專題07不等式與不等式組

考點01求不等式組的解集

3x2x1①

1．（2025·天津·中考真題）解不等式組

2x3x5②

請結合題意填空，完成本題的解答．

(1)解不等式①，得____________；

(2)解不等式②，得____________；

(3)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來：

(4)原不等式組的解集為____________．

【答案】(1)x1

(2)x2

(3)作圖見解析

(4)2x1

【分析】本題考查解一元一次不等式組，在數軸上表示不等式的解集，

（1）根據移項，合并同類項即可得解；

（2）根據移項，合并同類項即可得解；

（3）根據不等式的解集在數軸上表示的方法：“”空心圓點向右畫折線，“”實心圓點向右畫折線，“”

空心圓點向左畫折線，“”實心圓點向左畫折線，據此畫出圖形；

（4）根據一元一次不等式組的解集確定的原則：同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到，

據此確定不等式組的解集；

解題的關鍵是掌握：①不等式的解集在數軸上表示的方法；②一元一次不等式組的解集確定的原則．

【詳解】（1）解：移項，得：3x2x1，

合并同類項，得：x1，

∴解不等式①，得：x1，

故答案為：x1；

（2）移項，得：2xx53，

合并同類項，得：x2，

∴解不等式②，得：x2，

故答案為：x2；

（3）把不等式①和②的解集在數軸上表示出來如圖所示：

（4）原不等式組的解集為：2x1，

故答案為：2x1．

1

2．（2025·福建·中考真題）不等式x12的解集在數軸上表示正確的是（）

2

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】本題考查求不等式的解集，在數軸上表示解集，先求出不等式的解集，定邊界，定方向，表示出

不等式的解集即可．

1

【詳解】解：x12，

2

1

x21，

2

1

x1，

2

∴x2；

在數軸上表示如圖：

故選C．

3．（2025·江西·中考真題）不等式x10的解集為

【答案】x1

【分析】本題考查解一元一次不等式．根據一元一次不等式的解法，先移項，再系數化為1，即可求解．

【詳解】解：移項，得x1，

系數化為1，得x1．

故答案為：x1．

x12x13

4．（2024·江蘇南京·中考真題）解不等式組：

x84x1

【答案】x2

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找

不到”是解題關鍵．

先求出每個不等式的解集，再求出公共解集即可．

x12x13①

【詳解】解：，

x84x1②

解不等式①，得：x2，

解不等式②，得：x3，

∴原不等式組的解集為x2．

故答案為：x2．

5．（2024·寧夏·中考真題）已知3aa3，則a的取值范圍在數軸上表示正確的是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【分析】本題主要考查了絕對值的性質，解一元一次不等式．根據絕對值的性質，可得3a0，從而得到

a3，即可求解．

【詳解】解：∵3aa3，

∴3a0，

解得：a3，

則的取值范圍在數軸上表示正確的是：

故選：A．

2x1x

6．（2024·內蒙古·中考真題）關于x的不等式1的解集是，這個不等式的任意一個解

32

都比關于x的不等式2x1xm的解大，則m的取值范圍是．

【答案】x8m7

【分析】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解法是解題關鍵．先分別求出不等式的解集，

再根據題意列出關于m的不等式，求解即可得．

2x1x

【詳解】解：1，

32

22x163x，

4x263x，

x8．

解不等式2x1xm得：x1m，

2x1x

∵不等式1任意一個解都比關于x的不等式2x1xm的解大，

32

∴1m8，

解得m7，

故答案為：x8；m7．

x4

7．（2023·江蘇鹽城·中考真題）解不等式2x3，并把它的解集在數軸上表示出來.

3

【答案】x1，數軸見詳解

【分析】根據解一元一次不等式的步驟解答即可．

x4

【詳解】2x3

3

去分母得：32x3x4，

去括號得：6x9x4，

移項得：6xx94，

合并同類項得：5x5，

系數化為1：x1．

在數軸上可表示為：

．

【點睛】本題考查了解一元一次不等式，在數軸上表示不等式的解集的應用，能求出不等式的解集是解此

題的關鍵，難度適中．

8．（2023·山東淄博·中考真題）若實數m，n分別滿足下列條件：

2

（1）2m175；

（2）n30．

3nm

試判斷點P2m3,所在的象限．

2

【答案】點P在第一象限或點P在第二象限

3nm

【分析】運用直接開平方法解一元二次方程即可；解不等式求出解題，在分情況確定2m3，的符

2

號確定點P所在象限解題即可．

2

【詳解】解：2m175

2

2m157

2

m11

m11或m11

m12，m20；

n30，

解得：n3；

3nm

∴當m2，n3時，2m30，0，點P在第一象限；

2

3nm

當m0，n3時，2m30，0，點P在第二象限；

2

【點睛】本題考查點在平面直角系的坐標特征，解不等式，平方根的意義，利用不等式的性質判斷點的坐

標特征是解題的關鍵．

1x

9．（2024·江蘇鹽城·中考真題）求不等式x1的正整數解．

3

【答案】1，2．

【分析】本題考查了求一元一次不等式的解集以及正整數解，先求出不等式的解集，進而可得到不等式的

正整數解，正確求出一元一次不等式的解集是解題的關鍵．

【詳解】解：去分母得，1x3x1，

去括號得，1x3x3，

移項得，x3x31，

合并同類項得，2x4，

系數化為1得，x2，

∴不等式的正整數解為1，2．

考點02不等式組的整數解

2x2x①

1．（2025·重慶·中考真題）求不等式組：x12x1的所有整數解．

②

23

【答案】1，0，1

【分析】本題考查解不等式組及不等式組的整數解，熟練掌握解不等式組的步驟是解題的關鍵．利用解不

等式組的步驟求解，再得出其整數解即可．

2x2x①

【詳解】解：x12x1，

②

23

解不等式①，得：x2；

解不等式②，得：x1；

∴不等式組的解集為1x2．

所以該不等式組的所有整數解是1，0，1．

4x3x

2．（2025·江蘇揚州·中考真題）解不等式組，并寫出它的所有負．整．數．解．．

3x12x

【答案】不等式組的解集為3x1，它的所有負整數解為2,1

【分析】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解題關鍵．先分別求出兩個不等式

的解集，再找出它們的公共部分即為不等式組的解集，然后寫出它的所有負整數解即可得．

4x3x①

【詳解】解：，

3x12x②

解不等式①得：x1，

解不等式②得：x3，

所以不等式組的解集為3x1，它的所有負整數解為2,1．

13

2xx4

3．（2024·山東淄博·中考真題）解不等式組：22并求所有整數解的和．

x312x

【答案】4x1，6

【分析】本題考查了解一元一次不等式組以及求一元一次不等式組的整數解．解各不等式，可得出x的取

值范圍，取其公共部分即可得出不等式組的解集，再將各整數解相加，即可求出結論．

13

2xx4①

【詳解】解：22，

x312x②

解不等式①得：x1；

解不等式②得：x4，

∴原不等式組的解集4x1，

∴不等式組所有整數解的和為32106．

x2

x

4．（2024·黑龍江大慶·中考真題）不等式組2的整數解有個．

5x39x

【答案】4

【分析】本題主要考查了求不等式組的整數解，先求出每個不等式的解集，再根據“同大取大，同小取小，

大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集，進而求出其整數解即可．

x2

x①

【詳解】解：2

5x39x②

解不等式①得：x2

解不等式②得：x3

∴不等式組的解集為：2x3，

∴整數解有1，0，1，2共4個，

故答案為：4．

5．（2024·四川涼山·中考真題）求不等式34x79的整數解．

【答案】2,3,4

【分析】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握知識點是解題的關鍵．

34x7

先將34x79變形為，再解每一個不等式，取解集的公共部分作為不等式組的解集，再找

4x79

出其中的整數解即可．

34x7①

【詳解】解：由題意得，

4x79②

解①得：x1，

解②得：x4，

∴該不等式組的解集為：1x4，

∴整數解為：2,3,4

考點03已知不等式的解求參數

x31

1．（2025·四川南充·中考真題）不等式組的解集是x2，則m的取值范圍是．

xm1

【答案】m3

【分析】本題考查解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式的解集，熟知不等式組的解集取值規(guī)則是

關鍵．

先分別求出每一個不等式的解集，再根據兩個解集結合不等式組的解集求出m的取值范圍即可．

x31

【詳解】解：

xm1

解不等式x31得：x2，

解不等式xm1得：xm1，

∵不等式組的解集是x2，

∴m12，

∴m3．

故答案為：m3

2x15

2．（2024·四川南充·中考真題）若關于x的不等式組的解集為x3，則m的取值范圍是（）

xm1

A．m>2B．m≥2C．m2D．m2

【答案】B

【分析】本題考查根據不等式組的解集求參數的范圍，先解不等式組，再根據不等式組的解集，得到關于

參數的不等式，進行求解即可．

2x15x3

【詳解】解：解，得：，

xm1xm1

∵不等式組的解集為：x3，

∴m13，

∴m≥2；

故選B．

2x1

3

3．（2024·重慶·中考真題）若關于x的一元一次不等式組3的解集為x4，且關于y的分式

4x23xa

a8y

方程1的解均為負整數，則所有滿足條件的整數a的值之和是．

y2y2

【答案】12

【分析】本題主要考查了根據分式方程解的情況求參數，根據不等式組的解集求參數，先解不等式組中的

a10

兩個不等式，再根據不等式組的解集求出a2；解分式方程得到y(tǒng)，再由關于y的分式方程

2

a8y

1的解均為負整數，推出a10且a6且a是偶數，則2a10且a6且a是偶數，據此確

y2y2

定符合題意的a的值，最后求和即可．

2x1

3①

【詳解】解：3

4x23xa②

解不等式①得：x4，

解不等式②得：xa2，

∵不等式組的解集為x4，

∴a24，

∴a2；

a8ya10

解分式方程1得y，

y2y22

a8y

∵關于y的分式方程1的解均為負整數，

y2y2

a10a10a10

∴0且是整數且y220，

222

∴a10且a6且a是偶數，

∴2a10且a6且a是偶數，

∴滿足題意的a的值可以為4或8，

∴所有滿足條件的整數a的值之和是4812．

故答案為：12．

xa22023

4．（2023·湖北鄂州·中考真題）已知不等式組的解集是1x1，則ab（）

x1b

A．0B．1C．1D．2023

【答案】B

【分析】按照解一元一次不等式組的步驟進行計算，可得2axb1，再結合已知可得2a1，

b11，然后進行計算可求出a，b的值，最后代入式子中進行計算即可解答．

xa2①

【詳解】解：，

x1b②

解不等式①得：x2a，

解不等式②得：xb1，

∴原不等式組的解集為：2axb1，

∵不等式組的解集是1x1，

∴2a1，b11，

∴a3，b2，

202320232023

∴ab3211，

故選：B．

【點睛】本題考查了根據一元一次不等式組的解集求參數，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．

2x1xa①

5．（2023·四川宜賓·中考真題）若關于x的不等式組x5所有整數解的和為14，則整數a的值

1x9②

22

為．

【答案】2或1

【分析】根據題意可求不等式組的解集為a1x5，再分情況判斷出a的取值范圍，即可求解．

【詳解】解：由①得：xa1，

由②得：x5，

不等式組的解集為：a1x5，

所有整數解的和為14，

①整數解為：2、3、4、5，

1a12，

解得：2a3，

a為整數，

a2．

②整數解為：1，0，1，2、3、4、5，

2a11，

解得：1a0，

a為整數，

a1．

綜上，整數a的值為2或1

故答案為：2或1．

【點睛】本題考查了含參數的一元一次不等式組的整數解問題，掌握一元一次不等式組的解法，理解參數

的意義是解題的關鍵．

2x30

6．（2025·黑龍江·中考真題）關于x的不等式組恰有3個整數解，則a的取值范圍是．

xa0

【答案】2a1

【分析】本題考查一元一次不等式組的整數解，解題的關鍵是根據已知列出關于a的不等式組．先解含參

的不等式組，根據不等式組恰有3個整數解得到關于a的不等式組，求解即可．根據解集的情況得到關于a

的不等式組是解題的關鍵．

3

【詳解】解：解不等式2x30得：x≤，

2

解不等式xa0得：xa，

∵不等式組恰有3個整數解，

∴2a1，

故答案為：2a1．

7．（2025·四川內江·中考真題）對于x、y定義了一種新運算G，規(guī)定Gx,yx3y．若關于a的不等式

Ga,12a2

組恰好有3個整數解，則實數P的取值范圍是．

G2a,14aP

【答案】17P7

【分析】本題考查了解一元一次不等式組，不等式組的整數解的應用，能根據找不等式的解集和已知得出

關于P的不等式組是解此題的關鍵．先根據新定義化簡關于a的不等式，根據不等式組有3個整數解，得

P3

出21，進而解不等式組，即可求解．

10

【詳解】解：∵Gx,yx3y

Ga,12a2a312a2①

∴關于a的不等式組即

G2a,14aP2a314aP②

解不等式①得：a1

P3

解不等式②得：a

10

∵不等式組有3個整數解，

∴整數解為1,0,1，

P3

∴21

10

解得：17P7

故答案為：17P7．

3x2m

8．（2023·四川綿陽·中考真題）關于x的不等式組x1有且只有兩個整數解，則符合條件的所有整

1

2

數m的和為（）

A．11B．15C．18D．21

【答案】C

【分析】本題主要考查了根據不等式組的解集情況求參數，正確得到關于m的不等式組是解題的關鍵．

m2

先求出兩個不等式的解集，再根據不等式組有且只有兩個整數解得到12，解不等式組即可得到答

3

案．

3x2m①

【詳解】解：x1

1②

2

m2

解不等式①得：x，

3

解不等式②得：x3，

∵不等式組有且只有兩個整數解，

m2

∴12，

3

∴5m8，

∴符合要求的所有整數m的值為5，6，7，

∴符合要求的所有整數m的和為56718．

故選C．

考點04實際應用

1．（2023·浙江·中考真題）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．從這個月開始，小霞每月存15元零

花錢，小明每月存12元零花錢，設經過n個月后小霞的存款超過小明，可列不等式為（）

A．5215n7012nB．5215n7012n

C．5212n7015nD．5212n7015n

【答案】A

【分析】依據數量關系式：小霞原來存款數+15×月數n＞小明原來存款數+12×月數n，把相關數值代入即

可；

【詳解】解：根據題意得，

5215n7012n，

故選：A．

【點睛】此題主要考查了一元一次不等式的應用，得到兩人存款數的關系式是解決本題的關鍵．

2．（2025·貴州·中考真題）貴州省江口縣被譽為“中國抹茶之都”，這里擁有全球最大的抹茶單體生產車間．為

滿足市場需求，某抹茶車間準備安裝A、B兩種型號生產線.已知，同時開啟一條A型和一條B型生產線每

月可以生產抹茶共200t，同時開啟一條A型和兩條B型生產線每月可以生產抹茶共280t．

(1)求一條A型和一條B型生產線每月各生產抹茶多少噸？

(2)為擴大生產規(guī)模，若另一車間準備同時安裝相同型號的A、B兩種生產線共5條，該車間接到一個訂單，

要求4個月生產抹茶不少于2000t，至少需要安裝多少條A型生產線？

【答案】(1)一條A型生產線每月生產抹茶120t，一條B型生產線每月生產抹茶80t

(2)至少需要安裝3條A型生產線

【分析】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的實際應用，正確理解題意是解題的關鍵．

（1）設一條A型生產線每月生產抹茶xt，一條B型生產線每月生產抹茶yt，根據“同時開啟一條A型和一

條B型生產線每月可以生產抹茶共200t，同時開啟一條A型和兩條B型生產線每月可以生產抹茶共280t”

建立二元一次方程組求解；

（2）設需要安裝m條A型生產線，則安裝B種生產線5m條，根據“4個月生產抹茶不少于2000t”建立

一元一次不等式求解即可．

【詳解】（1）解：設一條A型生產線每月生產抹茶xt，一條B型生產線每月生產抹茶yt，

xy200

由題意得：，

x2y280

x120

解得：，

y80

答：一條A型生產線每月生產抹茶120t，一條B型生產線每月生產抹茶80t；

（2）解：設需要安裝m條A型生產線，則安裝B種生產線5m條，

由題意得：4120m805m2000，

解得：m2.5，

∵m為正整數，

∴m最小取3，

答：至少需要安裝3條A型生產線．

3．（2025·遼寧·中考真題）小張計劃購進A,B兩種文創(chuàng)產品，在“文化夜市”上進行銷售．已知A種文創(chuàng)產

品比B種文創(chuàng)產品每件進價多3元，購進2件A種文創(chuàng)產品和3件B種文創(chuàng)產品共需花費26元．

(1)求B種文創(chuàng)產品每件的進價；

(2)小張決定購進A，B兩種文創(chuàng)產品共100件，且總費用不超過550元，那么小張最多可以購進多少件A種

文創(chuàng)產品？

【答案】(1)B種文創(chuàng)產品每件的進價為4元

(2)小張最多可以購進50件A種文創(chuàng)產品

【分析】本題考查一元一次方程和一元一次不等式的實際應用，正確的列出方程組和不等式，是解題的關

鍵：

（1）設B種文創(chuàng)產品每件的進價為x元，根據A種文創(chuàng)產品比B種文創(chuàng)產品每件進價多3元，購進2件A種

文創(chuàng)產品和3件B種文創(chuàng)產品共需花費26元，列出一元一次方程進行求解即可；

（2）設小張購進m件A種文創(chuàng)產品，根據總費用不超過550元，列出不等式進行求解即可．

【詳解】（1）解：設B種文創(chuàng)產品每件的進價為x元，則：A種文創(chuàng)產品每件的進價為x3元，

由題意，得：2x33x26，

解得：x4，

答：B種文創(chuàng)產品每件的進價為4元；

（2）設小張購進m件A種文創(chuàng)產品，由（1）可知，A種文創(chuàng)產品每件的進價為437元，

由題意，得：7m4100m550，

解得：m≤50；

答：小張最多可以購進50件A種文創(chuàng)產品．

4．（2025·四川宜賓·中考真題）采采中學舉辦“科學與藝術”主題知識競賽，共有20道題，對每一道題，答

對得10分．答錯或不答扣5分．若小明同學想要在這次競賽中得分不低于80分，則他至少要答對的題數

是（）

A．14道B．13道C．12道D．11道

【答案】C

【分析】設小明答對x道題，則答錯或不答的題數為20x道，根據得分規(guī)則建立不等式，解不等式后求

解x的最小整數值即可．

本題考查了一元一次不等式的應用，根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式是解題的關鍵．

【詳解】解：設答對x道題，則答錯或不答的題數為20x道．

根據題意得：10x520x80，

解得：x12，

∴x的最小值為12，

∴他至少要答對12道題．

故選：C．

5．（2025·云南·中考真題）請你根據下列素材，完成有關任務．

背景某校計劃購買籃球和排球，供更多學生參加體育鍛煉，增強身體素質．

素材

購買2個籃球與購買3個排球需要的費用相等；

一

素材

購買2個籃球和5個排球共需800元；

二

素材該校計劃購買籃球和排球共60個，籃球和排球均需購買，且購買排球的個數不

三超過購買籃球個數的2倍．

請完成下列任務：

任務

每個籃球，每個排球的價格分別是多少元？

一

任務

給出最節(jié)省費用的購買方案．

二

【答案】任務一：每個籃球150元，每個排球100元；任務二：購買籃球20個，排球40個，最節(jié)省費用．

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式組的應用，一次函數的應用，掌握知識點的

應用是解題的關鍵．

2x3y

任務一：設每個籃球x元，每個排球y元，根據題意得，然后解方程組即可；

2x5y800

60a2a

任務二：設購買籃球a個，則購買排球60a個，費用為w元，根據題意得，求出a的取值范

a60

圍，由w150a10060a50a6000，可得w隨a的增大而增大，則當a20時，w有最小值，從而求

解．

【詳解】解：任務一：設每個籃球x元，每個排球y元，

2x3y

根據題意得：，