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體問(wèn)題，能在自然語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的基礎(chǔ)上，用符號(hào)語(yǔ)言刻畫集

合；在具體情境中，了解全集與空集的含義.2.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集.3.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，能求兩個(gè)集合的并集與交集；

理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，能求給定子集的補(bǔ)集；

能使用Venn圖表達(dá)集合的基本關(guān)系與基本運(yùn)算，體會(huì)圖形對(duì)理解抽

象概念的作用.目錄CONTENTS123知識(shí)體系構(gòu)建課時(shí)跟蹤檢測(cè)考點(diǎn)分類突破PART1知識(shí)體系構(gòu)建必備知識(shí)系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實(shí)課前自修

A.

a

∈

P

B.

{

a

}∈

P

C.{

a

}?

P

D.

a

?

P

2.（2023·全國(guó)乙卷2題）設(shè)全集

U

＝{0，1，2，4，6，8}，集合

M

＝

{0，4，6}，

N

＝{0，1，6}，則

M

∪?

UN

＝（

）A.{0，2，4，6，8}B.

{0，1，4，6，8}C.{1，2，4，6，8}D.

U

解析：

因?yàn)?/p>

U

＝{0，1，2，4，6，8}，

M

＝{0，4，6}，

N

＝

{0，1，6}，所以?

UN

＝{2，4，8}，所以

M

∪?

UN

＝{0，2，4，6，

8}.故選A.3.集合

A

＝{

x

｜2≤

x

＜4}，

B

＝{

x

｜3

x

－7≥8－2

x

}，則

A

∩

B

＝

?.解析：易知

B

＝{

x

｜

x

≥3}，故

A

∩

B

＝{

x

｜3≤

x

＜4}.4.（2024·東北師大附中模擬）已知集合

A

＝{

x

｜0＜

x

＜

a

}，

B

＝

{

x

｜1＜

x

＜2}，若

B

?

A

，則實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是

?.解析：由圖可知

a

≥2.{

x

｜3≤

x

＜4}

[2，＋∞）

1.若有限集

A

中有

n

個(gè)元素，則

A

的子集有2

n

個(gè)，真子集有2

n

－1個(gè).2.

A

?

B

?

A

∩

B

＝

A

?

A

∪

B

＝

B

??

UA

??

UB

.

1.已知集合

A

＝{

x

｜－1＜

x

＜5}，

B

＝{

x

∈Z｜1＜

x

＜8}，則

A

∩

B

的子集個(gè)數(shù)為（

）A.4B.6

C

.

8D.9解析：

因?yàn)?/p>

A

＝{

x

｜－1＜

x

＜5}，

B

＝{

x

∈Z｜1＜

x

＜

8}，所以

A

∩

B

＝{2，3，4}，由結(jié)論1得

A

∩

B

的子集個(gè)數(shù)為

23＝8，故選C.2.已知集合

A

＝{

x

｜3

x

2－2

x

－5＜0}，

B

＝{

x

｜

x

＞

a

}，若

A

∪

B

＝

B

，則實(shí)數(shù)

a

的取值范圍為（

）A.

B.

C.（－∞，－1]D.

（－∞，－1）

PART2考點(diǎn)分類突破精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通課堂演練

集合的基本概念1.集合

A

＝{

a

，

b

，

c

}中的三個(gè)元素分別表示某一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)

度，那么這個(gè)三角形一定不是（

）A.等腰三角形B.

銳角三角形C.直角三角形D.

鈍角三角形解析：

根據(jù)集合中元素的互異性得

a

≠

b

≠

c

，故三角形一定不

是等腰三角形.故選A.2.（2024·凱里一中模擬）已知集合

S

＝{

y

｜

y

＝

x

2－1}，

T

＝{（

x

，

y

）｜

x

＋

y

＝0}，下列關(guān)系正確的是（

）A.－2∈

S

B.

（2，－2）?

T

C.－1?

S

D.

（－1，1）∈

T

解析：

因?yàn)?/p>

S

＝{

y

｜

y

＝

x

2－1}＝{

y

｜

y

≥－1}，所以A、C錯(cuò)

誤；因?yàn)?＋（－2）＝0，所以（2，－2）∈

T

，所以B錯(cuò)誤；又－

1＋1＝0，所以（－1，1）∈

T

，所以D正確，故選D.3.設(shè)集合

A

＝{

x

｜（

x

－

a

）2＜1}，且2∈

A

，3?

A

，則實(shí)數(shù)

a

的取值

范圍為

?.

（1，2]

2

解決與集合含義有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵有三點(diǎn)：一是確定集合的類型

是點(diǎn)集、數(shù)集，還是其它類型的集合；二是確定元素的一般特征；

三是根據(jù)元素的限制條件（滿足的條件）構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問(wèn)題.提醒

集合中元素的互異性容易忽略，求解問(wèn)題時(shí)要特別注意.練后悟通集合間的基本關(guān)系【例1】

（1）已知集合

A

＝{

x

∈N｜

x

2－

x

－6＜0}，以下可為

A

的

子集的是（

）A.{

x

｜－2＜

x

＜3}B.

{

x

｜0＜

x

＜3}C.{0，1，2}D.

{－1，1，2}解析：A

＝{

x

∈N｜

x

2－

x

－6＜0}＝{

x

∈N｜－2＜

x

＜3}

＝{0，1，2}，∵{0，1，2}?{0，1，2}.故選C.（2）（2023·新高考Ⅱ卷2題）設(shè)集合

A

＝{0，－

a

}，

B

＝{1，

a

－2，

2

a

－2}，若

A

?

B

，則

a

＝（

）A.2B.1C.

D.

－1解析：由題意，得0∈

B

.

又

B

＝{1，

a

－2，2

a

－2}，所以

a

－2＝0或2

a

－2＝0.當(dāng)

a

－2＝0時(shí)，

a

＝2，此時(shí)

A

＝{0，－2}，

B

＝{1，

0，2}，不滿足

A

?

B

，舍去.當(dāng)2

a

－2＝0時(shí)，

a

＝1，此時(shí)

A

＝

{0，－1}，

B

＝{1，－1，0}，滿足

A

?

B

.

綜上所述，

a

＝1.故

選B.解題技法1.判斷集合間關(guān)系的常用方法（1）化簡(jiǎn)集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表達(dá)式比

較復(fù)雜，往往需化簡(jiǎn)表達(dá)式，再尋求兩個(gè)集合的關(guān)系；（2）數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖直觀判斷.2.由集合間的關(guān)系求參數(shù)的解題策略已知集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或

區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系.合理利用數(shù)軸、

Venn圖幫助分析并對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.確定參數(shù)所滿足的條件時(shí)，一定

要把端點(diǎn)值代入進(jìn)行驗(yàn)證，否則易增解或漏解.提醒

當(dāng)

B

為

A

的子集時(shí)，易漏掉

B

＝?的情況.

1.設(shè)全集

U

＝R，則集合

M

＝{0，1，2}和

N

＝{

x

｜

x

（

x

－2）log2

x

＝0}的關(guān)系可表示為（

）解析：

因?yàn)?/p>

N

＝{

x

｜

x

（

x

－2）log2

x

＝0}＝{1，2}，

M

＝{0，

1，2}，所以

N

是

M

的真子集.故選A.2.若集合

A

＝{1，2}，

B

＝{

x

｜

x

2＋

mx

＋1＝0，

x

∈R}，且

B

?

A

，

則實(shí)數(shù)

m

的取值范圍為

?.

[－2，2）

集合的基本運(yùn)算考向1

集合的運(yùn)算【例2】

（1）（2023·新高考Ⅰ卷1題）已知集合

M

＝{－2，－1，0，

1，2}，

N

＝{

x

｜

x

2－

x

－6≥0}，則

M

∩

N

＝（

）A.{－2，－1，0，1}B.

{0，1，2}C.{－2}D.

{2}解析：由

x

2－

x

－6＝（

x

－3）（

x

＋2）≥0，得

x

≥3或

x

≤－2.又因?yàn)?/p>

M

＝{－2，－1，0，1，2}，所以

M

∩

N

＝{－2}.故選C.（2）（2023·全國(guó)甲卷1題）設(shè)全集

U

＝Z，集合

M

＝{

x

｜

x

＝3

k

＋

1，

k

∈Z}，

N

＝{

x

｜

x

＝3

k

＋2，

k

∈Z}，則?

U

（

M

∪

N

）＝

（

）A.{

x

｜

x

＝3

k

，

k

∈Z}B.

{

x

｜

x

＝3

k

－1，

k

∈Z}C.{

x

｜

x

＝3

k

－2，

k

∈Z}D.?解析：法一（列舉法）

M

＝{…，－2，1，4，7，10，…}，

N

＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以

M

∪

N

＝{…，－2，－1，

1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以?

U

（

M

∪

N

）＝{…，

－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍數(shù)，即?

U

（

M

∪

N

）

＝{

x

｜

x

＝3

k

，

k

∈Z}，故選A.法二（描述法）

集合

M

∪

N

表示被3除余1或2的整數(shù)集，則它在整數(shù)集中的補(bǔ)集是恰好被3整除的整數(shù)集，故選A.（3）設(shè)

I

是全集，非空集合

P

，

Q

滿足

P

?

Q

?

I

，若含有

P

，

Q

的一

個(gè)集合運(yùn)算表達(dá)式，使運(yùn)算結(jié)果為空集，則這個(gè)運(yùn)算表達(dá)式可

以是

?.P

∩（?

IQ

）＝?（答案不唯一）

答案：（3）由

P

?

Q

?

I

，可得Venn圖如圖所示，從而有

P

∩（?

IQ

）＝?.解題技法集合運(yùn)算的基本類型（1）具體集合的運(yùn)算：具體集合（給出或可以求出集合中元素的具

體值（范圍））的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，其解法是化簡(jiǎn)集合，利用

列舉法或借助數(shù)軸、Venn圖等求解；（2）抽象集合的運(yùn)算：沒(méi)有給出具體元素的集合間關(guān)系的判斷和運(yùn)

算，解決此類問(wèn)題的途徑有二：一是利用特殊值法將抽象集合

具體化；二是利用Venn圖化抽象為直觀.考向2

利用集合的運(yùn)算求參數(shù)【例3】

（1）設(shè)集合

A

＝{

x

｜

x

2－4≤0}，

B

＝{

x

｜2

x

＋

a

≤0}，

且

A

∩

B

＝{

x

｜－2≤

x

≤1}，則

a

＝（

）A.－4B.

－2

C

.

2D.4

（2）已知集合

A

＝{

x

∈Z｜

x

2－4

x

－5＜0}，

B

＝{

x

｜4

x

＞2

m

}，若

A

∩

B

中有三個(gè)元素，則實(shí)數(shù)

m

的取值范圍是（

）A.[3，6）B.

[1，2）C.[2，4）D.

（2，4]

解題技法利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的方法（1）若已知集合的運(yùn)算結(jié)果（實(shí)質(zhì)是集合間的關(guān)系）求參數(shù)的值

（范圍），一般先確定不同集合間的關(guān)系，即元素之間的關(guān)

系，再列方程或不等式求解.在求解過(guò)程中要注意空集的討論，

避免漏解；（2）運(yùn)算過(guò)程中要注意集合間的特殊關(guān)系的使用，靈活使用這些關(guān)

系，會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)化.考向3

集合的新定義問(wèn)題【例4】

（1）給定數(shù)集

M

，若對(duì)于任意

a

，

b

∈

M

，有

a

＋

b

∈

M

，

且

a

－

b

∈

M

，則稱集合

M

為閉集合，則下列說(shuō)法中正確的是

（

）A.集合

M

＝{－4，－2，0，2，4}為閉集合B.正整數(shù)集是閉集合C.集合

M

＝{

n

｜

n

＝3

k

，

k

∈Z}為閉集合D.若集合

A

1，

A

2為閉集合，則

A

1∪

A

2為閉集合解析：選項(xiàng)A：當(dāng)集合

M

＝{－4，－2，0，2，4}時(shí)，2，

4∈

M

，而2＋4＝6?

M

，所以集合

M

不為閉集合，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：設(shè)

a

，

b

是任意的兩個(gè)正整數(shù)，則

a

＋

b

∈

M

，當(dāng)

a

＜

b

時(shí)，

a

－

b

是負(fù)數(shù)，不屬于正整數(shù)集，所以正整數(shù)集不為閉集

合，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：當(dāng)

M

＝{

n

｜

n

＝3

k

，

k

∈Z}時(shí)，設(shè)

a

＝3

k

1，

b

＝3

k

2，

k

1，

k

2∈Z，則

a

＋

b

＝3（

k

1＋

k

2）∈

M

，

a

－

b

＝3（

k

1－

k

2）∈

M

，所以集合

M

是閉集合，C選項(xiàng)正確；

選項(xiàng)D：設(shè)

A

1＝{

n

｜

n

＝3

k

，

k

∈Z}，

A

2＝{

n

｜

n

＝2

k

，

k

∈Z}，由C可知，集合

A

1，

A

2為閉集合，2，3∈（

A

1∪

A

2），

而（2＋3）?（

A

1∪

A

2），故

A

1∪

A

2不為閉集合，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

1

解題技法解決以集合為背景的新定義問(wèn)題的關(guān)鍵（1）緊扣新定義：首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問(wèn)題

的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過(guò)程中，這是破解新

定義集合問(wèn)題的關(guān)鍵所在；（2）用好集合的性質(zhì)：解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性

質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì).

A.{0，1，2}B.

{－2，－1，0}C.{0，1}D.

{1，2}

2.（2024·樂(lè)山一模）已知集合

A

＝{

x

｜

x

2－

x

－6≤0}，

B

＝{

x

｜－

4≤

x

≤

a

}，且

A

∪

B

＝{

x

｜－4≤

x

≤3}，則實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是

（

）A.（－4，－2]B.

（－3，－2]C.[－3，3]D.

[－2，3]解析：

因?yàn)?/p>

A

＝{

x

｜

x

2－

x

－6≤0}＝{

x

｜－2≤

x

≤3}，

B

＝

{

x

｜－4≤

x

≤

a

}，且

A

∪

B

＝{

x

｜－4≤

x

≤3}，所以－2≤

a

≤3.

故選D.3.對(duì)于任意兩集合

A

，

B

，定義

A

－

B

＝{

x

｜

x

∈

A

且

x

?

B

}，A*B＝

（

A

－

B

）∪（

B

－

A

），記

A

＝{

x

｜

x

≥0}，

B

＝{

x

｜－3≤

x

≤3}，則A*B＝

?.解析：∵

A

＝{

x

｜

x

≥0}，

B

＝{

x

｜－3≤

x

≤3}，∴

A

－

B

＝{

x

｜

x

＞3}，

B

－

A

＝{

x

｜－3≤

x

＜0}.∴A*B＝{

x

｜－3≤

x

＜0或

x

＞

3}.{

x

｜－3≤

x

＜0或

x

＞3}

PART3課時(shí)跟蹤檢測(cè)關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)1.（2024·金溪一中模擬）已知集合

A

＝{－1，0，1}，

B

＝{－1，

1}，

C

＝{

x

｜

x

＝

ab

，

a

∈

A

且

b

∈

B

}，則集合

C

的真子集個(gè)數(shù)是

（

）A.3B.4C.7D.8解析：

由題意得

C

＝{－1，0，1}，所以集合

C

的真子集個(gè)數(shù)為

23－1＝7，故選C.1234567891011121314152.（2022·全國(guó)乙卷1題）設(shè)全集

U

＝{1，2，3，4，5}，集合

M

滿足?

UM

＝{1，3}，則（

）A.2∈

M

B.3∈

M

C.4?

M

D.5?

M

解析：

由題意知

M

＝{2，4，5}，故選A.123456789101112131415

A.

A

＝

B

B.

A

?

B

C.

A

?

B

D.

A

∩

B

＝?

1234567891011121314154.（2024·石家莊模擬）設(shè)集合

A

＝{

x

｜－1＜

x

＜1}，

B

＝{

x

｜

x

2－2

x

≤0}，則

A

∪

B

＝（

）A.（－1，2]B.

（－1，2）C.[0，1）D.

（0，1]解析：

由題，

B

＝{

x

｜0≤

x

≤2}，則

A

∪

B

＝{

x

｜－1＜

x

≤2}，故選A.123456789101112131415

A.{

x

｜0≤

x

＜2}B.

C.{

x

｜3≤

x

＜16}D.

123456789101112131415

1234567891011121314156.（多選）若集合

M

＝{

x

｜－3＜

x

＜1}，

N

＝{

x

｜

x

≤3}，則集合

{

x

｜

x

≤－3或

x

≥1}＝（

）A.

M

∩

N

B.

?R

M

C.?R（

M

∩

N

）D.

?R（

M

∪

N

）解析：

因?yàn)榧?/p>

M

＝{

x

｜－3＜

x

＜1}，

N

＝{

x

｜

x

≤3}，所

以

M

∩

N

＝{

x

｜－3＜

x

＜1}，

M

∪

N

＝{

x

｜

x

≤3}，?R

M

＝{

x

｜

x

≤－3或

x

≥1}，所以?R（

M

∩

N

）＝{

x

｜

x

≤－3或

x

≥1}，?R（

M

∪

N

）＝{

x

｜

x

＞3}.故選B、C.123456789101112131415

解析：

A

＝{

x

｜1≤

x

≤3}，

B

＝{

x

｜

x

≥1}，故若

A

?

C

?

B

，則可

有

C

＝[1，4].[1，4]（答案不唯一）

1234567891011121314158.設(shè)全集

S

＝{1，2，3，4}，且

A

＝{

x

∈

S

｜

x

2－5

x

＋

m

＝0}，若?

SA

＝{2，3}，則

m

＝

?.解析：因?yàn)?/p>

S

＝{1，2，3，4}，?

SA

＝{2，3}，所以

A

＝{1，4}，即

1，4是方程

x

2－5

x

＋

m

＝0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得

m

＝

1×4＝4.4

123456789101112131415

A.｜

b

｜≥3

B.0＜

b

＜

C.－3≤

b

≤3

D.

b

＞3

或

b

＜－3123456789101112131415

12345678910111213141510.設(shè)全集

U

＝R，集合

A

＝{

x

｜－1＜

x

＜2}，

B

＝{

x

｜

x

＞1}，則圖

中陰影部分表示的集合為（

）A.{

x

｜

x

≥1}B.

{

x

｜

x

≤1}C.{

x

｜－1＜

x

≤1}D.

{

x

｜－1≤

x

＜2}解析：

∵全集

U

＝R，集合

A

＝{

x

｜－1＜

x

＜2}，

B

＝

{

x

｜

x

＞1}，∴?

UB

＝{

x

｜

x

≤1}，∴圖中陰影部分表示的集

合為

A

∩（?

UB

）＝{

x

｜－1＜

x

＜2}∩{

x

｜

x

≤1}＝{

x

｜－

1＜

x

≤1}.故選C.12345678910111213141511.已知集合

A

＝（1，3），集合

B

＝{

x

｜2

m

＜

x

＜1－

m

}.若

A

∩

B

＝?，則實(shí)數(shù)

m

的取值范圍是（

）A.

≤

m

＜

B.

m

≥0C.

m

≥

D.

＜

m

＜

123456789101112131415

12345678910111213141512.（多選）戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空的子集

M

與

N

，且滿足

M

∪

N

＝Q，

M

∩

N

＝?，

M

中每一個(gè)元素小于

N

中

的每一個(gè)元素，則稱（

M

，

N

）為戴德金分割.試判斷下列選項(xiàng)

中，可能成立的是（

）A.

M

＝{

x

｜

x

＜0}，

N

＝{

x

｜

x

＞0}是一個(gè)戴德金分割B.

M