第十二節(jié)解析幾何中的創(chuàng)新性問(wèn)題高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)重點(diǎn)解讀

圓錐曲線背景下的新曲線、新運(yùn)算問(wèn)題，關(guān)鍵在于理解新知識(shí)的本

質(zhì)，并將其與常規(guī)圓錐曲線知識(shí)相結(jié)合.方法總結(jié)如下：（1）明確新曲線的特征，理解新運(yùn)算的算理、符號(hào)及其含義；（2）聯(lián)系常規(guī)知識(shí)：將新定義與圓錐曲線的第一、第二定義或標(biāo)準(zhǔn)方程

等常規(guī)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，找出它們的相似之處或轉(zhuǎn)換關(guān)系；（3）建立數(shù)學(xué)模型：根據(jù)新的題意，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型或方程，利用

解析幾何或代數(shù)方法進(jìn)行求解；（4）驗(yàn)證與推理：在求解過(guò)程中，注意驗(yàn)證每一步推理的正確性，確保

最終答案符合題目要求.目錄CONTENTS考點(diǎn)·分類突破01.課時(shí)·跟蹤檢測(cè)02.PART01考點(diǎn)·分類突破精選考點(diǎn)|課堂演練

定義新曲線（師生共研過(guò)關(guān)）

（1）〔多選〕已知線段｜AB｜＝2，其端點(diǎn)A，B分別在x軸和y軸

上滑動(dòng)，OP⊥AB，垂足為P，點(diǎn)P的軌跡為如圖所示的四葉玫瑰線，則

下列結(jié)論正確的是（

ABC

）ABCA.

（S△OAB）max＝1B.

｜OP｜max＝1C.

四葉玫瑰線圍成的面積小于πD.

（S△OAP）max＝

ACA.

C的方程為（x2＋y2）2＝4xyB.

若OP的斜率為1，則｜OP｜＝2

C.

xy的最大值為1D.

＋

的最小值為2

解題技法

解決該類問(wèn)題的關(guān)鍵是研透新曲線軌跡形成的過(guò)程及動(dòng)點(diǎn)的幾何特

征，將其轉(zhuǎn)化為熟知的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，然后再應(yīng)用已學(xué)過(guò)的知識(shí)求解.

〔多選〕在平面直角坐標(biāo)系xOy中，到定點(diǎn)F1（－a，0），F(xiàn)2（a，0）

距離之積等于a2（a＞0）的點(diǎn)的軌跡是雙紐線C.

若雙紐線C對(duì)應(yīng)的a＝

2，點(diǎn)P（x0，y0）為雙紐線C上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A.

C不關(guān)于x軸對(duì)稱B.

C關(guān)于y軸對(duì)稱C.

直線y＝x與C只有一個(gè)交點(diǎn)D.

C上存在點(diǎn)P，使得｜PF1｜＝｜PF2｜√√√

定義新運(yùn)算（師生共研過(guò)關(guān)）

（2024·菏澤模擬預(yù)測(cè)）行列式是代數(shù)學(xué)中線性代數(shù)的重要分支，是

一個(gè)方陣所對(duì)應(yīng)的一個(gè)標(biāo)量值.行列式具有簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、優(yōu)美的特點(diǎn)，可

以用來(lái)求直線方程，求三角形的面積，解線性方程組等.利用行列式進(jìn)行

求解，則可以簡(jiǎn)化運(yùn)算步驟，提高做題速度.其中二階行列式定義

為：

＝a11a22－a12a21；三階行列式定義為：

＝a11×

－a12×

＋

a13×

，例如：

＝1×5－2×3＝－1.在平面直角坐標(biāo)

系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），C

（x3，y3），則△ABC的面積公式可表示為：S△ABC＝

.（1）已知O（0，0），M（－3，－2），N（1，－6），求△OMN的

面積；

（2）已知點(diǎn)A（－2，0），B（0，2），若點(diǎn)C是圓x2－2x＋y2＝0上的

動(dòng)點(diǎn)，求△ABC面積的最小值；解：

x2－2x＋y2＝0?（x－1）2＋y2＝1，設(shè)C（1＋cos

θ，sin

θ），則S△ABC＝

＝

解題技法

根據(jù)新定義的運(yùn)算規(guī)則及算理轉(zhuǎn)化為熟知的運(yùn)算求解.其關(guān)鍵是理解

新運(yùn)算的運(yùn)算特征及各量的幾何意義.

（2025·烏魯木齊二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，重新定義兩點(diǎn)A（x1，

y1），B（x2，y2）之間的“類距離”為｜AB｜＝｜x2－x1｜＋｜y2－

y1｜，我們把到兩定點(diǎn)F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0）（c＞0）的“類距

離”之和為常數(shù)2a（a＞c）的點(diǎn)的軌跡叫“類橢圓”.（1）求“類橢圓”的方程；解：設(shè)“類橢圓”上任意一點(diǎn)為P（x，y），則｜PF1｜＋｜PF2｜

＝2a，即｜x＋c｜＋｜y｜＋｜x－c｜＋｜y｜＝2a，即｜x＋c｜＋｜x－c｜

＋2｜y｜＝2a（a＞c＞0），所以“類橢圓”的方程為｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜y｜＝2a（a＞c＞0）.（2）根據(jù)“類橢圓”的方程，研究“類橢圓”的范圍、對(duì)稱性，并說(shuō)明

理由.

將點(diǎn)（x，－y）代入得，｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜

－y｜＝2a，即｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜y｜＝2a，方程不變，所

以“類橢圓”關(guān)于x軸對(duì)稱，將點(diǎn)（－x，－y）代入得，｜－x＋c｜＋｜－x－c｜＋2｜－y｜＝2a，即｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜y｜＝2a，方程不變，所以“類橢圓”關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以“類橢圓”關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對(duì)稱.PART02課時(shí)·跟蹤檢測(cè)關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

1.

〔多選〕（2024·新高考Ⅰ卷11題）設(shè)計(jì)一條美麗的絲帶，其造型

可以看

作圖中的曲線C的一部分.已知C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且C上的點(diǎn)滿足：橫坐標(biāo)

大于－2；到點(diǎn)F（2，0）的距離與到定直線x＝a（a＜0）的距離之積為

4.則（

）A.

a＝－2B.

點(diǎn)（2

，0）在C上C.

C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1D.

當(dāng)點(diǎn)（x0，y0）在C上時(shí)，y0≤

√√√12345678910111213141516171819202022232425

2.

〔多選〕如圖，曲線C：x3＋y3－3axy＝0（a＞0）過(guò)原點(diǎn)，其漸近線方程為l：x＋y＋a＝0，則（

）A.

C關(guān)于直線y＝x對(duì)稱B.

點(diǎn)（a，a）位于曲線C圍成的封閉區(qū)域（陰影部分）外C.

若（x0，y0）在C上，則－a＜x0＋y0≤3aD.

曲線C在第一象限內(nèi)的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸距離之積的最大

值為

√√√

3.

〔多選〕數(shù)學(xué)中有很多寓意美好的曲線，例如由方程x2＋y2＝1＋｜x｜

y表示的“心”形線C（如圖）便是其中之一，則下列說(shuō)法中正確的是

（

）A.

“心”形線C上恰有6個(gè)整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)）B.

“心”形線C上任一點(diǎn)P到O的距離｜OP｜≤

C.

“心”形線C所圍成的區(qū)域面積小于3D.

“心”形線C的周長(zhǎng)大于π√√√

4.

〔多選〕雙紐線是卡西尼卵形線的一類分支，在數(shù)學(xué)曲線領(lǐng)域占有至關(guān)

重要的地位，同時(shí)也具有藝術(shù)美.它既是形成其他一些常見(jiàn)的漂亮圖案的

基石，也是許多藝術(shù)作品中的主要幾何元素.雙紐線的圖形輪廓像阿拉伯

數(shù)字中的“8”，如圖，曲線C：（x2＋y2）2＝9（x2－y2）是雙紐線，下

列說(shuō)法正確的是（

）A.

曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.

曲線C經(jīng)過(guò)7個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）C.

曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過(guò)3D.

若直線y＝kx與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值

范圍為（－∞，－1]∪[1，＋∞）√√√

（1）求E的方程；

6.

直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如k'（x－2）－（y－

1）＝0表示過(guò)點(diǎn)（2，1）且斜率存在的直線族，y＝x＋t'表示斜率為1的直

線族.直線族的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某

點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.（1）若直線族mx＋ny＋1＝0（m，n∈R）的包絡(luò)曲線是圓O：x2＋y2＝

16，求m，n滿足的關(guān)系式；

（2）若點(diǎn)M（x0，y0）不在直線族Φ：2λx－8y－λ2＝0（λ∈R）的任

意一條直線上，對(duì)于給定的實(shí)數(shù)x0，求y0的取值范圍和直線族Φ的包絡(luò)曲

線E.

7.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于直線l：ax＋by＋c＝0和點(diǎn)P1（x1，

y1），P2（x2，y2），記η＝（ax1＋by1＋c）（ax2＋by2＋c），若η＜0，

則稱點(diǎn)P1，P2被直線l分隔，若曲線C與直線l沒(méi)有公共點(diǎn)，且曲線C上存

在點(diǎn)P1，P2被直線l分隔，則稱直線l為曲線C的一條分隔線.（1）求證：點(diǎn)A（1，2），B（－1，0）被直線x＋y－1＝0分隔；解：