1.1.2弧度制和弧度制與角度制的換算[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解角度制與弧度制的概念，能對(duì)弧度和角度進(jìn)行正確的轉(zhuǎn)換.2.體會(huì)引入弧度制的必要性，建立角的集合與實(shí)數(shù)集一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.3.掌握并能應(yīng)用弧度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式．[知識(shí)鏈接]1．初中幾何研究過角的度量，當(dāng)時(shí)是用度來做單位度量角的．那么1°的角是如何定義的？它的大小與它所在圓的大小是否有關(guān)？答規(guī)定周角的eq\f(1,360)做為1°的角；它的大小與它所在圓的大小無關(guān)．2．用度做單位來度量角的制度叫做角度制，在初中有了它就可以計(jì)算扇形弧長(zhǎng)和面積，其公式是什么？答l＝eq\f(nπR,180)，S＝eq\f(nπR2,360).[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．弧度制(1)弧度制的定義長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示，讀作弧度．以弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制．(2)任意角的弧度數(shù)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)；負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)；零角的弧度數(shù)是零．(3)角的弧度數(shù)的計(jì)算如果半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)弧的長(zhǎng)為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是|α|＝eq\f(l,r).2．角度制與弧度制的換算(1)角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°(2)一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系角度0°1°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0eq\f(π,180)eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)2π3.扇形的弧長(zhǎng)及面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則度量單位類別α為角度制α為弧度制扇形的弧長(zhǎng)l＝eq\f(απR,180)l＝α·R扇形的面積S＝eq\f(απR2,360)S＝eq\f(1,2)l·R＝eq\f(1,2)α·R2要點(diǎn)一角度制與弧度制的換算例1將下列角度與弧度進(jìn)行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)eq\f(7π,12)；(4)－eq\f(11π,5).解(1)20°＝eq\f(20π,180)＝eq\f(π,9).(2)－15°＝－eq\f(15,180)π＝－eq\f(π,12).(3)eq\f(7π,12)＝eq\f(7π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝105°.(4)－eq\f(11π,5)＝－eq\f(11π,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－396°.規(guī)律方法(1)進(jìn)行角度與弧度換算時(shí)，要抓住關(guān)系式πrad＝180°.(2)熟記特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)值．跟蹤演練1(1)把112°30′化成弧度；(2)把－eq\f(5π,12)化成度．解(1)112°30′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(225,2)))°＝eq\f(225,2)×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,8).(2)－eq\f(5π,12)＝－eq\f(5π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－75°.要點(diǎn)二用弧度制表示終邊相同的角例2把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第幾象限角：(1)－1500°；(2)eq\f(23π,6)；(3)－4.解(1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－5×360°＋300°.∴－1500°可化成－10π＋eq\f(5π,3)，是第四象限角．(2)∵eq\f(23π,6)＝2π＋eq\f(11π,6)，∴eq\f(23π,6)與eq\f(11π,6)終邊相同，是第四象限角．(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，eq\f(π,2)＜2π－4＜π.∴－4與2π－4終邊相同，是第二象限角．規(guī)律方法用弧度制表示終邊相同的角2kπ＋α(k∈Z)時(shí)，其中2kπ是π的偶數(shù)倍，而不是整數(shù)倍，還要注意角度制與弧度制不能混用．跟蹤演練2設(shè)α1＝－570°，α2＝750°，β1＝eq\f(3π,5)，β2＝－eq\f(π,3).(1)將α1，α2用弧度制表示出來，并指出它們各自的終邊所在的象限；(2)將β1，β2用角度制表示出來，并在－720°～0°范圍內(nèi)找出與它們終邊相同的所有角．解(1)∵180°＝πrad，∴α1＝－570°＝－eq\f(570π,180)＝－eq\f(19π,6)＝－2×2π＋eq\f(5π,6)，α2＝750°＝eq\f(750π,180)＝eq\f(25π,6)＝2×2π＋eq\f(π,6).∴α1的終邊在第二象限，α2的終邊在第一象限．(2)β1＝eq\f(3π,5)＝eq\f(3π,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝108°，設(shè)θ＝108°＋k·360°(k∈Z)，則由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k·360°<0°，得k＝－2，或k＝－1.故在－720°～0°范圍內(nèi)，與β1終邊相同的角是－612°和－252°.β2＝－eq\f(π,3)＝－60°，設(shè)γ＝－60°＋k·360°(k∈Z)，則由－720°≤－60°＋k·360°<0°，得k＝－1，或k＝0.故在－720°～0°范圍內(nèi)，與β2終邊相同的角是－420°.要點(diǎn)三扇形的弧長(zhǎng)及面積公式的應(yīng)用例3一個(gè)扇形的面積為1，周長(zhǎng)為4，求圓心角的弧度數(shù)．解設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，則2R＋l＝4，∴l(xiāng)＝4－2R，根據(jù)扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lR，得1＝eq\f(1,2)(4－2R)·R，∴R＝1，∴l(xiāng)＝2，∴α＝eq\f(l,R)＝eq\f(2,1)＝2，即扇形的圓心角為2rad.規(guī)律方法(1)聯(lián)系半徑、弧長(zhǎng)和圓心角的有兩個(gè)公式：一是S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中兩個(gè)，就可以求出另一個(gè)．(2)當(dāng)扇形周長(zhǎng)一定時(shí)，其面積有最大值，最大值的求法是把面積S轉(zhuǎn)化為半徑r的函數(shù)．跟蹤演練3若一扇形的圓心角為72°，半徑為20cm，則扇形的面積為()A．40πcm2B．80πcm2C．40cm2D．80cm2答案B解析∵72°＝eq\f(2π,5)，∴S扇形＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,5)×202＝80π(cm2).1．時(shí)針經(jīng)過一小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過了()A.eq\f(π,6)radB．－eq\f(π,6)radC.eq\f(π,12)radD．－eq\f(π,12)rad答案B解析時(shí)針經(jīng)過一小時(shí)，轉(zhuǎn)過－30°，又－30°＝－eq\f(π,6)rad，故選B.2．圓的半徑是6cm，則圓心角為15°的扇形面積是()A.eq\f(π,2)cm2B.eq\f(3π,2)cm2C．πcm2D．3πcm2答案B解析∵15°＝eq\f(π,12)，∴l(xiāng)＝eq\f(π,12)×6＝eq\f(π,2)(cm)，∴S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×eq\f(π,2)×6＝eq\f(3π,2)(cm2)．3．已知兩角的和是1弧度，兩角的差是1°，則這兩個(gè)角為________．答案eq\f(1,2)＋eq\f(π,360)，eq\f(1,2)－eq\f(π,360)解析設(shè)這兩個(gè)角為α，β弧度，不妨設(shè)α>β，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＋β＝1，,α－β＝\f(π,180)，))解得α＝eq\f(1,2)＋eq\f(π,360)，β＝eq\f(1,2)－eq\f(π,360).4．把－eq\f(11,4)π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是________．答案－eq\f(3,4)π解析－eq\f(11,4)π＝－2π＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)π))＝2×(－1)π＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)π)).∴θ＝－eq\f(3,4)π.1.角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：每一個(gè)角都