福州三中2020-2021學(xué)年第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．考試時間120分鐘，滿分150分．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.2.（）A. B. C. D.3.若函數(shù)的一個零點附近的函數(shù)值如下表：則用二分法可求得方程的一個近似解（精確度為0.04）為（）A.1.5 B.1.375 C.1.4375 D.1.254.設(shè)，，，則，，大小關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.5.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.6.盡管目前人類還無法準確預(yù)報地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解.例如，地震釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系為．據(jù)此推斷里氏8.0級地震所釋放的能量是里氏5.0級地震所釋放的能量的（）倍．A. B. C. D.7.已知，則等于（）A. B. C. D.8.已知關(guān)于的方程在有四個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.二、多選題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.10.將函數(shù)的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標保持不變，得到函數(shù)的圖象．若，則的值可能為（）A. B. C. D.11.設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.12.設(shè)函數(shù)，已知在有且僅有5個零點．下述四個結(jié)論中正確的是（）A.的取值范圍是B.當時，方程有且僅有3個解C.當時，方程有且僅有2個解D.，使得在單調(diào)遞增第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在答題卡上的相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)作答．13.已知某扇形的周長為9，圓心角為，則該扇形的面積是_____________．14.已知是定義在上的偶函數(shù)，且滿足，當，，則_____________．15.已知角的終邊經(jīng)過點，則_____________．16.已知函數(shù)，則_____________；若存在四個不同的實數(shù)，，，，使得，則的取值范圍是_____________．三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，在答題卡上相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)作答．17.（本小題滿分10分）（1）求值：；（2）已知，，求的值．18.（本小題滿分12分）已知，，，．（1）求的值；（2）求的值．19.（本小題滿分12分）水葫蘆原產(chǎn)于巴西，1901年作為觀賞植物引入中國．現(xiàn)在南方一些水域水葫蘆已泛濫成災(zāi)嚴重影響航道安全和水生動物生長．某科研團隊在某水域放入一定量水葫蘆進行研究，發(fā)現(xiàn)其蔓延速度越來越快，經(jīng)過2個月其覆蓋面積約為，經(jīng)過3個月其覆蓋面積約為．現(xiàn)水葫蘆覆蓋面積（單位：）與經(jīng)過時間（）個月的關(guān)系有兩個函數(shù)模型（，）與可供選擇．（參考數(shù)據(jù)：，）（1）試判斷哪個函數(shù)模型更合適，并求出該函數(shù)模型的解析式；（2）約經(jīng)過幾個月該水域中水葫蘆面積至少是當初投放的100倍？20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，求正數(shù)的最小值；21.（本小題滿分12分）函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求的解析式；（2）若，，求實數(shù)的取值范圍；（3）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在（）上恰有2021個零點若存在，求出和對應(yīng)的的值；若不存在，請說明理由．22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；（3）用表示，中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論零點的個數(shù)．福州三中2020-2021學(xué)年第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)試卷答案第Ⅰ卷一、選擇題1.【答案】A【解析】由題知，，從而得到．故選：A．2.【答案】C【解析】3.【答案】C【解答】，，且，所以方程的一個近似解可取1.4375，故選：C．4.【答案】B【解析】，，，則，故選B．5.【答案】A【解析】，則是偶函數(shù)，排除B，D；又因為恒成立，所以排除C，故選A．6.【答案】D【解析】設(shè)里氏8.0級和里氏5.0級地震所釋放的能量分別為和，則，，所以，則，即．故選：D．7.【答案】B【解析】，則，故選B．8.【答案】D【解析】當，，則，函數(shù)是偶函數(shù)，由偶函數(shù)的對稱性，只需研究當時，，設(shè)，則有一個根①當時，是開口向下，對稱軸為的二次函數(shù)，則，這與矛盾，舍去；②當時，是開口向上，對稱軸為的二次函數(shù)，因為，，則存在，只需，解得，所以．綜上，非零實數(shù)的取值范圍為．故選D．9.【答案】AC【詳解】，，單調(diào)遞增，所以；故選AC．10.【答案】BD【解析】，則，因為，則，分別是函數(shù)的最大，最小值，則，故選BD．11.【答案】ABD【解析】，，，則，，即，即；；由得，因為，則，所以，故選ABD12.【答案】ABD由于，，設(shè)，則，因為在有且僅有5個零點，所以，解得，A正確；即此時取最大值則滿足的是的解，共3個，B正確；，即此時取最小值，則滿足的顯然是的解，但當接近時，，也是的解，這時有3個解，C錯；當時，由，所以是遞增的，D正確．故選：ABD．二、填空題13.【答案】【解析】設(shè)半徑為，則弧長，周長，解得，所以面積為．14.【答案】2.5【解析】，則周期，所以．15.【答案】7【解析】又，，所以原式16.【答案】1，【解析】，，，畫出的圖象，如圖所示，，不妨設(shè)，，，由圖象的對稱性知，關(guān)于直線對稱，所以，且，，，故答案為：1，．三、解答題17.【解答】（1）原式（2）原式，因為，所以，則，所以，又因為，所以，則，所以原式．18.解答：（1）因為，，所以所以（2）因為，所以，所以，因為，所以，所以所以19.【解答】（1）（，）的增長速度越來越快，的增長速度越來越慢．依題意應(yīng)選函數(shù)（，）則有，解得，（2）設(shè)經(jīng)過個月該水域中水葫蘆面積至少是當初投放的100倍，則因為，所以．答：約經(jīng)過12個月該水域中水葫蘆面積至少是當初投放的100倍．20.【解答】（1），，由解得，則的單調(diào)遞減區(qū)間是（2），又的最小值為21.【解答】（1）由圖可得，，即，，，，，因為，．（2），，，令，則由題意得恒成立，解法一：（分離變量）即恒成立，因為，單調(diào)遞增，所以，所以，即的取值范圍是．解法二：（二次函數(shù)）令，，對稱軸是，①若，，則，解得，這與矛盾，舍去；②若，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則只需，解得綜上：，即的取值范圍是．（3）由題意可得的圖像與直線在上恰有2021個交點，且函數(shù)的周期是，設(shè)，①當或時，的圖像與直線在上無交點.②當或時，的圖像與直線在僅有一個交點，此時的圖像與直線在上恰有021個交點，則．③當或時，的圖像與直線在恰有2個交點，的圖像與直線在上有偶數(shù)個交點，不可能有2021個交點．④當時，的圖像與直線在恰有3個交點，此時，才能使的圖像與直線在上有2021個交點．綜上可得，當或時，；當時，．22.【解答】（1）函數(shù)，若該函數(shù)的定義域為，則對任意恒成立，因此，解得；（2）函數(shù)，若在上單調(diào)遞減，則問題等價于在上恒成立，且在上單調(diào)遞增，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．（3）解法1：當時，，所以當時，，所以在上沒有零點；當時，，若即時，，此時是函數(shù)的一個零點；若即時，，此時不是函數(shù)的一個零點；當時，因為，則函數(shù)的零點個數(shù)等價于函數(shù)的零點個數(shù)當，即時，，則，函數(shù)在上沒有零點；當即時，函數(shù)有且只有一個零點，若，由可得，則函數(shù)在上沒有零點；若，由可得，則函數(shù)在上有1個零點；當，即或時，函數(shù)有兩個零點，不妨設(shè)為且當時，，，所以，則在上沒有零點；當時，，，所以，當即時，，所以，則，所以此時在上有且只有一個零點；當，即時，對稱軸，且，所以，在上有兩個零點；綜上所述：當或時，有一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點；解法2：當時，，所以當時，，所以在上沒有零點；當時，，若即時，，此時是函數(shù)的一個零點；若即時，，此時不是函數(shù)的一個零點