第十七章勾股定理17.1勾股定理第1課時(shí)勾股定理林州市政北中學(xué)

劉永豐在Rt?ABC中,∠C=90°,∠A+∠B=90°思考：直角三角形的三邊之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢?學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷勾股定理的探究過程，了解關(guān)于勾股定理的一些文化歷史背景，會(huì)用面積法來證明勾股定理，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。2.探究和證明勾股定理。（重點(diǎn)、難點(diǎn)）

思考：相傳2500多年前，畢達(dá)哥拉斯(約前580—約前500,古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家．)有一次在朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面圖案中反映了三個(gè)正方形A，B，C的面積之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系．一、勾股定理的認(rèn)識(shí)及驗(yàn)證ABC我們也來觀察一下地面的圖案，你能發(fā)現(xiàn)三個(gè)正方形A，B，C的面積之間有什么數(shù)量關(guān)系嗎？探究一

問題1

三個(gè)正方形A，B，C的面積之間有什么數(shù)量關(guān)系？

以等腰三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積和，等于以斜邊為邊長的大正方形的面積.發(fā)現(xiàn)：由這三個(gè)正方形A，B，C的邊長構(gòu)成的等腰直角三角形三條邊長度之間有怎樣的特殊關(guān)系？即等腰直角三角形的三邊之間有一種特殊的關(guān)系：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.ABC探究一問題2

在網(wǎng)格中一般的直角三角形，以它的三邊為邊長的三個(gè)正方形A、B、C

是否也有類似的面積關(guān)系？觀察下邊兩幅圖(每個(gè)小正方形的面積為單位1)：A的面積B的面積C的面積左圖右圖49169??探究二方法1：補(bǔ)形法(把以斜邊為邊長的正方形補(bǔ)成各邊都在網(wǎng)格線上的正方形）：左圖：右圖：探究二方法2：分割法(把以斜邊為邊長的正方形分割成易求出面積的三角形和四邊形）：左圖：右圖：你還有其他辦法求C的面積嗎？探究二根據(jù)前面求出的C的面積直接填出下表：

SA+SB=SCA的面積B的面積C的面積左圖右圖413259169思考：分析表中數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？可以發(fā)現(xiàn)，以__________________為邊長的小正方形的面積的和，等于以_______為邊長的正方形的面積.即直角三角形_______________________________．直角三角形兩直角邊斜邊兩直角邊的平方和等于斜邊的平方不在網(wǎng)格中一般的直角三角形，以它的三邊為邊長的三個(gè)正方形A、B、C

是否也有類似的面積關(guān)系？觀察右邊圖形，你能利用剛才我們學(xué)習(xí)的方法來計(jì)算嗎？探究三補(bǔ)還能用什么方法？探究三割命題1如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b，斜邊長為c,那么_____________由上面的幾個(gè)例子，我們猜想：abc下面的動(dòng)圖形象的說明了命題1的正確性，讓我們跟著以前的數(shù)學(xué)家們用拼圖法來證明這一猜想.a2+b2=c2.

abbcabca

讓我們跟著我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽拼圖,再用所拼的圖形證明命題吧.趙爽弦圖證明法：探究四abc∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，趙爽弦圖b-a證明：

“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.因此，這個(gè)圖案被選為2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽.探究四你能根據(jù)我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽的拼圖,證明命題嗎？

如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.勾股定理：abc歸納總結(jié)為什么命名為勾股定理呢？我國是最早了解勾股定理的國家之一．早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個(gè)直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”，它被記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．在我國勾股定理也叫做“商高定理”．

在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”.我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”．勾股定理和人類文明古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯，在公元前5世紀(jì)給出了這個(gè)定理的證明，所以在國外這個(gè)定理也稱為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳他證出這個(gè)定理后非常高興，殺了一百頭牛進(jìn)行慶祝，于是也有人把它稱為“百牛定理”.勾股定理和人類文明初中數(shù)學(xué)abbababababccccabccba a傳說中畢達(dá)哥拉斯的證法21

4

1

abS

c222

b2

4

1

abS

a2

a2

b2

c2

S1

S2探究四

勾股定理的證明aabbcc∴a2+b2=c2.如圖，圖中的三個(gè)三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.（提示：3個(gè)三角形的面積之和=梯形的面積）美國第20任總統(tǒng)加菲爾德的證法探究四試一試勾股定理的證明方法勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法.用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是：①圖形經(jīng)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變；②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理.分清斜邊和直角邊．因?yàn)樵赗t△ABC中，a，b，c是三邊，所以可以用勾股定理解決問題．例1

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c.(1)已知a＝b＝8，求c；

(2)已知c＝4，b＝2，求a；導(dǎo)引：二、利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算CAB(1)若

a∶b=1∶2，c=5，求

a；(2)若

b=15，∠A=30°，求

a，c.【變式題1】在Rt△ABC中，∠C=90°.解：(1)設(shè)

a=x，b=2xx2+(2x)2=52，CAB(2)因此設(shè)a=x,c=2x,根據(jù)勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152，解得acb【變式題2】

在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的長.解：本題斜邊不確定，需分類討論：當(dāng)AB為斜邊時(shí)，如圖，當(dāng)BC為斜邊時(shí)，如圖，43ACB43CAB圖圖歸納：當(dāng)直角三角形中所給的兩條邊沒有指明是斜邊或直角邊時(shí)，其中一較長邊可能是直角邊，也可能是斜邊，這種情況下一定要進(jìn)行分類討論，否則容易漏解.小結(jié)1.勾股定理2.特殊到一般的探究過程和研究方法3.證明勾股定理的一般思路拼圖的方法驗(yàn)證：①圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變；②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理.1.下列說法中,正確的是（）A.已知a,b,c是三角形的三邊，則a2+b2=c2B.在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2C當(dāng)堂練習(xí)2.

若一個(gè)直角三角形的兩直角邊的長分別為a，b，斜邊長為c，則下列關(guān)于a，b，c的關(guān)系式中不正確的是(

)A．b2＝c2－a2B．a(chǎn)2＝c2－b2C．b2＝a2－c2

D．c2＝a2＋b2C3.

設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b，斜邊長為c.(1)已知a=6，c=10，則b=

.

(2)已知a=5，b=12，則c=

.

(3)已知c=17，b=15，則a=

.

81384.圖中陰影部分是一個(gè)正方形，則此正方形的面積為

.8cm10cm36cm25.求下列圖中未知數(shù)x、y的值：解：由勾股定理，得81+144=x2，

解得x=15.解：由勾股定理，得

y2+144=169，

解得

y=56.如圖，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周長．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°，∴∠B=∠BAD=45°，∴BD=AD=1，∴AB=

．在Rt△ADC中，∵∠C=30°，∴AC=2AD=2，∴CD=

，

∴BC=BD+CD=1+，∴△ABC的周長=AB+AC+BC=．7.

觀察如圖所示的圖形，回答問題：(1)如圖①，△DEF為直角三角形，正方形P的面積為9，正方形Q的面積為15，則正方形M的面積為________；

(2)如圖②，分別以直角三角形ABC的三邊長為直徑向三角形外作三個(gè)半圓，則這三個(gè)半圓形的面積之間的關(guān)系式是______；(用圖中字母表示)(3)如圖③，如果直角三角形兩直角邊的長分別為3和4，分別以直角三角形的三邊長為直徑作半圓，請(qǐng)你利用(2)中得出的結(jié)論求陰影部分的面積．24S1＋S2＝S3(1)24

(2)S1＋S2＝S3(3)設(shè)兩個(gè)小半圓形的面積分別為S1，S2，大半圓形

的面積為S3，三角形的面積為S△，則S陰影＝S1＋S2＋S△－S3＝S△＝×3×4＝6.解：本例考查了勾股定理及正方形的面積公式，半圓形面積的求法，解答此類