專題11二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考點(diǎn)01二次函數(shù)的圖象

1．（2025·河南·中考真題）在二次函數(shù)yax2bx2中，x與y的幾組對(duì)應(yīng)值如下表所示．

x…201…

y…221…

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式．

(2)求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)的圖象．

(3)將二次函數(shù)的圖象向右平移n個(gè)單位長(zhǎng)度后，當(dāng)0x3時(shí)，若圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)最大值與最小值的差為5，

請(qǐng)直接寫出n的值．

【答案】(1)yx22x2

(2)1,3；見解析

(3)15或45

【分析】本題主要查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)：

（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；

（2）利用配方法把解析式變形為頂點(diǎn)式，即可求解；

（3）分兩種情況解答，即可求解．

【詳解】（1）解：把點(diǎn)2,2,1,1代入得：

ab21

，

4a2b22

a1

解得：，

b2

∴二次函數(shù)的解析式為yx22x2；

2

（2）解：yx22x2x13，

∴二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,3，對(duì)稱軸為直線x1，

∴點(diǎn)1,1關(guān)于直線x1的對(duì)稱點(diǎn)為3,1，

畫出函數(shù)圖象，如圖，

2

（3）解：根據(jù)題意得：平移后的拋物線解析式為yx1n3，

∴平移后的拋物線的對(duì)稱軸為直線xn1，

335

當(dāng)平移后拋物線的對(duì)稱軸在直線x左側(cè)時(shí)，此時(shí)最小值為3，n1，即n，

222

2

當(dāng)x3時(shí)，取得最大值，最大值為31n3n28n13，

∵圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)最大值與最小值的差為5，

∴n28n1335，

解得：n45或45（舍去）；

335

當(dāng)平移后拋物線對(duì)稱軸在直線x右側(cè)時(shí)，此時(shí)最小值為3，n1，即n，

222

2

當(dāng)x0時(shí)，取得最大值，最大值為1n3n22n2，

∵圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)最大值與最小值的差為5，

∴n22n235，

解得：n15或15（舍去），

綜上所述，n的值為15或45．

2．（2023·廣東·中考真題）如圖，拋物線yax2c經(jīng)過(guò)正方形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)B在y軸

上，則ac的值為（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

cc

【分析】連接AC，交y軸于點(diǎn)D，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知ACOB2AD2OD，然后可得點(diǎn)A,，

22

進(jìn)而代入求解即可．

【詳解】解：連接AC，交y軸于點(diǎn)D，如圖所示：

當(dāng)x0時(shí)，則yc，即OBc，

∵四邊形OABC是正方形，

∴ACOB2AD2ODc，ACOB，

cc

∴點(diǎn)A,，

22

cc2

∴ac，

24

解得：ac2，

故選B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

3．（2025·四川南充·中考真題）已知某函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)0x2時(shí)，yx22x；當(dāng)x2時(shí)，

y2x4．若直線yxb與這個(gè)函數(shù)圖象有且僅有四個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的范圍是（）

191

A．b0B．b

444

11

C．b0D．b或b0

44

【答案】A

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握函數(shù)圖象的繪制

和直線平移時(shí)與函數(shù)圖象交點(diǎn)情況的分析是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，求出x0時(shí)的函

數(shù)表達(dá)式，再畫出函數(shù)圖象，結(jié)合直線yxb的平移，分析直線與函數(shù)圖象有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)b的取值范圍．

【詳解】解：∵函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)0x2時(shí)，yx22x，

∴當(dāng)2x0時(shí)，yx22x；當(dāng)x2時(shí)，y2x4．

畫出函數(shù)圖象：

當(dāng)0x2時(shí)，yx22x(x1)21，這是一個(gè)開口向上，頂點(diǎn)為1,1，與x軸交點(diǎn)為0,0，2,0的

拋物線一部分．

當(dāng)x2時(shí)，y2x4，是一條k為2，過(guò)2,0的射線．

根據(jù)對(duì)稱性畫出x0時(shí)的函數(shù)圖象．

yx22x

聯(lián)立（2x0時(shí)），得x2xb0，

yxb

1

當(dāng)Δ14b0，即b時(shí)，直線與yx22x（2x0）相切．

4

當(dāng)直線過(guò)0,0時(shí)，b0．

1

結(jié)合圖象可知，當(dāng)b0時(shí)，直線yxb與這個(gè)函數(shù)圖象有且僅有四個(gè)不同交點(diǎn)．

4

故選：A．

c

4．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)yaxba0和yc0的圖象大致

x

如圖所示，則函數(shù)yax2bxca0的圖象大致為（）

A．B．C．

D．

【答案】D

【分析】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象，熟練掌握各函數(shù)的圖象特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．先

根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可得a0,b0，c0，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象特點(diǎn)即可得．

【詳解】解：∵一次函數(shù)yaxba0的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，

∴a0,b0，即a0,b0，

c

∵反比例函數(shù)yc0的圖象位于第二、四象限，

x

∴c0，即c0，

b

∴函數(shù)yax2bxca0的開口向下，與y軸的交點(diǎn)位于y軸的正半軸，對(duì)稱軸為直線x0，

2a

故選：D．

5．（2023·遼寧沈陽(yáng)·中考真題）二次函數(shù)y(x1)22圖象的頂點(diǎn)所在的象限是（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】B

【詳解】根據(jù)拋物線y(x1)22，可以寫出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而可以得到頂點(diǎn)在第幾象限．

解：y(x1)22，

頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,2，

頂點(diǎn)在第二象限．

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

k

6．（2023·安徽·中考真題）已知反比例函數(shù)yk0在第一象限內(nèi)的圖象與一次函數(shù)yxb的圖象如

x

圖所示，則函數(shù)yx2bxk1的圖象可能為（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【分析】設(shè)A1,k，則Bk,1，k1，將點(diǎn)Bk,1，代入yxb，得出kb1，代入二次函數(shù)，可得當(dāng)

b

x1時(shí)，y1，則yx2bxk1，得出對(duì)稱軸為直線x1，拋物線對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，且過(guò)定

2

點(diǎn)1,1，進(jìn)而即可求解．

【詳解】解：如圖所示，

設(shè)A1,k，則Bk,1，根據(jù)圖象可得k1，

將點(diǎn)Bk,1代入yxb，

∴1kb，

∴kb1，

∵k1，

∴b2，

∴yx2bxk1x2bxb11x2bxb2，

b

對(duì)稱軸為直線x1，

2

當(dāng)x1時(shí)，1bb21，

∴拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,1，

∴拋物線對(duì)稱軸在x1的右側(cè)，且過(guò)定點(diǎn)1,1，

當(dāng)x0時(shí)，yk1b20，

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，得出kb1是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)02二次函數(shù)的圖象與系數(shù)

1．（2025·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與x軸交于兩點(diǎn)(1,0)，

(x1,0)，且2x13．下列結(jié)論：①abc0；②2ac0；③4ab2c0；④若m和n是關(guān)于x的一元

二次方程a(x1)(xx1)c0(a0)的兩根，且mn，則m1，n2；⑤關(guān)于x的不等式

2c

axbxcxc(a0)的解集為0xx1．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

x1

A．2B．3C．4D．5

【答案】B

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，根據(jù)拋物線開口，對(duì)稱軸，以及與y軸的交點(diǎn)，確定a,b,c的符

號(hào)，即可判斷①，根據(jù)二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象過(guò)(1,0)，得出abc0，進(jìn)而判斷對(duì)稱軸

1b

1，得出ab2a，進(jìn)而判斷②和③，根據(jù)函數(shù)圖象判斷④，將一般式寫成交點(diǎn)式得出

22a

2

ba1x1，cax1化簡(jiǎn)不等式為xx1x0，求得解集，即可求解．

【詳解】解：∵拋物線開口向上，

∴a0，

∵對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，

b

∴x0，

2a

∴b0，

∵拋物線與y軸交于負(fù)半軸，

∴c0，

∴abc0，故①正確，

∵二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象過(guò)(1,0)，

∴abc0，

2

∵二次函數(shù)yaxbxc(a0)的圖象與x軸交于兩點(diǎn)(1,0)，(x1,0)，且2x13．

12131b

∴對(duì)稱軸x，即1，

2222a

∴ab2a，

∴abcaac2ac，2ab0

∴2ac0，故②正確；

∵bac，

∴4ab2c

4ab2ba

2ab0，

∴4ab2c0，故③錯(cuò)誤；

④如圖，

2

關(guān)于x的一元二次方程a(x1)(xx1)c0(a0)的兩個(gè)根，即函數(shù)yaxbxc(a0)與yc的交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)，

∵m12n，

∴若m和n是關(guān)于x的一元二次方程a(x1)(xx1)c0(a0)的兩根，且mn，則m1，n2；故④

正確；

2

⑤∵二次函數(shù)yaxbxc(a0)的圖象與x軸交于兩點(diǎn)(1,0)，(x1,0)，

2

∴yaxbxca(x1)(xx1)

2

axa1x1xax1，

∴ba1x1，cax1，

cax

1

∴baax1，a，

x1x1

c

∴ax2bxcxc可化為ax2bax0，

x1

2

即axax1x0，

∵a0，

2

∴xx1x0，

解得：x0或xx1，

c

2

∴關(guān)于x的不等式axbxcxc(a0)的解集為x0或xx1不是0xx1故⑤錯(cuò)誤

x1

故正確的有①②④，共3個(gè)，

故選：B

2．（2025·安徽·中考真題）已知二次函數(shù)yax2bxca0的圖象如圖所示，則（）

A．a(chǎn)bc0B．2ab0C．2bc0D．a(chǎn)bc<0

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)稱軸位置、與y軸交點(diǎn)及特殊點(diǎn)的函數(shù)值，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，

逐一分析選項(xiàng)．本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)中a（開口方向）、b（對(duì)稱

軸與a共同決定）、c（與y軸交點(diǎn)）的意義及特殊點(diǎn)函數(shù)值的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：二次函數(shù)yax2bxca0圖象中，開口向上，

a0．

b

對(duì)稱軸x0，又a0，

2a

b0，即b0．

拋物線與y軸交點(diǎn)在負(fù)半軸，

c0．

選項(xiàng)A：a0，b0，c0，

兩負(fù)一正相乘得正，

abc0，該選項(xiàng)錯(cuò)誤．

bb

選項(xiàng)B：對(duì)稱軸x，由圖象知對(duì)稱軸x1，即1，

2a2a

又a0，兩邊乘2a得b2a，2ab0，該選項(xiàng)錯(cuò)誤．

選項(xiàng)C：當(dāng)x1時(shí)，yabc0，即4a4b4c0；當(dāng)x2時(shí)，y4a2bc0，

4a2bc4a4b4c0

2bc0，該選項(xiàng)正確．

選項(xiàng)D：當(dāng)x1時(shí)，yabc，由圖象知x1對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y0，

abc0，該選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選C．

3．（2025·四川涼山·中考真題）二次函數(shù)yax2bxc的部分圖像如圖所示，其對(duì)稱軸為x2，且圖像

經(jīng)過(guò)點(diǎn)6,0，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A．bc0

B．4ab0

22

C．若ax1bx1ax2bx2且x1x2，則x1x24

2

D．若1,y1,3,y2兩點(diǎn)都在拋物線yaxbxc的圖像上，則y2y1

【答案】D

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，根據(jù)圖像判斷系數(shù)之間的關(guān)系，從圖像獲取信息，根據(jù)二次函

數(shù)的對(duì)稱性，增減性，逐一進(jìn)行判斷即可．

【詳解】解：由圖像可知，拋物線的開口向下，與y軸交于正半軸，

∴a0,c0，

b

∵對(duì)稱軸為直線x2，

2a

∴b4a0，

∴bc0，4ab0，故選項(xiàng)A，B正確，不符合題意；

22

∵ax1bx1ax2bx2且x1x2，

22

∴ax1bx1cax2bx2c，

∴xx1和xx2關(guān)于對(duì)稱軸x2對(duì)稱，

∴x1x24；故選項(xiàng)C正確；不符合題意；

∵拋物線的開口向下，

∴拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，

2

若1,y1,3,y2兩點(diǎn)都在拋物線yaxbxc的圖像上，

∵1232，

∴y1y2；故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意；

故選D．

4．（2024·黑龍江綏化·中考真題）二次函數(shù)yax2bxca0的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線x=1，

則下列結(jié)論中：

b

①0②am2bmab（m為任意實(shí)數(shù)）③3ac1

c

④若Mx1,y、Nx2,y是拋物線上不同的兩個(gè)點(diǎn)，則x1x23．其中正確的結(jié)論有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【答案】B

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)拋物線的開口方向，對(duì)稱軸可得a0，b2a0即可判

斷①，x1時(shí)，函數(shù)值最大，即可判斷②，根據(jù)x1時(shí)，y0，即可判斷③，根據(jù)對(duì)稱性可得x1x22

即可判段④，即可求解．

【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象開口向下

∴a0

∵對(duì)稱軸為直線x=1，

b

∴x1

2a

∴b2a0

∵拋物線與y軸交于正半軸，則c0

b

∴0，故①錯(cuò)誤，

c

∵拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線x=1,

∴當(dāng)x1時(shí)，y取得最大值，最大值為abc

∴am2bmcabc（m為任意實(shí)數(shù)）

即am2bmab，故②正確；

∵x1時(shí)，y0

即abc0

∵b2a

∴a2ac0

即3ac0

∴3ac1，故③正確；

∵M(jìn)x1,y、Nx2,y是拋物線上不同的兩個(gè)點(diǎn)，

∴M,N關(guān)于x1對(duì)稱，

xx

∴121即xx2故④不正確

212

正確的有②③

故選：B

5．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，二次函數(shù)yax2bxca0的圖象與x軸交于點(diǎn)A3,0，與y軸

交于點(diǎn)B，對(duì)稱軸為直線x1，下列四個(gè)結(jié)論：①bc0；②3a2c0；③ax2bxab；④若2c1，

84

則abc，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

33

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4

【答案】C

【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵，利用開口方向和對(duì)稱軸的位置即可

判斷①，利用對(duì)稱軸和特殊點(diǎn)的函數(shù)值即可判斷②，利用二次函數(shù)的最值即可判斷③，求出c3a，進(jìn)一

12

步得到a，又根據(jù)b2a得到abca2a3a4a，即可判斷④.

33

【詳解】解：①函數(shù)圖象開口方向向上，

a0；

對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，

a、b異號(hào)，

b0，

∵拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，

c0，

bc0，故①錯(cuò)誤；

②二次函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸交于點(diǎn)A3,0，與y軸交于點(diǎn)B，對(duì)稱軸為直線x1，

b

1，

2a

b2a，

x1時(shí)，y0，

abc0，

3ac0，

3a2c0，故②正確；

③對(duì)稱軸為直線x1，a0，

yabc最小值，

ax2bxcabc，

∴ax2bxab，

故③正確；

④2c1，

c

∴根據(jù)拋物線與相應(yīng)方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得xx133，

12a

c3a，

23a1，

12

a，

33

b2a，

abca2a3a4a，

84

abc，

33

故④正確；

綜上所述，正確的有②③④，

故選：C

6．（2024·西藏·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A3,0，B1,0，

則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

①abc0

②3b2c0

③對(duì)任意實(shí)數(shù)m，am2bmab均成立

1

④若點(diǎn)4,y1，,y2在拋物線上，則y1y2

2

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【答案】B

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子的符號(hào)，由圖象可得：拋物線

b

開口向上，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，交y軸于負(fù)半軸，即可得出a0，x0，c0，從而求出b0，

2a

31

即可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)得出二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x1，abc0①，

2

9a-3b+c=0②，計(jì)算即可判斷②；根據(jù)當(dāng)x1時(shí)，二次函數(shù)有最小值abc，即可判斷③；根據(jù)

1

-4-(-1)>-1-即可判斷④；熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．

2

【詳解】解：由圖象可得：拋物線開口向上，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，交y軸于負(fù)半軸，

b

∴a0，x0，c0，

2a

∴b0，

∴abc0，故①正確；

∵二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A3,0，B1,0，

31

∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x1，abc0①，9a-3b+c=0②，

2

由①②得：10a2b2c0，

b

∵x1，

2a

∴b2a，

∴5b-2b+2c=0，即3b2c0，故②錯(cuò)誤；

當(dāng)x1時(shí)，二次函數(shù)有最小值abc，

由圖象可得，對(duì)任意實(shí)數(shù)m，am2bmcabc，

∴對(duì)任意實(shí)數(shù)m，am2bmab均成立，故③正確；

1--->--1

∵點(diǎn)4,y1，,y2在拋物線上，且4(1)1，

22

∴y1y2，故④錯(cuò)誤；

綜上所述，正確的有①③，共2個(gè)，

故選：B．

7．（2024·湖北·中考真題）拋物線yax2bxc的頂點(diǎn)為1,2，拋物線與y軸的交點(diǎn)位于x軸上方．以

下結(jié)論正確的是（）

A．a(chǎn)<0B．c0C．a(chǎn)bc2D．b24ac0

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系．根據(jù)二次函數(shù)的解析式結(jié)合二次函

數(shù)的性質(zhì)，畫出草圖，逐一分析即可得出結(jié)論．

【詳解】解：根據(jù)題意畫出函數(shù)yax2bxc的圖像，如圖所示：

∵開口向上，與y軸的交點(diǎn)位于x軸上方，

∴a0，c0，

∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴b24ac0，

∵拋物線yax2bxc的頂點(diǎn)為1,2，

∴abc2，

觀察四個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)C符合題意，

故選：C．

考點(diǎn)03二次函數(shù)的圖象平移

1．（2025·上?！ぶ锌颊骖}）將函數(shù)y3x2的圖像向下平移2個(gè)單位后，得到的新函數(shù)的解析式為．

【答案】y3x22

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像的平移，平移法則是：左加右減，上加下減；據(jù)此法則即可求解．

【詳解】解：∵函數(shù)y3x2的圖像向下平移2個(gè)單位，

∴平移后的新函數(shù)的解析式為y3x22；

故答案為：y3x22．

2．（2024·江蘇南通·中考真題）將拋物線yx22x1向右平移3個(gè)單位后得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A．4,1B．4,2C．2,1D．2,2

【答案】D

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．根據(jù)平移規(guī)

律，上加下減，左加右減，可得頂點(diǎn)式解析式．

2

【詳解】解∶拋物線yx22x1x12向右平移3個(gè)單位后得到新拋物線為

22

yx132x22，

∴新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,2，

故選∶D．

3．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）對(duì)于二次函數(shù)yx22ax3（a是常數(shù)），下列結(jié)論：①將這個(gè)函數(shù)的圖

像向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；②當(dāng)a1時(shí)，這個(gè)函數(shù)的圖像在函數(shù)yx圖像的上方；

③若a1，則當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大；④這個(gè)函數(shù)的最小值不大于3．其中正確的是

（填寫序號(hào)）．

【答案】①②④

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函

數(shù)的最值，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平移的規(guī)

律頂點(diǎn)平移后的函數(shù)解析式即可判斷①；確定拋物線yx22x3與直線yx沒(méi)有交點(diǎn)，且開口向上即

可判斷②；利用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷③；求得頂點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷④．

【詳解】解：將二次函數(shù)yx22ax3(a是常數(shù)）的圖象向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)x22ax，

當(dāng)x0時(shí)，y0，

平移后的函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

故①正確；

當(dāng)a1時(shí)，則yx22x3，

令x22x3x，即x23x30，

3241330，

拋物線yx22x3與直線yx沒(méi)有交點(diǎn)，

拋物線開口向上，

當(dāng)a1時(shí)，這個(gè)函數(shù)的圖象在函數(shù)yx圖象的上方；

故②正確；

二次函數(shù)yx22ax3(a是常數(shù)），

開口向上，對(duì)稱軸為直線xa，

當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大，

故③錯(cuò)誤；

yx22ax3(xa)23a2，

頂點(diǎn)為(a,3a2)，

Q3a23，

故④正確．

故答案為：①②④．

4．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）將拋物線yax2bx3向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后，經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,4，則

6a3b7．

【答案】2

【分析】此題考查了二次函數(shù)的平移，根據(jù)平移規(guī)律得到函數(shù)解析式，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到2ab3，再

整體代入變形后代數(shù)式即可．

【詳解】解：拋物線yax2bx3向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)ax2bx35ax2bx2，

2

把點(diǎn)2,4代入得到，4a22b2，

得到2ab3，

∴6a3b732ab73372，

故答案為：2

2

5．（2023·西藏·中考真題）將拋物線yx15通過(guò)平移后，得到拋物線的解析式為yx22x3，則

平移的方向和距離是（）

A．向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度

B．向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度

C．向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度

D．向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度

【答案】D

【分析】先確定兩個(gè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)平移的規(guī)律確定拋物線平移的情況．

22

【詳解】解：拋物線yx15的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，5），拋物線yx22x3x12的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

1，2，

而點(diǎn)1，5向左平移2個(gè)，再向下平移3個(gè)單位可得到1，2，

2

所以拋物線yx15向左平移2個(gè)，再向下平移3個(gè)單位得到拋物線y=x2+2x+3．

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后

的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式；二是求出原拋物

線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式．

1

6．（2023·江蘇·中考真題）如圖，二次函數(shù)yx2bx4的圖像與x軸相交于點(diǎn)A(2,0)、B，其頂點(diǎn)是

2

C．

(1)b_______；

5

(2)D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，tanAOD；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線

2

經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)(k,0)作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍；

(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)Q，且其頂點(diǎn)P落在原拋物線上，連接

PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】(1)1；

(2)k3；

55

(3)3,或1,．

22

1

【分析】（1）把A(2,0)代入yx2bx4即可求解；

2

12

12mm4

（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥OA于點(diǎn)M，設(shè)Dm,mm4，由DM25，解得

2tanAOD

OMm2

5

D1,，進(jìn)而求得平移后得拋物線，

2

129

平移后得拋物線為yx3，根據(jù)二次函數(shù)得性質(zhì)即可得解；

22

12129

（3）先設(shè)出平移后頂點(diǎn)為Pp,pp4，根據(jù)原拋物線yx1，求得原拋物線的頂點(diǎn)

222

927

C1,，對(duì)稱軸為x=1，進(jìn)而得Q1,p2p，再根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程即可得解．

22

1

【詳解】（1）解：把A(2,0)代入yx2bx4得，

2

12

02b24，

2

解得b1，

故答案為1；

（2）解：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥OA于點(diǎn)M，

∵b1，

1

∴二次函數(shù)的解析式為yx2x4

2

12

設(shè)Dm,mm4，

2

5

∵D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，tanAOD，

2

1

m2m4

∴DM5，

tanAOD2

OMm2

解得m=1或m=8（舍去），

115

當(dāng)m=1時(shí)，m2m414，

222

5

∴D1,，

2

1129

∵yx2x4x1，

222

129

∴設(shè)將原拋物線向左平移后的拋物線為yxa，

22

51295129

把D1,代入yxa得1a，

222222

解得a=3或a=1（舍去），

129

∴平移后得拋物線為yx3

22

∵過(guò)點(diǎn)(k,0)作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，

129

在yx3的對(duì)稱軸x=3的左側(cè)，y隨x的增大而減小，此時(shí)原拋物線也是y隨x的增大而減小，

22

∴k3；

12912

（3）解：由yx1，設(shè)平移后的拋物線為yxpq，則頂點(diǎn)為Pp,q，

222

129

∵頂點(diǎn)為Pp,q在yx1上，

22

1291

∴qp1p2p4，

222

121212

∴平移后的拋物線為yxppp4，頂點(diǎn)為Pp,pp4，

222

129

∵原拋物線yx1，

22

9

∴原拋物線的頂點(diǎn)C1,，對(duì)稱軸為x=1，

2

∵平移后的拋物線與原拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)Q，

27

∴Q1,p2p，

2

∵點(diǎn)Q、C在直線x=1上，平移后的拋物線頂點(diǎn)P在原拋物線頂點(diǎn)C的上方，兩拋物線的交點(diǎn)Q在頂點(diǎn)P

的上方，

∴∠PCQ與∠CQP都是銳角，

∵△PCQ是直角三角形，

∴∠CPQ=90°，

∴QC2PC2PQ2，

222

279212921227

∴p2pp1pp4p1pp4p2p化簡(jiǎn)得

222222

2

p1p3p10，

∴p=1（舍去），或p=3或p=1，

115

當(dāng)p=3時(shí)，p2p43234，

222

125

當(dāng)p=1時(shí)，114，

22

55

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為3,或1,．

22

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析

式，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

3

7．（2023·上?！ぶ锌颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線yx6與x軸交于點(diǎn)A，y軸交于點(diǎn)B，

4

點(diǎn)C在線段AB上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線M：yax2bxc經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．

(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；

(2)求b，c的值；

(3)平移拋物線M至N，點(diǎn)C，B分別平移至點(diǎn)P，D，聯(lián)結(jié)CD，且CD∥x軸，如果點(diǎn)P在x軸上，且新

拋物線過(guò)點(diǎn)B，求拋物線N的函數(shù)解析式．

【答案】(1)A8,0，B0,6

3

(2)b，c6

2

3232

(3)yx42或yx42

1616

3

【分析】（1）根據(jù)題意，分別將x0，y0代入直線yx6即可求得；

4

3233

（2）設(shè)Cm,m6，得到拋物線的頂點(diǎn)式為yaxmm6，將B0,6代入可求得m，進(jìn)

444a

3

而可得到拋物線解析式為yax2x6，即可求得b，c；

2

3

（3）根據(jù)題意，設(shè)Pp,0，Cm,m6，根據(jù)平移的性質(zhì)可得點(diǎn)B，點(diǎn)C向下平移的距離相同，即列

4

332

式求得m4，a，然后得到拋物線N解析式為：yxp，將B0,6代入可得p42，即

1616

可得到答案．

3

【詳解】（1）解：∵直線yx6與x軸交于點(diǎn)A，y軸交于點(diǎn)B，

4

當(dāng)x0時(shí)，代入得：y6，故B0,6，

當(dāng)y0時(shí)，代入得：x8，故A8,0，

3

（2）設(shè)Cm,m6，

4

23

則可設(shè)拋物線的解析式為：yaxmm6，

4

∵拋物線M經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，

3

將B0,6代入得：am2m66，

4

∵m0，

3

∴am，

4

3

即m，

4a

323

∴將m代入yaxmm6，

4a4

3

整理得：yax2x6，

2

3

故b，c6；

2

（3）如圖：

∵CD∥x軸，點(diǎn)P在x軸上，

3

∴設(shè)Pp,0，Cm,m6，

4

∵點(diǎn)C，B分別平移至點(diǎn)P，D，

∴點(diǎn)B，點(diǎn)C向下平移的距離相同，

33

∴m66m6，

44

解得：m4，

3

由（2）知m，

4a

3

∴a，

16

32

∴拋物線N的函數(shù)解析式為：yxp，

16

將B0,6代入可得：p42，

3232

∴拋物線N的函數(shù)解析式為：yx42或yx42．

1616

【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求拋物線的解析式，平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象

和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)的平移性質(zhì)求出m和a的值．

考點(diǎn)04二次函數(shù)的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、單調(diào)性問(wèn)題

2

1．（2025·山東威?！ぶ锌颊骖}）已知點(diǎn)2,y1,3,y2,7,y3都在二次函數(shù)yx2c的圖象上，則

y1,y2,y3的大小關(guān)系是（）

A．y1y2y3B．y1y3y2C．y2y1y3D．y3y2y1

【答案】C

【分析】本題主要考查了比較二次函數(shù)值的大小，根據(jù)解析式可得開口向下，對(duì)稱軸為直線x2，則離對(duì)

稱軸越近，函數(shù)值越大，據(jù)此求出三個(gè)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離即可得到答案．

2

【詳解】解：∵二次函數(shù)解析式為yx2c，

∴二次函數(shù)y(x2)2c的圖象開口向下，對(duì)稱軸為x2，

∴離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越大，

點(diǎn)2,y1的橫坐標(biāo)-2與2的距離為224；點(diǎn)3,y2的橫坐標(biāo)3與2的距離為321；點(diǎn)7,y3的橫

坐標(biāo)7與2的距離為725．

∵145，

∴y2y1y3，

故選C．

2

2．（2024·廣東·中考真題）若點(diǎn)0,y1,1,y2,2,y3都在二次函數(shù)y=x的圖象上，則（）

A．y3y2y1B．y2y1y3C．y1y3y2D．y3y1y2

【答案】A

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的解

析式得出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是y軸（直線x0），圖象的開口向上，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增

大，再比較即可．

【詳解】解∶二次函數(shù)y=x2的對(duì)稱軸為y軸，開口向上，

∴當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而增大，

2

∵點(diǎn)0,y1,1,y2,2,y3都在二次函數(shù)y=x的圖象上，且012，

∴y3y2y1，

故選∶A．

3．（2023·四川甘孜·中考真題）下列關(guān)于二次函數(shù)y(x2)23的說(shuō)法正確的是()

A．圖象是一條開口向下的拋物線B．圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)

C．當(dāng)x2時(shí)，y隨x增大而增大D．圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是2,3

【答案】D

【分析】由二次函數(shù)解析式可得拋物線開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由此解答即可．

【詳解】解：A、a10，圖象的開口向上，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、y(x2)23x24x1，

(4)2411120，

即圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

故此選項(xiàng)不符合題意；

C、拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x2，

當(dāng)x2時(shí)，y隨x增大而減小，

故此選項(xiàng)不符合題意；

D、y(x2)23，

圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是2,3，

故此選項(xiàng)符合題意；

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．

2

4．（2023·廣東廣州·中考真題）已知點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2在拋物線yx3上，且0x1x2，則y1

y2．（填“<”或“>”或“=”）

【答案】

【分析】先求出拋物線的對(duì)稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題．

【詳解】解：yx23的對(duì)稱軸為y軸，

∵a10，

∴開口向上，當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而增大，

∵0x1x2，

∴y1y2．

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的增減性，解題的關(guān)鍵是根據(jù)拋物表達(dá)式得出函數(shù)的開口方向和對(duì)稱軸，

從而分析函數(shù)的增減性．

5．（2023·安徽·中考真題）下列函數(shù)中，y的值隨x值的增大而減小的是（）

A．yx21B．yx21C．y2x1D．y2x1

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．

【詳解】解：A.yx21，a0，對(duì)稱軸為直線x0，

當(dāng)x0時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，當(dāng)x0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大，故該選項(xiàng)不正確，不符

合題意；

B.yx21，a0，對(duì)稱軸為直線x0，

當(dāng)x0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大，當(dāng)x0時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，故該選項(xiàng)不正確，不符

合題意；

C.y2x1，k0，y的值隨x值的增大而增大，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D.y2x1，k