第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年上海市寶山區(qū)羅店中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，每小題3分，共12分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知a、b是單位向量，以下命題正確的是(

)A.a?b=1 B.a?b=|a|?|b|2.在△ABC中，sinA=sinB是△ABC為等腰三角形的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知點(diǎn)P(tanα,cosα)在第二象限，則π?α是第(????)象限的角．A.一 B.二 C.三 D.四4.已知函數(shù)f(x)的部分圖像如圖所示，則f(x)的解析式可能是(

)

A.f(x)=sin(tanx) B.f(x)=tan(sinx)

C.二、填空題：本題共12小題，每小題3分，共36分。5.若log2x=3，則實(shí)數(shù)x的值為______．6.函數(shù)y=2cos2x的最小正周期是______．7.指數(shù)函數(shù)y=(m?1)x在R上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．8.向量a=(2,λ),b=(1,3)，若a//b9.若點(diǎn)P(?2,1)是角α終邊上的一點(diǎn)，則sinα=______．10.在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，|DC|=2|BD|，設(shè)AB=a,AC=b，用a，11.若3sinα?cosαsinα+cosα=112.已知圓心角為π3的扇形面積等于3π，則該扇形的弧長為______．13.已知α，β∈(0,π2)，cosα=13，cos(α+β)=?14.函數(shù)y=sinx+cosx在區(qū)間[0,π]上的值域是______．15.已知向量a=(cosθ,sinθ)，b=(1,3)16.若存在實(shí)數(shù)a和正整數(shù)n，使得函數(shù)f(x)=cos2x?asinx在區(qū)間(0,nπ)內(nèi)恰有1000個(gè)零點(diǎn)，則所有滿足條件的正整數(shù)n的取值集合為______．三、解答題：本題共5小題，共52分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題9分)

已知全集U=R，集合A={x||x?2|≤1},B={x|x?3x+1<0}，求A∩B和18.(本小題10分)

已知向量a=(2,2),b=(2,?1),c=(4,1)．

(1)求b在c上的數(shù)量投影；

(2)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m，n的值；

(3)若向量d19.(本小題10分)

在銳角△ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2asinB=3b．

(1)求角A的大??；

(2)若△ABC面積為320.(本小題10分)

吳淞口燈塔AE采用世界先進(jìn)的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航遙測遙控系統(tǒng)，某校數(shù)學(xué)建模小組測量其高度H(單位：m)，如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度?=3m，使A，B，D在同一直線上，也在同一水平面上，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.(本題的距離精確到0.1m)

(1)該小組測得α、β的一組值為α=51.83°，β=47.33°，請據(jù)此計(jì)算H的值；

(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到燈塔的距離d(單位：m)，使α與β之差較大，可以提高測量精確度．若燈塔的實(shí)際高度為20.1m，試問d為多少時(shí)，α?β最大？21.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=asinx+bcosx+csinxcosx+1(a,b,c∈R)．

(1)當(dāng)a=b=0，c=1時(shí)，求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)當(dāng)a=1，c=0時(shí)，設(shè)g(x)=f(x)?1，且函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于直線x=π6對稱，將函數(shù)y=g(x)的圖像向右平移π6個(gè)單位，得到函數(shù)y=?(x)，求解不等式?(x)≥1；

(3)當(dāng)a=b=1，c=0時(shí)，若實(shí)數(shù)m，n，p使得mf(x)+nf(x?p)=1對任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m，n，p參考答案1.D

2.A

3.C

4.D

5.8

6.π

7.(2,+∞)

8.6

9.510.2311.1212.2π13.4+614.[?1,15.3

16.{1001,1000,999,500,667}

17.解：全集U=R，集合A={x||x?2|≤1},B={x|?x?3x+1<0}，

令|x?2|≤1，解得1≤x≤3，∴A=[1,3]，

令x?3x+1<0，解得?1<x<3，∴B=(?1,3)，18.(1)因?yàn)閎=(2,?1)，c=(4,1)，

所以b?c=2×4+(?1)×1=7，|c|=42+12=17，

所以b在c上的數(shù)量投影b?c|c|=71717；

(2)因?yàn)閍=(2,2),b=(2,?1),c=(4,1)，

所以a=(2,2)，mb+nc=(2m+4n,?m+n)，

又因?yàn)閍19.解：(1)由正弦定理得，2sinAsinB=3sinB，因?yàn)閟inB>0，

故sinA=32，又因?yàn)殇J角△ABC，∴A∈(0,π2)，∴A=π3．

(2)由題意得S=12bcsinA=12bc×20.解：(1)在Rt△ABE中，AB=Htanα，

在Rt△ADE中，AD=Htanβ，

在Rt△BDC中，BD=3tanβ，

則Htanβ?Htanα=3tanβ，

故H=3tanαtanα?tanβ≈3×1.272141.27214?1.08483≈20.4(m)；

(2)如圖，延長BC，由E向BC作垂線，垂足為F，

21.解：(1)當(dāng)a=b=0，c=1時(shí)，可得函數(shù)f(x)=sinxcosx+1=12sin2x+1，

令2kπ?π2≤2x≤2kπ+π2,k∈Z，所以單調(diào)增區(qū)間為[kπ?π4,kπ+π4],k∈Z；

(2)當(dāng)a=1，c=0時(shí)，可得g(x)=f(x)?1=sinx+bcosx=1+b2sin(x+θ)，其中tanθ=b，

因?yàn)間(x)關(guān)于直線x=π6對稱，

即|12+32b|=1+b2，解得b=3，

所以g(x)=sinx+3cosx=2sin(x+π3)，

將函數(shù)y=g(x)=2sin(2x+π3)的圖像向右平移π6個(gè)單位，得到函數(shù)?(x)=2sin(x+π6)，

由?(x)≥1，即sin(x+π6)≥12，則π6+2kπ≤x