng)輸入的水流量Q(t)（即輸入量）隨時(shí)間不發(fā)生變化時(shí)，即給水箱（即積分環(huán)節(jié)）輸入了一個(gè)階躍函數(shù)，此時(shí)，水箱中的液位高度h(t)（即輸出量）會(huì)勻速上升，水箱底面積（即積分時(shí)間常數(shù)）越小，則液位上升的速度越快，對(duì)應(yīng)的積分環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)中輸出信號(hào)斜率越大。任務(wù)2 水箱的數(shù)學(xué)模型及時(shí)域響應(yīng)

由圖2-43可知，當(dāng)積分環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量在時(shí)間上的積分值成正比，即輸出量為輸入量的不斷“積累”，當(dāng)輸入量r(t)>0時(shí)，輸出量隨時(shí)間不斷增加，輸入量越大，輸出量增加的速度越快（如圖2-43b所示）；當(dāng)輸入量r(t)=0時(shí)，輸出量保持上一時(shí)刻的值不變（如圖2-43a所示）；當(dāng)輸入量r(t)<0時(shí)，輸出量不斷減小。任務(wù)2 水箱的數(shù)學(xué)模型及時(shí)域響應(yīng)2.3知識(shí)拓展：積分環(huán)節(jié)模擬電路

積分環(huán)節(jié)模擬電路是使輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的時(shí)間積分值成比例的電路，積分環(huán)節(jié)模擬電路是一種應(yīng)用比較廣泛的電路。圖2-45是一個(gè)典型的積分環(huán)節(jié)模擬電路圖，ur(t)為輸入量，經(jīng)電阻R1連接至運(yùn)算放大器的反相輸入端A點(diǎn)，其同相輸入端直接接地。uo(t)為輸出量，經(jīng)電容C1反饋至運(yùn)算放大器的反相輸入端A點(diǎn)?？梢钥闯?，這種反相輸入的積分環(huán)節(jié)模擬電路實(shí)際上是在反相比例環(huán)節(jié)模擬電路的基礎(chǔ)上將反饋回路中的電阻R2改為電容C1而得到的。任務(wù)2 水箱的數(shù)學(xué)模型及時(shí)域響應(yīng)如果在開始積分之前，電容兩端已經(jīng)存在一個(gè)初始電壓，則積分電路將有一個(gè)初始的輸出電壓uc(0)，此時(shí)

任務(wù)3 測(cè)速電機(jī)的數(shù)學(xué)模型及時(shí)域響應(yīng)任務(wù)內(nèi)容及要求：推導(dǎo)測(cè)速電機(jī)的數(shù)學(xué)模型，并搭建測(cè)速電機(jī)，即微分環(huán)節(jié)（DerivativeElement），的模擬電路，通過(guò)記錄并觀察微分環(huán)節(jié)模擬電路的單位階躍、單位脈沖及單位斜坡函數(shù)的響應(yīng)曲線，總結(jié)其時(shí)域響應(yīng)特點(diǎn)，掌握微分時(shí)間常數(shù)（TimeConstant）對(duì)其時(shí)域響應(yīng)影響以及其物理意義。任務(wù)準(zhǔn)備：在任務(wù)準(zhǔn)備部分，主要介紹了完成本任務(wù)學(xué)生所需掌握的基本理論知識(shí)，主要包括：測(cè)速電機(jī)的數(shù)學(xué)模型。任務(wù)3 測(cè)速電機(jī)的數(shù)學(xué)模型及時(shí)域響應(yīng)3.1測(cè)速電機(jī)數(shù)學(xué)模型

如圖2-46所示的測(cè)速電機(jī)若以電機(jī)的轉(zhuǎn)角θ作為輸人量，以電樞電壓Uc為輸出量時(shí)，可近似為微分環(huán)節(jié)。不考慮磁滯、渦流和電樞反應(yīng)的影響，且令磁場(chǎng)恒定不變，則測(cè)速發(fā)電機(jī)的電樞電壓uc與電機(jī)角速度ω成正比，即式中設(shè)測(cè)速電機(jī)的增益常數(shù)K為τ。相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：

任務(wù)3 測(cè)速電機(jī)的數(shù)學(xué)模型及時(shí)域響應(yīng)由以上微分環(huán)節(jié)實(shí)例可以得出，微分環(huán)節(jié)的輸出量與其輸入量對(duì)時(shí)間的微分量成正比，我們將數(shù)學(xué)模型具有該特點(diǎn)的元件統(tǒng)稱為微分環(huán)節(jié)（DerivativeElement）。在物理上，單獨(dú)的微分環(huán)節(jié)是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的，它常與其他環(huán)節(jié)同時(shí)存在于某一系統(tǒng)中，因此微分環(huán)節(jié)也常稱為“理想微分環(huán)節(jié)”。理想微分環(huán)節(jié)的輸出與輸入信號(hào)對(duì)時(shí)間的微分成正比，即有3.1測(cè)速電機(jī)數(shù)學(xué)模型

任務(wù)3 測(cè)速電機(jī)的數(shù)學(xué)模型及時(shí)域響應(yīng)3.1測(cè)速電機(jī)數(shù)學(xué)模型任務(wù)3 測(cè)速電機(jī)的數(shù)學(xué)模型及時(shí)域響應(yīng)任務(wù)實(shí)施：在任務(wù)實(shí)施部分，學(xué)生需要根據(jù)任務(wù)準(zhǔn)備中推導(dǎo)出的測(cè)速電機(jī)的數(shù)學(xué)模型，完成實(shí)驗(yàn)?zāi)K一和實(shí)驗(yàn)?zāi)K二的內(nèi)容，并在對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步理解知識(shí)拓展中微分環(huán)節(jié)時(shí)域響應(yīng)及微分環(huán)節(jié)模擬電路內(nèi)容。3.1測(cè)速電機(jī)數(shù)學(xué)模型3.2 知識(shí)拓展1：微分環(huán)節(jié)時(shí)域響應(yīng)

由于系統(tǒng)慣性的存在，微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)是逐漸衰減的過(guò)程，如圖2-53所示為實(shí)際積分環(huán)節(jié)單位的階躍響應(yīng)曲線。3.2 知識(shí)拓展1：微分環(huán)節(jié)時(shí)域響應(yīng)由微分環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型可知，微分環(huán)節(jié)的輸出量是當(dāng)前時(shí)刻輸入量的變化率，即對(duì)系統(tǒng)未來(lái)輸出的“預(yù)測(cè)”。當(dāng)輸出量為“正”時(shí)，表示輸入量下一個(gè)時(shí)刻還會(huì)增加；當(dāng)輸出量為“負(fù)”時(shí)，則表示下一個(gè)時(shí)刻輸入量會(huì)減小；當(dāng)輸出量為“零”時(shí)，則表示某段時(shí)間內(nèi)輸入量不變，即輸出量已到達(dá)波峰或波谷。微分時(shí)間常數(shù)τ大小代表了在輸入量相同的情況下，微分作用的大小，微分時(shí)間常數(shù)大，則微分作用越大（輸出量越大），反之則越?。ㄝ敵隽吭叫。?。3.3 知識(shí)拓展2：微分環(huán)節(jié)模擬電路工程上，一般使用“近似微分環(huán)節(jié)”，由理想微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)相乘得到，其傳遞函數(shù)為 G(s)=τs/(Ts+1) (2-52)如圖2-56所示電路即為一個(gè)“近似微分環(huán)節(jié)”的無(wú)源電路該電路的傳遞函數(shù)為：

3.3 知識(shí)拓展2：微分環(huán)節(jié)模擬電路該微分環(huán)節(jié)的微分時(shí)間常數(shù)為RC，因此，可通過(guò)改變電阻值和電容系數(shù)來(lái)改變?cè)摥h(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。

任務(wù)4 單容水箱數(shù)學(xué)模型及時(shí)域響應(yīng)任務(wù)內(nèi)容及要求：推導(dǎo)單容水箱的數(shù)學(xué)模型，并搭建單容水箱，即慣性環(huán)節(jié)（InertialElement），的模擬電路，通過(guò)記錄并觀察慣性環(huán)節(jié)模擬電路的單位階躍、單位脈沖及單位斜坡函數(shù)的響應(yīng)曲線，總結(jié)其時(shí)域響應(yīng)特點(diǎn)，掌握慣性時(shí)間常數(shù)（TimeConstant）對(duì)其時(shí)域響應(yīng)影響以及其物理意義。任務(wù)準(zhǔn)備：在任務(wù)準(zhǔn)備部分，主要介紹了完成本任務(wù)學(xué)生所需掌握的基本理論知識(shí)，主要包括：?jiǎn)稳菟涞臄?shù)學(xué)模型。任務(wù)4 單容水箱數(shù)學(xué)模型及時(shí)域響應(yīng)4.1單容水箱數(shù)學(xué)模型單容水箱示意圖如圖2-58單容水箱示意圖所示。流水量為Q_1，進(jìn)水閥的開度為μ，由進(jìn)水閥開度控制Q_1的大小，流出量Q_2，隨下游工序的需要而變化，其大小有出水閥開度控制。在出水閥開度不變的情況下，液位h越高，儲(chǔ)液箱靜壓越大，流出來(lái)Q_2越大。下面分析進(jìn)水閥流水量為Q_1與液位h之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，建立該單容水箱的數(shù)字模型。任務(wù)4 單容水箱數(shù)學(xué)模型及時(shí)域響應(yīng)4.1單容水箱數(shù)學(xué)模型

任務(wù)4 單容水箱數(shù)學(xué)模型及時(shí)域響應(yīng)4.1單容水箱數(shù)學(xué)模型將具有上述形式數(shù)學(xué)模型的環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié)（InertialElement），慣性環(huán)節(jié)中含有一個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，以致于對(duì)于突變的輸入，輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，存在時(shí)間上的延遲。其微分方程為

任務(wù)4 單容水箱數(shù)學(xué)模型及時(shí)域響應(yīng)4.1單容水箱數(shù)學(xué)模型其中慣性環(huán)節(jié)的慣性時(shí)間常數(shù)T=RA，由單容水箱數(shù)學(xué)模型可知，慣性環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)是由結(jié)構(gòu)中元件參數(shù)決定的。實(shí)際系統(tǒng)中有很多可以用慣性環(huán)節(jié)來(lái)描述，例如忽略電樞電感的直流電機(jī)等。

4.2 知識(shí)拓展1：慣性環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)h(t)為：根據(jù)式2-28可得，慣性環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)初始值為0，隨后不斷增加，在t→∞時(shí)，趨向于1，曲線在0時(shí)刻斜率最大為：1/T，之后斜率逐漸減小，如圖2-63所示：慣性時(shí)間常數(shù)越大，慣性環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)的初始斜率小，則響應(yīng)上升的越緩慢。

4.3 知識(shí)拓展2：慣性環(huán)節(jié)單位斜坡響應(yīng)當(dāng)慣性環(huán)節(jié)的輸入量r(t)=Rt時(shí)（R為常數(shù)），系統(tǒng)的輸出稱為斜坡響應(yīng)，當(dāng)R=1時(shí)，系統(tǒng)的輸出稱為單位斜坡響應(yīng)。記作：由圖2-64可知，該響應(yīng)系統(tǒng)存在誤差信號(hào)e(t)。當(dāng)t→∞時(shí)，e^(-t/T)→0，此時(shí)e(t)=T。因此可得，當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)，一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號(hào)輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為時(shí)間常數(shù)T；時(shí)間常數(shù)T越小，穩(wěn)態(tài)誤差越小。

4.4 知識(shí)拓展3：慣性環(huán)節(jié)單位脈沖響應(yīng)

當(dāng)慣性環(huán)節(jié)的輸入量r(t)=Rδ(t)時(shí)（R為常數(shù)），系統(tǒng)的輸出稱為脈沖響應(yīng)，當(dāng)R=1時(shí)，環(huán)節(jié)的輸出稱為單位脈沖響應(yīng)，記作g(t)，即：

當(dāng)慣性環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)不同，則單位脈沖響應(yīng)曲線衰減速度不同，由圖2-65可知，時(shí)間常數(shù)表征了慣性環(huán)節(jié)單位脈沖響應(yīng)衰減至初始值的36.8%時(shí)所需的時(shí)間，時(shí)間常數(shù)越大，衰減越慢，反之則衰減越快。因此，慣性環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)除了可以通過(guò)測(cè)量單位階躍響應(yīng)獲得外，也可以通過(guò)測(cè)量其單位脈沖響應(yīng)獲得。4.4 知識(shí)拓展3：慣性環(huán)節(jié)單位脈沖響應(yīng)

由式2-66可知，系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的拉氏變換即為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。這意味著，對(duì)于線性定常系統(tǒng)，在初始條件為零時(shí)，可以通過(guò)測(cè)量其單位脈沖響應(yīng)進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)。在工程實(shí)際中，大部分系統(tǒng)在長(zhǎng)期運(yùn)行過(guò)程中，都會(huì)由于元器件磨損、環(huán)境變化等原因出現(xiàn)不同程度的參數(shù)變化，從而導(dǎo)致系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性變化，引起不令人滿意的系統(tǒng)響應(yīng)。這些變化有些是可預(yù)見的，有些不可預(yù)見，此時(shí)可通過(guò)測(cè)量系統(tǒng)脈沖響應(yīng)，重新得到系統(tǒng)的參數(shù)，從而獲得更加精準(zhǔn)的控制。應(yīng)用時(shí)，可以用窄脈沖代替理想脈沖信號(hào)來(lái)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)試。

當(dāng)慣性環(huán)節(jié)的輸入量r(t)=Rδ(t)時(shí)（R為常數(shù)），系統(tǒng)的輸出