第01講分類加法原理與分步乘法原理

（核心考點精講精練）

1.4年真題考點分布

4年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

2023年新I卷，第13題,5分分類加法計數(shù)原理實際問題中的組合計數(shù)問題

抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容

2023年新H卷，第3題,5分分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用量的計算

實際問題中的組合計數(shù)問題

2023年全國甲卷（理），

分類加法計數(shù)原理排列數(shù)的計算

第9題,5分

2023年全國乙卷（理），排列數(shù)的計算

分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用

第7題,5分實際問題中的組合計數(shù)問題

2020年全國乙卷（理），

分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用相鄰問題的排列問即

第14題,5分

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，分值為5分

【備考策略】L理解、掌握分類加法原理與分步乘法原理的定義

2.會分類加法原理與分步乘法原理在實際問題中的應(yīng)用及計算

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，一般會和排列組合結(jié)合在小題中考杳，需重點復(fù)習(xí)

知識講解

1.分類加法計數(shù)原理

做一件事，完成它有〃類辦法，在第一類辦法中有如種不同的方法，在第二類辦法中有叱種不同的方法……

在第〃類辦法中有種不同的方法.那么完成這件事共有N=〃〃+"〃+…種不同的方法.

2.分步乘法計數(shù)原理

做一件事，完成它需要分成八個步驟，做第一個步驟有如種不同的方法，做第二個步驟有初種不同的方

法……做第n個步驟有加”種不同的方法.那么完成這件事共有X〃”X…義秋”種不同的方法.

3.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別

分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；

分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事.

4.使用分類加法計數(shù)原理時兩個注意點

（1）根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏.

（2）分類時，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù).

5.利用分步乘法計數(shù)原理解題時三個注意點

（1）要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的.

（2）各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事.

（3）對完成每一步的不同方法數(shù)要根據(jù)條件準(zhǔn)確確定.

應(yīng)用兩個計數(shù)原理的難點在于明確分類和分步.分類要做到“不重不漏”，正確把握分類標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵；分步

要做到“步驟完整”，步步相連能將事件完成，較復(fù)雜的問題可借助圖表完成.

考點一、分類加法原理

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）現(xiàn)有5幅不同的油畫，2幅不同的國畫，7幅不同的水彩畫，從這些畫中選

一幅布置房間，則不同的選法共有（）

A.7種B.9種C.14種D.70種

【答案】C

【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理求解即可

【詳解】分為三類：

從國畫中選，有2種不同的選法;從油畫中選，有5種不同的選法;從水彩畫中選，有7種不同的選法，

根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有5+2+7=14（種）不同的選法；

故選：C

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在中華傳統(tǒng)文化里，建筑、器物、書法、詩歌、對聯(lián)、繪畫幾乎無不講究對

稱之美.如圖所示的是清代詩人黃柏權(quán)的《茶壺回文詩》，其以連環(huán)詩的形式展現(xiàn)，20個字繞著茶壺成一圓

環(huán)，無論順著讀還是逆著讀，皆成佳作.數(shù)學(xué)與生活也有許多奇妙的聯(lián)系，如2020年02月02F（20200202）

被稱為世界完全對稱口（公歷紀(jì)年口期中數(shù)字左右完全對稱的口期）.數(shù)學(xué)上把20200202這樣的對稱數(shù)叫回

文數(shù)，如11,242,5225都是回文數(shù)，則用0,1,2,3,4,5這些數(shù)字構(gòu)成的所有三位數(shù)的何文數(shù)中能被

3整除的個數(shù)是（）

A.8B.10C.11D.13

【答案】B

【分析】根據(jù)回文數(shù)的定義，結(jié)合被3整除的性質(zhì)進(jìn)行分類討論求解即可.

【詳解】當(dāng)三位數(shù)的三個數(shù)位上的數(shù)都相同時,有111,222,333,444,555,共有5個；

當(dāng)三位數(shù)的三個數(shù)位上的數(shù)有二個相同時,有141,252,303,414,525,共有5個,

所以滿足題意的回文數(shù)共有10個，

故選：B

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）將編號1,2,3,4的小球放入編號為1,2,3的盒子中，要求不允許有空

盒子，且球與盒子的號不能相同，則不同的放球方法有（）

A.16種B.12種C.9種D.6種

【答案】B

【分析】分六種情況討論，求解每一種類型的放球方法數(shù)，然后利用分類計數(shù)加法原理求解即可.

【詳解】由題意可知，這四個小球有兩個小球放在一個盒子中，當(dāng)四個小球分組為如下情況時，放球方法

有:

當(dāng)1與2號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法

當(dāng)1與3號球放在同一盒子中時。，有2種不同的放法

當(dāng)1與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法

當(dāng)2與3號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法

當(dāng)2與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法

當(dāng)3與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法

因此,不同的放球方法有12種,故選B.

點睛：本題主要考杳分類計數(shù)加法原理的應(yīng)用，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出陷

含條件.解題過程中要首先分清”是分類還是分步"，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復(fù)交又討論

又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.

4.（2023?浙江溫州?樂清市知臨中學(xué)?？级＃┮粋€圓的圓周上均勻分布6個點，在這些點與圓心共7個點

中，任取3個點，這3個點能構(gòu)成不同的等邊三角形個數(shù)為.

【答案】8

【分析】利用圓的對稱性，分兩種情況：相鄰兩個點和圓心、相間隔的三點，即可求出結(jié)果.

【詳解】如圖1,由圓上相鄰兩個點和圓心可構(gòu)成等邊三角形，共有6個；

如圖2,由圓上相間隔的三點可構(gòu)成等邊三角形，共有2個；

所以，7個點中，任取3個點，這3個點能構(gòu)成不同的等邊三角形個數(shù)為6+2=8個.

故答案為：8.

5.1全國?統(tǒng)考高考真題）如圖,將鋼琴上的12個鍵依次記為>，&，.?.，3設(shè)l</<J<k<12.若H=3且尸=4,

則稱由，aj,ak為原位大三和弦；若h/=4且尸=3,則稱出，3,ak為原位小三和弦.用這12個鍵可以構(gòu)

成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為（）

A.5B.8C.10D.15

【答案】C

【分析】根據(jù)原位大三和弦滿足"J=3JT=4,原位小三和弦滿足〃-/=4,./T=3

從i=l開始,利用列舉法即可解出.

【詳解】根據(jù)題意可知，原位大三和弦滿足：k-j=3J-i=4.

i=I,j=5,k=8；i=2,/=6,k=9；i=3,j=l,k=10：i=4,j==11；i=5,y=9,Zr=12.

原位小二和弦滿足：k-j=4J-i=3.

/./=1,j=4,k=8；i=2,j=5,k=9；i=3,j=6,k=10；/=4,y=7,Zr=l1；i=5,J=8,4=12.

故個數(shù)之和為10.

故選：C.

【點睛】本題主要考查列舉法的應(yīng)用，以及對新定義的理解和應(yīng)用，屬「基礎(chǔ)題.

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）有5本不同的中文書，4本不同的數(shù)學(xué)書，3本不同的英語書，每次取一本,

不同的取法有（）

A.3種B.12種C.60種D.不同于以上的答案

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用分類加法計數(shù)原理計算作答.

【詳解】依題意，計算不同取法種數(shù)有3類辦法：取一本中文書有5種方法，取一本數(shù)學(xué)書有4種方法，

取一本英語書有3種方法，

由分類加法計數(shù)原理得：每次取一本，不同的取法有5+4+3=12（種）.

故選:B

2.（2023全國兩三專題練習(xí)）如果把個位數(shù)是1,且恰有3個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)〃，那么在山1,

2,3,4四個數(shù)字組成的有重兔數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)〃共有個.

【答案】12

【分析】分析可得，共有三個1，三個2,三個3,三個4,4種情況，分別求得滿足題意“好數(shù)〃個數(shù)，根

據(jù)分類加法計數(shù)原理，即可得答案.

【詳解】當(dāng)組成的數(shù)字有三個1，三個2,三個3,三個4時共有4種情況.

當(dāng)有三個1時：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141,有9種，

當(dāng)有三個2,3,4時：2221,3331,4441,有3種，

根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共有12種結(jié)果.

故答案為：12

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知集合/={2,4,6,8,10},8={1,3,5,7,9},在A中任取一元素〃?，在5中任

取一元素〃，組成數(shù)對（〃”〃），則其中〃，〉〃的數(shù)對有多少個？

【答案】15

【分析】通過列舉法，求滿足條件的數(shù)對個數(shù).

【詳解】〃的數(shù)對可以分類來解：

當(dāng)陽=2時，n=1,有1種結(jié)果；

當(dāng)用=4時，〃=1,3,有2種結(jié)果;

當(dāng)切=6時，〃=1,3,5,有3種結(jié)果;

當(dāng)陽=8時，〃=1,3,5,7,有4種結(jié)果;

當(dāng)山=10時，〃=1,3,5,7,9,有5種結(jié)果.

粽上所述，共有1+2+2+4+5=15（個）滿足條件的數(shù)對.

4.（2023?安徽馬鞍山?統(tǒng)考三模）據(jù)史書的記載，最晚在春秋末年，人們已經(jīng)掌握了完備的十進(jìn)位制記數(shù)法,

普遍使用了算籌這種先進(jìn)的計算工具.算籌記數(shù)的表示方法為：個位用縱式，十位用橫式，百位再用縱式,

千位再用橫式，以此類推，遇零則置空.如下圖所示：

如：10記為一，26記為=T，71記為JLI.現(xiàn)有4根算籌，可表示出兩位數(shù)的個數(shù)為（）

A.8B.9C.10D.12

【答案】C

【分析】由題意，分別求出當(dāng)十位1根，個位3根；當(dāng)十位2根，個位2根；當(dāng)十位3根，個位1根；當(dāng)

十位4根，個位。根時兩位數(shù)的個數(shù)即可.

【詳解】由題意知，共有4根算籌.

當(dāng)十位1根，個位3根，共有2個兩位數(shù)；

當(dāng)十位2根，個位2根，共有4個兩位數(shù)；

當(dāng)十位3根，個位1根，共有2個兩位數(shù)；

當(dāng)十位4根，個位0根，共有2個兩位數(shù)，

所以一共有10個兩位數(shù).

故選：C.

5.（2023春?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學(xué)校考階段練習(xí)）在一個圓周上有8個點，用四條既無公共點

又無交點的弦連結(jié)它們，則連結(jié)方式有種.

【答案】14

【分析】根據(jù)加法分類計數(shù)原理求解即可.

【詳解】不妨設(shè)圓周上的點依次為4仇。,。,瓦￡G,〃，

要使得四條弦既無公共點乂無交點，如圖所不：

符合圖①的連結(jié)方式有2種；符合圖②的連結(jié)方式有4種；符合圖③的連結(jié)方式有8種；

共計2+4+8=14和L

故答案為：14.

考點二、分步乘法原理

1.（2023秋?黑龍江佳木斯?高三?？奸_學(xué)考試）甲、乙分別從4門不同課程中選修1門，且2人選修的課程不

同，則不同的選法有（）種.

A.6B.8C.12D.16

【答案】C

【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理直接求解即可.

【詳解】甲從4門課程中選擇1門，有4種選法；乙再從甲未選的課程中選擇1門，有3種選法；

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得：不同的選法有4x3=12種.

故選：C.

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）將4個不同的小球放入3個不同的盒子，其中有的盒子可能沒有放球，則總

的方法共有（）

A.81種B.64種C.36種D.18種

【答案】A

【詳解】對于四個小球放入三個盒子的可能與機(jī)會是均等的，故每個都可能放入三個盒子中的任意一個之

中，

由分步計數(shù)原理可得所有方法種數(shù)為：3x3x3x3=81,

故選:A.

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）某學(xué)校舉行校慶文藝晚會，已知節(jié)目單中共有七個節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場氣氛，

主辦方特地邀請了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個不同節(jié)目添入節(jié)目單，而不改變原來的節(jié)目順

序，則不同的安排方式有種.

【答案】720

【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求得正確答案.

【詳解】原來7個節(jié)目，形成8個空位，安排一位老校友；

8個節(jié)目，形成9個空位，安排一位老校友：

9個節(jié)目，形成10個空位，安排一位老校友.

所以不同的安排方式有8x9x10=720種.

故答案為：720

4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其

甲殼上心有此圖象如圖，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，

四角黑點為陰數(shù)（圖中白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)）.現(xiàn)利用陰數(shù)和陽數(shù)構(gòu)成?個四位數(shù)，規(guī)則如下：（從左往

右數(shù)）第一位數(shù)是陽數(shù)，第二位數(shù)是陰數(shù)，第二位數(shù)和第四位數(shù)一陰一陽和為7,則這樣的四位數(shù)有

個

【答案】120

【分析】結(jié)合分步乘法計算原理計算出正確結(jié)論.

【詳解】據(jù)題意，陽數(shù)為：1,3,5,7,9,陰數(shù)為：2,4,6,8,第一位數(shù)的選擇有5種，第二位數(shù)的選

擇有4種，第三位數(shù)和第四位數(shù)可以的組合有（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）共有6

種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，這樣的四位數(shù)共有5x4x6=120個.

故答案為：120

1.（2023秋?山東?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某商店共有A,B,C三個品牌的水杯，若甲、乙、丙每人買了一

個水杯，且甲買的不是A品牌，乙買的不是C品牌，則這三人買水杯的情況共有（）

A.3種B.7種C.12種D.24種

【答案】C

【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可求解.

【詳解】由分步乘法計數(shù)原理可得這三人買水杯的情況共有2x2x3=12（種）.

故選：c

2.（2023秋?黑龍江佳木斯?高三校考開學(xué)考試）在落實“綠水青山就是金山銀山〃的工作中，吉林省走在了全

國前列，工作落實到位，產(chǎn)生的效果也非常好，受到了群眾的一致認(rèn)可，同時也吸引了很多的旅游愛好者

前來.現(xiàn)南京有4個家庭準(zhǔn)備在2023年五一小長假期間選擇吉林、白山、四平三個城市中的?個城市旅游，

則這4個家庭共有多少種不同的安排方法（）

A.24種B.6種C.64種D.81種

【答案】D

【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求解.

【詳解】由題意可知，每一個家庭有3種選擇方式，

則4個家庭共計有3x3x3x3=81種選擇方式.

故選：D.

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡,

則4張賀年卡不同的分配方式有（）

A.6種B.9種C.11種D.23種

【答案】B

【分析】設(shè)四人分別為。也c,d,寫的卡片分別為片分從。開始分析，易得。有三種拿法，假設(shè)。拿了5,再

分析。的取法數(shù)目，剩余兩人只有1種取法，由分步計數(shù)原理，計算可得答案.

【詳解】設(shè)四人分別為寫的卡片分別為由「每個人都要拿別人寫的卡片，即不能拿自己寫

的W片，

故”有3種拿法，不妨設(shè)。拿了8,則可以拿剩下3張中的任一張也有3種拿法，。和d只能有一種拿法，

所以共有3x3xlxl=9種分配方式.

故選：B.

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）電腦調(diào)色板有紅、綠、藍(lán)三種基本顏色，每種顏色的色號均為。?255.在電腦

上繪畫可以分別從三種顏色的色號中各選一個配成一種顏色，那么在電腦上可配成的顏色種數(shù)為（）

A.2563B.27C.2553D.6

【答案】A

【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理易得答案.

【詳解】分3步取色，第一、第二、第三次都有256種取法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得，共可配成

256x256x256=2563種顏色.

故選：A.

考點三、兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用

1.（2023春?海南高三?？茧A段練習(xí)）如圖，要讓電路從4處到8處接通，不同的路徑條數(shù)為（）

A.5B.7C.8D.12

【答案】C

【分析】根據(jù)分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理計算可得答案.

【詳解】要讓電路從彳處到8處接通，不同的路徑條數(shù)為2xl+2x3=8.

故選：C.

2.（全國?高考真題）如圖，小明從街道的七處出發(fā)，先到尸處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓

參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為

A.24B.18C.12D.9

【答案】B

【詳解】解：從上到尸，每條東西向的街道被分成2段，每條南北向的街道被分成2段，

從E到產(chǎn)最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，

每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，故共有C/C22=6種走法.

同理從“到G,最短的走法，有C/C22=3種走法.

???小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為6X3=18種走法.

故選從

【考點】計數(shù)原理、組合

【名師點睛】分類加法計數(shù)原理在使用時易忽視每類中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是相互

獨立的；分步乘法計數(shù)原理在使用時易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事,

步步之間是相互關(guān)聯(lián)的.

3.（2022?江西鷹潭?統(tǒng)考一模）2021年12月，南昌最美地鐵4號線開通運營，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決

定乘坐地鐵去觀洲、人民公園、新洪城大市場三個地方游覽，每人只能去一個地方，人民公園一定要有人

去，則不同游覽方案的種數(shù)為.

【答案】65

【分析】利用間接法，利用分步計數(shù)原理求出沒有限制的方案數(shù)，排除沒人去人民公園的方案數(shù)，即得.

【詳解】由題可知沒有限制時，每人有3種選擇，則4人共有3,種，

若沒人去人民公園，則每人有2種選擇，則4人共有24種，

故人民公園一定要有人去的不同游覽方案有3,-24=81-16=65種.

故答案為：65.

4.（2023?江蘇揚州?儀征中學(xué)?？寄M預(yù)測）某人從上一層到二層需跨10級臺階，他一步可能跨1級臺階,

稱為一階步，也可能跨2級臺階，稱為二階步，最多能跨3級臺階，稱為三階步，從一層上到二層他總共

跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階，則他從一層到二層可能的不同走法共有（）種.

A.10B.9C.8D.12

【答案】A

【分析】利用計數(shù)原理直接計算即可.

【詳解】按題意要求，不難驗證這6步中不可能沒有三階步，也不可能有多于1個的三階步.

因此，只能是1個三階步，2個二階步，3個一階步.

為形象起見，以白、黑、紅三種顏色的球來記錄從一層到二層跨越10級臺階的過程：

白球表示一階步，黑球表示二階步，紅球表示三階步，

每一過程可表為3個白球、2個黑球、1個紅球的一種同色球不相鄰的排列.

下面分三種情形討論.

（1）第1、第6球均為白球，則兩黑球必分別位于中間白球的兩側(cè)，

此時，共有4個黑白球之間的空位放置紅球，所以此種情況共有4種可能的不同排列；

（2）第1球不是白球.

（i）第1球為紅球，則余下5球只有一種可能的排列；

（ii）若第1球為黑球，則余下5球因紅、黑球的位置不同有兩種不同的排列，

此種情形共有3種不同排列；

（3）第6球不是白球，同（2）,共有3種不同排列.

總之，按題意要求從一層到二層共有4+3+3=10種可能的不同過程.

故選：A

1.（2023?高三校考課時練習(xí)）如圖，一只螞蟻沿著長方體的棱，從頂點4爬到相對頂點G，求其中經(jīng)過3

條棱的路線共有多少條？

【答案】6條

【分析】由分類分步計數(shù)原理，口】可得出結(jié)果.

【詳解】經(jīng)過八8,有m=1*2=2條；經(jīng)過4D,有mz=lx2=2條；經(jīng)過A4,有小3=卜2=2條.根據(jù)分類加法計

數(shù)原理，從頂點八到頂點G經(jīng)過3條棱的路線共有N=2+2+2=6條.

2.（2023?全國?高二專題練習(xí)）為了豐富學(xué)生的課余生活，某學(xué)校開設(shè)了籃球、書法、美術(shù)、吉他、舞蹈、

擊劍共六門活動課程，甲、乙、丙3名同學(xué)從中各自任選一門活動課程參加，則這3名學(xué)生所選活動課程

不全相同的選法有種

【答案】210

【分析】根據(jù)題意先求出甲、乙、丙3名同學(xué)從中各自任選一門活動課程參加，共有多少種情況，減去所

選活動課程完全相同的選法種數(shù)，可得答案

【詳解】甲、乙、丙3名同學(xué)從中各自任選一門活動課程參加各有6種選法，共有63=216種選法，

其中甲、乙、丙3名同學(xué)所選活動課程完全相同的選法共6種，

則這3名學(xué)生所選活動課程不全相同的選法有216-6=210種，

故答案為：210

3.（2023春?江蘇?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）自然數(shù)〃是一個三位數(shù)，其十位與個位、百位的差的絕對值均不超

過1,我們就把〃叫做“集中數(shù)".那么，大于600的“集中數(shù)〃的個數(shù)是（）

A.30B.31C.32D.33

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件，一i列舉即可.

【詳解】當(dāng)百位為6時，十位可以為5,6,7,當(dāng)十位為5時，個位可以為4,5,6：

當(dāng)十位為6時，個位可以為5,6,7；當(dāng)十位為7時,個位可以為7,8,9；

共9個;

當(dāng)百位為7時，十位可以為6,7,8,當(dāng)十位為6時，個位可以為5,6,7：

當(dāng)十位為7時，個位可以為6,7,8：當(dāng)十位為8時,個位可以為7,8,9；

共9個；

當(dāng)百位為8時，十位可以為7,8,9,當(dāng)十位為7時，個位可以為6,7,8；

當(dāng)十位為8時，個位可以為7,8,9；當(dāng)十位為9時，個位可以為8,9；

共8個；

當(dāng)百位為9時，十位可以為8,9,當(dāng)十位為8時，個位可以為7,8,9；

當(dāng)十位為9時,個位可以為8,9；共5個:

綜上，總共9+9+8+5=31個，故A,C,D錯誤.

故選：B.

4.（2023?安徽合肥??？家荒＃┲貞c九宮格火鍋，是重慶火鍋獨熔的烹飪方式.九宮格卜面是相通的，實現(xiàn)

了“底同火不同，湯通油不通〃它把火鍋分為三個層次，不同的格子代表不同的溫度和不同的牛油濃度，其鍋

具抽象成數(shù)學(xué)形狀如圖（同一類格子形狀相同）：

“中間格”火力旺盛，不宜久煮，適合放一些質(zhì)地嫩脆、頃刻即熟的食物；

"十字格"火力稍弱，但火力均勻，適合煮食，長時間加熱以鎖住食材原香；

“四角格”屬文火，火力溫和，適合炯菜，讓食物軟糯入味.現(xiàn)有6種不同食物（足夠量），其中1種適合放

入中間格，3種適合放入十字格，2種適合放入四柏格.現(xiàn)將九宮格全部放入食物，且每格只放一種，若同

時可以吃到這六種食物（不考慮位置），則有多少種不同放法（）

A.108B.36C.9D.6

【答案】C

【分析】利用分步計數(shù)原理及分類計數(shù)原理即得.

【詳解】由題可知中間格只有一種放法：

十字格有四個位置，3種適合放入，所以有一種放兩個位置，共有3種放法；

四角格有四個位置，2種適合放入，可分為一種放三個位置.，另一種放一個位置.，有兩種放法，或每種都放

兩個位置，有一種放法，故四角格共有3種放法；

所以不同放法共有Ix3x3=9種.

故選：C.

考點四、涂色問題

1.[2023?全國?高三專題練習(xí)）用四種顏色給下圖的6個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色,

若四種顏色全用上，則共有多少種不同的涂法（）

A.72B.96C.108D.144

【答案】B

【詳解】設(shè)四種顏料為1,2,3,4,

①先涂區(qū)域氏有4中填涂方法，不妨設(shè)涂顏色1；

②再涂區(qū)域C,有3中填涂方法，不妨設(shè)涂顏色2；

③再涂區(qū)域E,有2中填涂方法，不妨設(shè)涂顏色3：

④若區(qū)域/填涂顏色2,則區(qū)域。、尸填涂顏色1,4,或4,3.

若區(qū)域力填涂顏色4,則區(qū)域。、尸填涂顏色1,3或4,3,共4中不同的填涂方法，

綜合①②③④，由分步計數(shù)原理可得，共有4x3x2x4=96種不同的填涂法.故選史

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）用紅、黃、藍(lán)、綠、橙五種不同顏色給如圖所示的5塊區(qū)域A、B、C、D、

￡涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，有公共邊的區(qū)域使用不同顏色，則共有涂色方法—.

【答案】960

【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理艮】可求出.

【詳解】因為區(qū)域。和各個區(qū)域都相鄰，所以首先給區(qū)域。染色有5種方法，區(qū)域C、E各有4種方法，區(qū)

域A、B一個4種，一個3種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知,共有涂色方法5x4x4x4x3=960.

故答案為：960.

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）學(xué)習(xí)涂色能鍛煉手眼協(xié)調(diào)能力，更能提高審美能力.現(xiàn)有四種不同的顏色：湖

藍(lán)色、米白色、橄欖綠、薄荷綠，欲給小房子中的四個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不涂同一顏色，目橄欖綠

與薄荷綠也不涂在相鄰的區(qū)域內(nèi)，則共有種不同的涂色方法.

【答案】66

【分析】運用分類計數(shù)原埋、分步計算原埋，結(jié)合組合定義進(jìn)彳丁求解即可.

【詳解】當(dāng)選擇兩種顏色時，因為欖綠與薄荷綠不涂在相鄰的區(qū)域內(nèi)，所以共有瑪-1=5種選法，因此不

同的涂色方法有5x2=10種，

當(dāng)選擇三種顏色且橄欖綠與薄荷綠都被選中，則杓2種方法選法，

因此不同的涂色方法有2x2x2=8種，

當(dāng)選擇三種顏色且橄欖綠與薄荷綠只有一個被選中，則有2種方法選法，

因此不同的涂色方法有2x3x2x（2+l）=36種,

當(dāng)選擇四種顏色時，不同的涂色方法有2x2x2+2x2=12種，

所以共有10+8+36+12=66種不不同的涂色方法，

故答案為：66

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）西部五省，有五種顏色供選擇涂色，要求每省涂一色，相鄰省不同色，有_

種涂色方法.

【答案】420

【分析】根據(jù)題意.分別分析5個省的涂色方法的數(shù)目,進(jìn)而由分步、分類計數(shù)原理.計算可得答案.

【詳解】對于新疆有5種涂色的方法，

對于青海有4種涂色方法，

對于西藏有3種涂色方法，

對于四川：若與新疆顏色相同，則有1種涂色方法，此時甘肅有3種涂色方法：

若四川與新疆顏色不相同，則四川只有2種涂色方法，此時甘肅有2種涂色方法；

根據(jù)分步、分類計數(shù)原理，則共有5X4X3義（2X2+1X3）=420種方法.

故答案為420.

【點睛】本題考查分類、分步計數(shù)原理，對于計數(shù)原理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分清要完成的事情分成幾部

分及如何分類，注意做到不重不漏.

1.：2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，現(xiàn)要對某公園的4個區(qū)域進(jìn)行綠化，有5種不同顏色的花卉可供選擇,

要求有公共邊的兩個區(qū)域不能川同一種顏色的花卉，共有種不同的綠化方案（用數(shù)字作答）.

【答案】180

【分析】利用分步乘法原理求解艮］可

【詳解】如圖：

從A開始擺放花卉，A有5種顏色花卉擺放方法，

8有4種顏色花卉擺放方法，C有3種顏色花卉擺放方法；

由。區(qū)與8,?；ɑ茴伾灰粯樱c力區(qū)花卉顏色可以同色也可以不同色，

則D有3種顏色花卉擺放方法.

故共有5x4x3x3=180種涂色方法.

故答案為：180

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給該地區(qū)的5個區(qū)域涂色，要求相鄰

區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的涂色方法共有種.

【答案】72

【分析】根據(jù)給定信息，利用川色多少分類，再結(jié)合分步乘法計數(shù)原理列式計算作答.

【詳解】觀察圖形知，2區(qū)與4區(qū)不相鄰，3區(qū)與5區(qū)不相鄰，且不相鄰的區(qū)域可用同1種顏色涂色，因此

計算涂色方法可用3色和4色，

使用3種顏色，則2區(qū)與4區(qū)同色，3區(qū)與5區(qū)必同色，涂2區(qū)與4區(qū)有4種方法，

涂3區(qū)與5區(qū)有3種方法，涂1區(qū)有2種方法，則涂色方法有4x3x2=24（種）；

使用4種顏色，選取同色的方案有2種，涂同色的兩塊有4種方法，涂另外3塊依次有3,2,1種方法，

則涂色方法有2x4x3x2x1=48（種），

所以不同的涂色方法共有48+24=72（種）.

故答案為：72

3.（2023?高三課時練習(xí)）如圖所示的五個區(qū)域中，現(xiàn)要求在五個區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇，要求

每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（用數(shù)字作答）.

【答案】72

【分析】利用分步乘法及分類加法計數(shù)原理即可求解.

【詳解】設(shè)這四個顏色分別為1,2,3,4,先給區(qū)域E涂色，有4種涂法；

假設(shè)區(qū)域E涂的是顏色1,再給區(qū)域A涂色，可以是顏色2,3,4,有3種涂法；

假設(shè)區(qū)域A涂的是顏色2,再給區(qū)域8涂色，可以是顏色3,4,有2種涂法；

假設(shè)區(qū)域〃涂的是顏色3,如果區(qū)域C涂的是顏色2,則區(qū)域。可以涂顏色3或顏色4,有2種涂法；

如果區(qū)域。涂的是顏色4,那么區(qū)域?？梢酝款伾?,有1種涂法.

所以不同的涂色方法種數(shù)為4X3X2X（2+1）=72（種）

故答案為：72.

4.（2023秋?江蘇常州?高三華羅庚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人

民一個重要的創(chuàng)造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字1,2,3,8,

現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘曲的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色小能相I可，對稱的兩

個區(qū)域（如區(qū)域1與區(qū)域5）所涂顏色相同.若有7種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（）

A.1050種B.1260種C.1302種D.1512種

【答案】C

【分析】由題意可得，只需確定區(qū)域1,2,3,4的顏色，先涂區(qū)域1,再涂區(qū)域2,再分區(qū)域,3與區(qū)域1涂的顏

色不同、區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同，最后根據(jù)分步乘法原理即可求解.

【詳解】由題意可得，只需確定區(qū)域L2,3,4的顏色，即可確定整個傘面的涂色.

先涂區(qū)域1,有7種選擇；再涂區(qū)域2,有6種選擇.

當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同時，區(qū)域3有5種選擇，剩下的區(qū)域4有5種選擇.

當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同時，剩下的區(qū)域4有6種選擇.

故不同的涂色方案有7x6x（5x5+6）=1302種.

故選：C

【基礎(chǔ)過關(guān)】

一、單選題

1.（2023?全國?高三對口高考?）三名同學(xué)分別從英語和日語中選修一門外語課程，選法有（）種.

A.C；B.A；C.23D.32

【答案】C

【分析】根據(jù)題意逐一安排每個同學(xué)，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理運算求解.

【詳解】因為每個同學(xué)均為2門外語課程可以選擇，

所以不同的選法有2x2x2=2?種.

故選：c.

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知收｛2,3,7｝,”｛-3,-4,8｝,則個可表示不同的值的個數(shù)為（）

A.8B.12

C.10D.9

【答案】D

【分析】第一步先從集合｛2,3,7｝中取一個值，得到對應(yīng)的情況數(shù)，第二步再從集合｛-3,-4,8｝中取一個值，

得到對應(yīng)的情況數(shù)，兩次的情況數(shù)相乘并分析結(jié)果，由此可知XJ可表示不同的值的個數(shù).

【詳解】因為從集合｛2,3,7｝中任取?個值共有3種情況，從集合卜3,-4,8｝中任取?個值共有3種情況，

故】J可表示3x3=9個不同的乘法計算，且經(jīng)檢驗計算結(jié)果均不相同，

所以xj可表示不同的值有9個.

故選：D.

3.（2023春?河南?高三階段練習(xí)）書桌上有3本不同的數(shù)學(xué)書和4本不同的語文書，從中任取數(shù)學(xué)書和語文

書各1本，則不同的取法有（）

A.6種B.7種C.12種D.21種

【答案】C

【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可求解.

【詳解】第一步：從數(shù)學(xué)書中任取1本，有3種不同的取法.

第二步：從語文書中任取1本，有4種不同的取法.

故從中任取數(shù)學(xué)書和語文書各1本，不同的取法有3x4=12種.

故選：C

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）一個電路中含有（1）（2）兩個零件，零件（1）含有48兩個元件，零件

（2）含有C,。，￡三個元件?，每個零件中有一個元件能正常工作則該零件就能正常工作，則該電路能正

常工作的線路條數(shù)為（）

A.9B.8C.6D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理因可求得

【詳解】由分步乘法“數(shù)原理易得，該電路能正常工作的線路條數(shù)為2x3=6條.

故選：C.

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申請在國慶期間到48c三個路口協(xié)助交警值

勤，他們申請值勤路口的意向如下表：

交通路口ABC

志愿者甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁

這4名志愿者的申請被批準(zhǔn)，且值勤安排也符合他們的意向，若要求48,C二個路口都要有志愿者值勤,

則不同的安排方法數(shù)有（）

A.14種B.11種C.8種D.5種

【答案】B

【分析】根據(jù)分類計數(shù)法進(jìn)行分類討論，然后進(jìn)行求和.

【詳解】解：由題意得:

以C路口為分類標(biāo)準(zhǔn)：。路口執(zhí)勤分得人口數(shù)情況有2種，兩個人或一個人

C路II執(zhí)勒分得人II數(shù)為2個，丙、「在。路II,那么甲、乙只能在48路口執(zhí)勤;

C路口執(zhí)勤分得人口數(shù)為1個，丙或丁在C路口，具體情況如下：

丙在。路口：

A（T）B（甲乙）C（丙）；

A（甲?。〣（乙）C（丙）；

A（乙?。?（甲）。（丙）；

丁在C路口：

A（甲乙）B（丙）C（丁）；

A（丙）B（甲乙）C（T）;

A（甲丙）B（乙）C（T）:

A（乙）B（甲丙）C（?。?/p>

A（乙丙）B（甲）C（T）:

A（甲）B（乙丙）C（T）;.

所以?共有2+3+6=11種選法

故選：B.

6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）回文聯(lián)是我國對聯(lián)中的一種，用回文形式寫成的對聯(lián)，既可順讀，也可倒讀,

不僅意思不變，而且頗具趣味，相傳，清代北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯(lián)：“客

上天然居，居然天上客；人過大佛寺，寺佛大過人.”在數(shù)學(xué)中也有這樣?類順讀與倒讀都是同一個數(shù)的自

然數(shù)，稱之為“回文數(shù)”.如44,585,2662等；那么用數(shù)字1,2,3,4,5,6可以組成3位“回文數(shù)〃的個

數(shù)為（）

A.30B.36C.360D.1296

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，第一步選擇第一位數(shù)，第二步選擇第二位數(shù)，結(jié)合分步計數(shù)原理，即可求解.

【詳解】由題意，第一步選擇第一位數(shù)，有6種方法，第二步選擇第二位數(shù)，有6種方法，

利用分步計數(shù)原理，共有6x6=36種.

故選:B.

7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，某市由四個縣區(qū)組成，現(xiàn)在要給地圖上的四個區(qū)域染色，有紅、黃、藍(lán)、

綠四種顏色可供選擇，并要求相鄰區(qū)域顏色不同，則不同的染法種數(shù)有（）

A.64B.48C.24D.12

【答案】B

【分析】利用分步乘法計數(shù)原理即可求解.

【詳解】先染④有4種染法，①有3種染法，

③有2種染法，②有2種染法，

所以不同的染法種數(shù)有4x3x2x2=48.

故選：B

二、填空題

8.：2023秋?山東煙臺?高三山東省煙臺第一中學(xué)?？计谀┈F(xiàn)有5種不同顏色要對如圖所示的四個部分進(jìn)行

著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法種數(shù)為.

【答案】180

【分析】根據(jù)題設(shè)，先從力區(qū)塊著色，判斷各部分的著色方案數(shù)，即可求不同的著色方法種數(shù).

【詳解】按《、B、C、。順序著色，

片區(qū)塊有5種著色方案，

4區(qū)塊有4種著色方案，

C區(qū)塊有3種著色方案，

。區(qū)塊有3種著色方案，

故不同的著色方法種數(shù)為5x4x3x3=180,

故答案為：180.

三、雙空題

9.（2023?全國?高三對口高考）用1,5,9,13任意一個數(shù)做分子，4,8,12,16中任意一個數(shù)作分母，可

構(gòu)造個不同的分?jǐn)?shù)，可構(gòu)造個不同的真分?jǐn)?shù).

【答案】1610

【分析】由分子、分母的選擇個數(shù)及分步乘法計數(shù)原理可得分?jǐn)?shù)的個數(shù)；按照分子取值分類，結(jié)合分類加

法計數(shù)原理即可得真分?jǐn)?shù)得個數(shù).

【詳解】從1，5,9,13中的任選一個數(shù)作分子，4,8,12,16中任選一個數(shù)作分母，

可構(gòu)成4x4=16個不同的分?jǐn)?shù)：

由真分?jǐn)?shù)的定義，

①若1為分子，分母有4種選擇；

②若5為分子，分母有3種選擇；

③若9為分子，分母有2種選擇；

④若13為分子，分母有1種選擇；

所以真分?jǐn)?shù)共有4+3+2+1=10個.

故答案為：16；10.

四、解答題

10.（2023秋?黑龍江佳木斯?高三?？奸_學(xué)考試）書架的第一層放有6本不同的語文書，第2層放有5本不

同的數(shù)學(xué)書，第3層放行4本不同的外語書.

⑴從書架中任取1本書，共有多少種不同的取法？

⑵從書架中的第1，2,3層各取1本書，共有多少種不同的取法？

【答案】⑴15

（2）120

【分析】（1）利用分類相加計數(shù)原理即可得解；

（2）利用分步相乘計數(shù)原理即可得解..

【詳解】（1）從書架上任取1本書，有三類方案：

第1類，從第1層取1本語文書，有6種方法；

第2類，從笫2層取1本數(shù)學(xué)書，有5種方法；

第3類，從第3層取1本外語書，有4種方法.

根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)為6+5+4=15.

（2）從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，可以分三步完成：

第1步，從第1層取1本語文書，有6種方法：

第2步，從第2層取1本數(shù)學(xué)書，有5種方法；

第3步，從第3層取1本外語書，有4種方法.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)為6x5x4=120.

【能力提升】

一、單選題

L（2023?全國?高三專題練習(xí)）為慶祝廣益中學(xué)建校130周年，高二年級派出甲、乙、丙、丁、戊5名老師參加

“130周年辦學(xué)成果展”活動，活動結(jié)束后5名老師排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人

必須相鄰，則排法共有（）種.

A.40B.24C.20D.12

【答案】B

【分析】根據(jù)相鄰問題用捆綁法和不相鄰問題用插空法即可求解.

【詳解】由題意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，

先令丙、「兩人相鄰用捆綁法A；,再把丙、「與戊排列在一起A；,最后插空令甲、乙兩人不相鄰A；,則不

同的排法共有A^xA>A；=2x2x6=24種.

故選：B.

2.（2023秋?浙江?高三浙江省春暉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某市抽調(diào)5位老師分赴3所山區(qū)學(xué)校支教，要求每

位老師只能去一所學(xué)校，每所學(xué)校至少安排一位老師.由于工作需要，甲、乙兩位老師必須安排在不同的

學(xué)校，則不同的分派方法的種數(shù)是（）

A.124B.246C.114D.108

【答案】c

【分析】利用分布乘法計數(shù)原理，根據(jù)排列及間接法計算.

【詳解】設(shè)學(xué)校為先把日乙兩人安排到不同學(xué)校，有A；=6種，

不妨設(shè)甲在4乙在B,只需剩余3人至少有1人去C即可，

利用間接法計算，有3,-展=19種不同安排方法，

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有6x19=114種不同安排方法.

故選:C

3.12023?全國?高三對口高考）運輸公司從5名男司機(jī)，4名女司機(jī)中選派出3名男司機(jī)，2名女司機(jī)，到A,

B,C,D,E這五個不同地區(qū)執(zhí)行任務(wù)，要求A地只能派男司機(jī)，E地只能派女司機(jī)，則不同的方案種

數(shù)是（）

A.360B.720C.1080D.2160

【答案】D

【分析】