北京市朝陽區(qū)2025~2026學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測高三數(shù)學(xué)試卷（考試時間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在等比數(shù)列中，若，則（）A.6 B.9 C.15 D.814.已知，則（）A. B.C. D.5.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的一個重要數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是“圓柱容球”，即當(dāng)球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高均相等時，球的體積是圓柱體積的，且球的表面積也是圓柱表面積的．如圖所示，在一個“圓柱容球”的模型中，若球的體積為，則該模型中圓柱的表面積為（）A. B. C. D.6.已知拋物線，直線，若直線與拋物線有且僅有一個公共點，則取值有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個7.心理物理學(xué)中，史蒂文斯冪定律的對數(shù)形式可描述物理刺激強(qiáng)度與主觀感知強(qiáng)度的關(guān)系：，其中均為大于0的常數(shù)．已知當(dāng)物理刺激強(qiáng)度從16單位增加到256單位時，增加8；當(dāng)物理刺激強(qiáng)度從256單位增加到1024單位時，增加（）A.4 B.6 C.8 D.108.已知數(shù)列滿足，則“”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知兩點的坐標(biāo)分別為，直線相交于點，且它們的斜率之和是2，設(shè)的軌跡為曲線，下面關(guān)于曲線的四個結(jié)論：①曲線是中心對稱圖形；②對任意非零實數(shù)，直線與曲線總有兩個公共點；③對任意非零實數(shù)，直線與曲線總有兩個公共點；④對任意非零實數(shù)，曲線與曲線總有兩個公共點．其中所有正確結(jié)論的序號是（）A.①③ B.①② C.②③④ D.①②④10.在邊長為1的正三角形中，分別在邊上，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.函數(shù)最小正周期是___________．12.已知，則___________；___________.13.若雙曲線的離心率，則的一個取值為___________．14.在中，，則___________；若的內(nèi)切圓的半徑為，則的周長為___________．15.在長方體中，，動點分別在棱和上（包含端點），為線段的中點．給出下列四個結(jié)論：①點的軌跡是線段；②的最小值為；③對于給定的點，總存在點，使得經(jīng)過點及的平面截該長方體的截面圖形是矩形；④存在點，使得經(jīng)過點及的平面截該長方體的截面圖形是正方形．其中所有正確結(jié)論的序號為___________．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的值；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得函數(shù)唯一確定，求的解析式及在區(qū)間上的最大值與最小值.條件①：在處取得最大值，且在處取得最小值；條件②：的圖象關(guān)于直線對稱，且的最小正周期大于；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞增，且.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.17.某人形機(jī)器人行業(yè)協(xié)會為了解行業(yè)現(xiàn)狀，對該行業(yè)所有公司生產(chǎn)的人形機(jī)器人進(jìn)行了一次性能評估．現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100家公司，統(tǒng)計其人形機(jī)器人“性能評分”（百分制，且均為整數(shù)）及對應(yīng)的“行業(yè)評級”（評級越高，代表性能越優(yōu)），整理數(shù)據(jù)如下表：性能評分行業(yè)評級公司數(shù)51043220110（1）當(dāng)時，在這100家公司中，（i）從性能評分不低于80分的公司中隨機(jī)抽取1家，求其行業(yè)評級為5級的概率；（ii）從性能評分不低于80分的公司中隨機(jī)抽取2家，記為這2家公司中行業(yè)評級為5級的公司數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）用頻率估計概率，記“從該行業(yè)所有評級為2級和5級公司中隨機(jī)抽取2家，這2家公司的行業(yè)評級的平均值”為，記“上述100家公司的行業(yè)評級的平均值”為．設(shè)“”的概率為，“”的概率為，請根據(jù)表中信息比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）18.在四棱錐中，平面平面，．分別為棱上的點，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）若點為線段的中點，判斷直線是否在平面內(nèi)？并說明理由．19.已知橢圓：的離心率為，橢圓上的點到兩焦點的距離之和為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點，，過點直線與橢圓交于不同的兩點，點關(guān)于軸的對稱點記為（與不重合）．若，試判斷三點是否共線？并說明理由．20.已知函數(shù)．曲線在點切線方程為．（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若，曲線在點處的切線分別與軸交于，求證：．21.設(shè)為正整數(shù)且，若由實數(shù)數(shù)對組成的序列滿足對任意，均有，則稱為一個序列．若對一個序列，存在有序?qū)崝?shù)組（其中）使得，則稱為一個序列．（1）已知序列，判斷序列是否為序列？序列是否為序列？說明理由；（2）當(dāng)時，判斷是否存在序列不是序列？若存在，請舉出一個符合要求的序列；若不存在，說明理由；（3）若任意序列均是序列，求的所有可能取值．參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求解集合中不等式的解集，再根據(jù)交集的定義求與的交集.【詳解】不等式的解集為，即，已知，故.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】由可得，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，在第一象限.故選：A.3.等比數(shù)列中，若，則（）A.6 B.9 C.15 D.81【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和題設(shè)條件，求得數(shù)列的公比，代入即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，.故選：B.4.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】對于A，把不等式兩邊平方再作差即可判斷；對于B，根據(jù)特殊值法即可判斷；對于C，利用均值不等式即可判斷；對于D，根據(jù)基本不等式即可判斷.【詳解】對于A，因為，所以可得，，，則，即，所以，故A錯誤；對于B，令，則，則，故B錯誤;對于C，根據(jù)均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又因為，所以等號不成立，則，故C錯誤;對于D，因為，所以，由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，而，所以等號不成立，則，故D正確.故選：D5.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的一個重要數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是“圓柱容球”，即當(dāng)球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高均相等時，球的體積是圓柱體積的，且球的表面積也是圓柱表面積的．如圖所示，在一個“圓柱容球”的模型中，若球的體積為，則該模型中圓柱的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用球的體積公式和圓柱的表面積公式求解.【詳解】解：可設(shè)球的半徑為，則根據(jù)題意可知圓柱的底面半徑也為，圓柱的高等于直徑，圓柱的高等于，球的體積為，，，圓柱的表面積公式為.故選：D.6.已知拋物線，直線，若直線與拋物線有且僅有一個公共點，則的取值有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】將交點問題轉(zhuǎn)化為方程有唯一解的問題，對二次項系數(shù)分類討論求解即可.【詳解】聯(lián)立方程組，可得，因為直線與拋物線有且僅有一個公共點，所以有唯一解，當(dāng)時，方程變?yōu)?，解得，符合題意，當(dāng)時，此時，化簡得，解得或，符合題意，則的取值有3個，故C正確.故選：C7.心理物理學(xué)中，史蒂文斯冪定律的對數(shù)形式可描述物理刺激強(qiáng)度與主觀感知強(qiáng)度的關(guān)系：，其中均為大于0的常數(shù)．已知當(dāng)物理刺激強(qiáng)度從16單位增加到256單位時，增加8；當(dāng)物理刺激強(qiáng)度從256單位增加到1024單位時，增加（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意先求得，再計算物理刺激強(qiáng)度從256單位增加到1024單位時，增加量即可.【詳解】當(dāng)物理刺激強(qiáng)度為16單位時，；當(dāng)物理刺激強(qiáng)度為256單位時，；當(dāng)物理刺激強(qiáng)度為1024單位時，；因為物理刺激強(qiáng)度從16單位增加到256單位時，增加8；所以，解得，所以，當(dāng)物理刺激強(qiáng)度從256單位增加到1024單位時，增加.故選：A8.已知數(shù)列滿足，則“”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)是遞增數(shù)列求出的取值范圍，結(jié)合充分條件、必要條件、充要條件的定義判斷即可.【詳解】是遞增數(shù)列的充要條件是對任意恒成立.已知，所以.令，則.因為，所以恒成立，故只需對任意恒成立，即對任意恒成立.令，，該函數(shù)是關(guān)于的增函數(shù)，因此在時取得最小值，.故是遞增數(shù)列的充要條件是.故選：C.9.已知兩點的坐標(biāo)分別為，直線相交于點，且它們的斜率之和是2，設(shè)的軌跡為曲線，下面關(guān)于曲線的四個結(jié)論：①曲線是中心對稱圖形；②對任意非零實數(shù)，直線與曲線總有兩個公共點；③對任意非零實數(shù)，直線與曲線總有兩個公共點；④對任意非零實數(shù)，曲線與曲線總有兩個公共點．其中所有正確結(jié)論的序號是（）A.①③ B.①② C.②③④ D.①②④【答案】B【解析】【分析】由題可得曲線C方程滿足：.對于①，通過驗證，是否均在曲線上可判斷正誤；對于②③④，將對應(yīng)方程與曲線方程聯(lián)立，通過判斷聯(lián)立方程在題設(shè)限制下根的個數(shù)可判斷正誤.【詳解】設(shè)，由題可得.對于①，設(shè)在曲線C上，則.對于，代入方程左邊可得，從而也在曲線C上，即曲線C為中心對稱圖形，故①正確；對于②，將與聯(lián)立，則.對于方程，其判別式為，則方程總有兩相異實根，又注意到當(dāng)且僅當(dāng)，方程有根，則不為0時，與曲線C總有兩不同交點，故②正確；對于③，將與聯(lián)立，則，顯然時，方程無實數(shù)根，則當(dāng)時，與曲線C無交點，故③錯誤；對于④，將與聯(lián)立，則，顯然時，方程無實數(shù)根，則當(dāng)時，與曲線C無交點，故④錯誤.綜上，可得①②正確.故選：B10.在邊長為1的正三角形中，分別在邊上，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如圖建系，依題意設(shè)，，求出點的坐標(biāo)，由，推得，利用基本不等式求出，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求解，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得其取值范圍.【詳解】如圖，以的中點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.因正三角形的邊長為1，則，因分別在邊上，不妨設(shè)，可得；設(shè)，可得.則，又，則，則（*）因，則，將（*）代入上式，可得，由（*）可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，由可得，依題意，，設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，故.故選：A.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.函數(shù)的最小正周期是___________．【答案】【解析】【分析】先利用降冪公式化簡，再根據(jù)余弦型函數(shù)的周期公式求解即可.【詳解】由，則函數(shù)的最小正周期是.故答案為：.12.已知，則___________；___________.【答案】①.②.【解析】【分析】對式子的兩邊進(jìn)行賦值，令，即可求得的值；令，可得到的值，結(jié)合的值即可求解.【詳解】令，則，即；令，則；所以.故答案為：；.13.若雙曲線的離心率，則的一個取值為___________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】先將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再表示出離心率，進(jìn)而結(jié)合題意求解參數(shù)范圍，最后得到取值即可.【詳解】由題意得雙曲線方程為，將其化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得，則，得到，因為，所以，解得，則一個取值為.故答案為：（答案不唯一）14.在中，，則___________；若的內(nèi)切圓的半徑為，則的周長為___________．【答案】①.②.【解析】【分析】由正弦定理即可求出；設(shè)的面積為，周長為，內(nèi)切圓的半徑為，根據(jù)可求出，再根據(jù)余弦定理得到，聯(lián)立即可求出，即可求出周長.【詳解】由正弦定理得，設(shè)的面積為，周長為，內(nèi)切圓的半徑為，所以，則，則，即，由余弦定理得，聯(lián)立，解得，所以的周長為.故答案為：；.15.在長方體中，，動點分別在棱和上（包含端點），為線段的中點．給出下列四個結(jié)論：①點的軌跡是線段；②的最小值為；③對于給定的點，總存在點，使得經(jīng)過點及的平面截該長方體的截面圖形是矩形；④存在點，使得經(jīng)過點及的平面截該長方體的截面圖形是正方形．其中所有正確結(jié)論的序號為___________．【答案】①③④【解析】【分析】對于①，過作交于點，交于點，根據(jù)長方體的性質(zhì)得到從而得到，連接，設(shè)，連接，設(shè)，連接，可以得到在線段上，從而得到答案；對于②，由點在線段上，故當(dāng)點與點重合時，為最小值為，利用勾股定理求出即可得解；對于③，根據(jù)長方體的性質(zhì)，利用空間向量法分析是否存在滿足條件的點；對于④，據(jù)正方形的性質(zhì)，利用空間向量法判斷是否存在滿足條件的點.【詳解】對于①，過作交于點，交于點，，，動點分別在棱和上（包含端點），為線段的中點，，，，，，連接，設(shè)，連接，設(shè)，連接，，在線段上，點的軌跡是線段，故①正確；對于②，點在線段上，故當(dāng)點與點重合時，最小，且最小值為，故②錯誤；對于③，以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，，若，則，解得或，此時，所以對于任意給定的點，總存在點（與重合），使得經(jīng)過點及的平面截該長方體的截面圖形是矩形，故③正確；對于④，，，若，則，解得或，此時，，，若，則，解得，當(dāng)時，則轉(zhuǎn)化為，即，，，，故當(dāng)，時，經(jīng)過點及的平面截該長方體的截面圖形是正方形，當(dāng)時，則轉(zhuǎn)化為，此方程無解；綜上可知，存在點，使得經(jīng)過點及的平面截該長方體的截面圖形是正方形，故④正確.故答案為：①③④.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的值；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得函數(shù)唯一確定，求的解析式及在區(qū)間上的最大值與最小值.條件①：在處取得最大值，且在處取得最小值；條件②：的圖象關(guān)于直線對稱，且的最小正周期大于；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞增，且.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）（2）選條件②或③，；取得最小值，取得最大值【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的輔助角公式將函數(shù)化簡，然后代入即可求解；（2）條件①：根據(jù)題設(shè)可知，然后結(jié)合正弦型函數(shù)的周期公式即可判斷函數(shù)不唯一確定；條件②：根據(jù)的圖象關(guān)于直線對稱可得，結(jié)合的最小正周期大于可得，并得到的解析式，最后根據(jù)給定的區(qū)間即可求出的最值；條件③：根據(jù)在區(qū)間上單調(diào)遞增可得，結(jié)合得，并得到的解析式，最后根據(jù)給定的區(qū)間即可求出的最值；【小問1詳解】依題意，；所以當(dāng)時，，所以.【小問2詳解】選條件①：在處取得最大值，且在處取得最小值；設(shè)的周期為，則，所以，又，所以，解得，不符合函數(shù)唯一確定條件；選條件②：的圖象關(guān)于直線對稱，且的最小正周期大于；由，得，解得，的最小正周期，解得；又，，所以當(dāng)時，，此時唯一確定，符合題意；當(dāng)時，，所以，所以；綜上，的解析式為；當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)時，取得最大值；選條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞增，且；由，由，得，解得；當(dāng)時，，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，又，所以；所以當(dāng)時，，此時唯一確定，符合題意；當(dāng)時，，所以，所以；綜上，的解析式為；當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)時，取得最大值.17.某人形機(jī)器人行業(yè)協(xié)會為了解行業(yè)現(xiàn)狀，對該行業(yè)所有公司生產(chǎn)的人形機(jī)器人進(jìn)行了一次性能評估．現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100家公司，統(tǒng)計其人形機(jī)器人“性能評分”（百分制，且均為整數(shù)）及對應(yīng)的“行業(yè)評級”（評級越高，代表性能越優(yōu)），整理數(shù)據(jù)如下表：性能評分行業(yè)評級公司數(shù)51043220110（1）當(dāng)時，在這100家公司中，（i）從性能評分不低于80分的公司中隨機(jī)抽取1家，求其行業(yè)評級為5級的概率；（ii）從性能評分不低于80分的公司中隨機(jī)抽取2家，記為這2家公司中行業(yè)評級為5級的公司數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）用頻率估計概率，記“從該行業(yè)所有評級為2級和5級的公司中隨機(jī)抽取2家，這2家公司的行業(yè)評級的平均值”為，記“上述100家公司的行業(yè)評級的平均值”為．設(shè)“”的概率為，“”的概率為，請根據(jù)表中信息比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）【答案】（1）（i）；（ii）分布列見解析；期望為（2）【解析】【分析】（1）（i）當(dāng)時，得到不低于80分的公司有家，行業(yè)評級為5級的公司有家，結(jié)合古典概型的概率計算公式，即可求解；（ii）根據(jù)題意，得到變量的可能取值為，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，求得，且，再求得行業(yè)所有評級為2級和5級的公司中隨機(jī)抽取2家的概率，結(jié)合和的關(guān)系，分別求得和的值，即可得到答案.【小問1詳解】解：（i）當(dāng)時，可得性能評分不低于80分的公司有家，其中行業(yè)評級為5級的公司有家，所以從中隨機(jī)抽取1家，其行業(yè)評級為5級的概率為；由記為這2家公司中行業(yè)評級為5級的公司數(shù)，則的可能取值為，可得，，，所以隨機(jī)變量的分布列為012所以期望為.【小問2詳解】解：由題意，可得，可得，抽取100家公司的行業(yè)評級總和為，所以，其取值范圍為，該行業(yè)所有評級為2級和5級的公司中隨機(jī)抽取2家，用頻率估計概率，則兩家的評級都為2級的概率為，此時兩家的評級一家為2級，一家為5級的概率為，平均級別為；兩家的評級都為5級的概率為，平均級別為，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，滿足，此時，又因為且，當(dāng)且僅當(dāng)或，滿足，此時，所以.18.在四棱錐中，平面平面，．分別為棱上的點，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）若點為線段的中點，判斷直線是否在平面內(nèi)？并說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）EF在平面AFG內(nèi)，理由見解析.【解析】【分析】（1）由平面平面結(jié)合平面與平面垂直性質(zhì)可完成證明；（2）由題設(shè)，如圖過作平行線交于，建立以為原點的空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，據(jù)此可得答案；（3）等價于判斷是否存在實數(shù)，使，據(jù)此可完成判斷.【小問1詳解】因平面平面，平面平面，，平面，則平面；【小問2詳解】如圖過作平行線交于，由題設(shè)可得.然后如圖建立以為原點的空間直角坐標(biāo)系.則..因，則.則，又，則，設(shè)平面法向量為，則，令，可得可為.又易得平面的法向量為.設(shè)平面與平面夾角為，則.【小問3詳解】由（2）可得，，.則。假設(shè)平面，則四點共面，從而存在實數(shù)，使，則.則，即在平面內(nèi).19.已知橢圓：的離心率為，橢圓上的點到兩焦點的距離之和為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點，，過點的直線與橢圓交于不同的兩點，點關(guān)于軸的對稱點記為（與不重合）．若，試判斷三點是否共線？并說明理由．【答案】（1）（2）三點共線，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義、離心率及求解即可.（2）設(shè)出直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得到兩根之和與兩根之積，通過證明與共線，即可得到三點共線.【小問1詳解】因為橢圓上的點到兩焦點的距離之和為，所以，解得.又因橢圓的離心率為，所以，所以.所以.故橢圓方程為.【小問2詳解】依題意，直線的斜率不能為0，故可設(shè)其方程為，再設(shè)，，則.聯(lián)立，整理得.令，即.則，.又，，所以.又，，則.分子所以，即，所以，又為公共點，所以三點共線.20.已知函數(shù)．曲線在點切線方程為．（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若，曲線在點處的切線分別與軸交于，求證：．【答案】（1）1（2）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（3）證明見解析【