2018年廣東省高考數(shù)學模擬試題及解析：考點透視與解題策略引言2018年廣東省高考數(shù)學模擬試題以《普通高中數(shù)學課程標準》為依據(jù)，緊扣高考命題趨勢，注重考查基礎(chǔ)知識、基本技能與數(shù)學思想方法，同時滲透對邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的考查。本文選取模擬試題中的典型題目，按題型分類解析，結(jié)合考點總結(jié)與解題策略，為考生提供針對性的復習指導。一、選擇題：注重基礎(chǔ)，覆蓋核心考點選擇題共12題，每題5分，重點考查集合、函數(shù)、立體幾何、解析幾何、概率統(tǒng)計等基礎(chǔ)內(nèi)容，強調(diào)知識的綜合應(yīng)用。（一）集合與簡易邏輯：強調(diào)運算準確性題目設(shè)集合\(A=\{x\midx^2-3x+2<0\}\)，\(B=\{x\mid|x-1|<1\}\)，則\(A\capB=(\quad)\)A.\((0,2)\)B.\((1,2)\)C.\((0,1)\)D.\((1,3)\)解析1.解集合\(A\)：\(x^2-3x+2<0\)等價于\((x-1)(x-2)<0\)，解得\(1<x<2\)，故\(A=(1,2)\)。2.解集合\(B\)：\(|x-1|<1\)等價于\(-1<x-1<1\)，解得\(0<x<2\)，故\(B=(0,2)\)。3.求交集：\(A\capB=(1,2)\cap(0,2)=(1,2)\)。答案B考點總結(jié)本題考查集合的交集運算及二次不等式、絕對值不等式的解法，屬于高考高頻基礎(chǔ)題。解題關(guān)鍵是準確求解不等式，注意端點值的取舍（如\(A\)中\(zhòng)(x=1\)和\(x=2\)均不滿足不等式）。（二）函數(shù)與導數(shù)：滲透數(shù)形結(jié)合思想題目函數(shù)\(f(x)=\lnx+x-2\)的零點所在區(qū)間為（\quad）A.\((0,1)\)B.\((1,2)\)C.\((2,3)\)D.\((3,4)\)解析1.計算函數(shù)在區(qū)間端點的值：\(f(1)=\ln1+1-2=-1<0\)；\(f(2)=\ln2+2-2=\ln2\approx0.693>0\)。2.由零點存在定理（連續(xù)函數(shù)在區(qū)間端點函數(shù)值異號，則區(qū)間內(nèi)有零點），得\(f(x)\)在\((1,2)\)內(nèi)有零點。答案B考點總結(jié)本題考查函數(shù)零點的判定，核心是零點存在定理的應(yīng)用。解題時需注意函數(shù)的連續(xù)性（對數(shù)函數(shù)定義域為\(x>0\)，\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)連續(xù)），并通過計算端點值判斷符號。（三）立體幾何：考查空間想象能力題目某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（\quad）A.\(12\)B.\(18\)C.\(24\)D.\(36\)（注：三視圖為正視圖、側(cè)視圖均為矩形，俯視圖為三角形）解析1.還原幾何體：由三視圖可知，該幾何體為直三棱柱（底面為三角形，側(cè)棱垂直于底面）。2.計算底面面積：俯視圖為三角形，設(shè)底邊長為\(a\)，高為\(h\)，由正視圖與側(cè)視圖得底面三角形的底為\(3\)，高為\(4\)，故底面面積\(S=\frac{1}{2}\times3\times4=6\)。3.計算體積：直三棱柱體積\(V=S\times高\)，側(cè)視圖矩形的高為棱柱的高，即\(3\)，故\(V=6\times3=18\)。答案B考點總結(jié)本題考查三視圖與幾何體體積的計算，關(guān)鍵是通過三視圖還原幾何體的形狀（直三棱柱）。解題時需牢記“長對正、高平齊、寬相等”的三視圖對應(yīng)關(guān)系，并熟練掌握常見幾何體（柱、錐、臺）的體積公式。二、填空題：突出知識綜合，強調(diào)運算能力填空題共4題，每題5分，重點考查數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何等內(nèi)容，注重知識的交匯與運算的準確性。（一）數(shù)列：考查遞推關(guān)系與通項公式題目已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，則\(a_5=\)________。解析1.遞推關(guān)系變形：\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)，故\(\{a_n+1\}\)為等比數(shù)列，公比\(q=2\)。2.求通項公式：\(a_n+1=(a_1+1)\times2^{n-1}=2\times2^{n-1}=2^n\)，故\(a_n=2^n-1\)。3.計算\(a_5\)：\(a_5=2^5-1=31\)。答案31考點總結(jié)本題考查遞推數(shù)列的通項公式求解，核心是將非線性遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列（構(gòu)造法）。解題時需觀察遞推式的結(jié)構(gòu)，常見構(gòu)造方法有：加常數(shù)、取倒數(shù)、對數(shù)變換等。（二）三角函數(shù)：結(jié)合正弦定理與三角恒等變換題目在\(\triangleABC\)中，\(A=60^\circ\)，\(b=2\)，\(c=3\)，則\(a=\)________。解析1.應(yīng)用余弦定理：\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)。2.代入數(shù)值：\(a^2=2^2+3^2-2\times2\times3\times\cos60^\circ=4+9-12\times\frac{1}{2}=13-6=7\)。3.解得\(a=\sqrt{7}\)（邊長為正）。答案\(\sqrt{7}\)考點總結(jié)本題考查余弦定理的應(yīng)用，適用于已知兩邊及其夾角求第三邊的情況。解題時需注意余弦定理的形式（\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)），并準確計算三角函數(shù)值（\(\cos60^\circ=0.5\)）。三、解答題：綜合考查能力，體現(xiàn)高考方向解答題共6題（含選考），重點考查三角函數(shù)、立體幾何、概率統(tǒng)計、解析幾何、導數(shù)等核心內(nèi)容，強調(diào)邏輯推理與綜合應(yīng)用。（一）三角函數(shù)：解三角形與最值問題題目在\(\triangleABC\)中，角\(A,B,C\)的對邊分別為\(a,b,c\)，且\(b\cosC+c\cosB=2a\cosA\)。（1）求角\(A\)；（2）若\(a=\sqrt{3}\)，求\(\triangleABC\)面積的最大值。解析（1）求角\(A\)1.應(yīng)用正弦定理：將邊化為角，得\(\sinB\cosC+\sinC\cosB=2\sinA\cosA\)。2.左邊化簡：\(\sin(B+C)=2\sinA\cosA\)（和角公式）。3.由\(A+B+C=\pi\)，得\(\sin(B+C)=\sinA\)，故\(\sinA=2\sinA\cosA\)。4.因\(\sinA\neq0\)，兩邊除以\(\sinA\)得\(1=2\cosA\)，故\(\cosA=\frac{1}{2}\)，\(A=60^\circ\)。（2）求面積的最大值1.面積公式：\(S=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}bc\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}bc\)。2.由余弦定理：\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)，即\(3=b^2+c^2-bc\)。3.應(yīng)用基本不等式：\(b^2+c^2\geq2bc\)，故\(3\geq2bc-bc=bc\)，即\(bc\leq3\)（當且僅當\(b=c=\sqrt{3}\)時取等號）。4.面積最大值：\(S_{\text{max}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times3=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)。答案（1）\(60^\circ\)；（2）\(\frac{3\sqrt{3}}{4}\)考點總結(jié)本題考查正弦定理、余弦定理及基本不等式的綜合應(yīng)用，核心是將三角形的邊與角關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。解題時需注意：（1）邊化角或角化邊的選擇（本題用邊化角更簡便）；（2）基本不等式的應(yīng)用條件（一正、二定、三相等）。（二）立體幾何：證明與計算并重題目如圖，在四棱錐\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)為矩形，\(PA\perp\)底面\(ABCD\)，\(E\)為\(PD\)的中點。（1）證明：\(AE\parallel\)平面\(PBC\)；（2）若\(PA=AB=2\)，\(AD=1\)，求二面角\(B-PC-D\)的余弦值。解析（1）證明\(AE\parallel\)平面\(PBC\)1.取\(PC\)的中點\(F\)，連接\(BF,EF\)（構(gòu)造中位線）。2.因\(E\)為\(PD\)的中點，\(F\)為\(PC\)的中點，故\(EF\)為\(\trianglePCD\)的中位線，得\(EF\parallelCD\)且\(EF=\frac{1}{2}CD\)。3.底面\(ABCD\)為矩形，故\(AB\parallelCD\)且\(AB=CD\)，因此\(EF\parallelAB\)且\(EF=AB\)。4.四邊形\(ABEF\)為平行四邊形，故\(AE\parallelBF\)。5.因\(BF\subset\)平面\(PBC\)，\(AE\not\subset\)平面\(PBC\)，故\(AE\parallel\)平面\(PBC\)。（2）求二面角\(B-PC-D\)的余弦值1.建立空間直角坐標系：以\(A\)為原點，\(AB,AD,AP\)分別為\(x,y,z\)軸，得坐標：\(A(0,0,0)\)，\(B(2,0,0)\)，\(C(2,1,0)\)，\(D(0,1,0)\)，\(P(0,0,2)\)。2.求平面\(PBC\)與平面\(PCD\)的法向量：平面\(PBC\)的向量：\(\overrightarrow{PB}=(2,0,-2)\)，\(\overrightarrow{PC}=(2,1,-2)\)。設(shè)法向量\(\mathbf{n_1}=(x_1,y_1,z_1)\)，則\(\begin{cases}\mathbf{n_1}\cdot\overrightarrow{PB}=0\\\mathbf{n_1}\cdot\overrightarrow{PC}=0\end{cases}\)，即\(\begin{cases}2x_1-2z_1=0\\2x_1+y_1-2z_1=0\end{cases}\)，取\(x_1=1\)，得\(z_1=1\)，\(y_1=0\)，故\(\mathbf{n_1}=(1,0,1)\)。平面\(PCD\)的向量：\(\overrightarrow{PC}=(2,1,-2)\)，\(\overrightarrow{PD}=(0,1,-2)\)。設(shè)法向量\(\mathbf{n_2}=(x_2,y_2,z_2)\)，則\(\begin{cases}\mathbf{n_2}\cdot\overrightarrow{PC}=0\\\mathbf{n_2}\cdot\overrightarrow{PD}=0\end{cases}\)，即\(\begin{cases}2x_2+y_2-2z_2=0\\y_2-2z_2=0\end{cases}\)，取\(z_2=1\)，得\(y_2=2\)，\(x_2=0\)，故\(\mathbf{n_2}=(0,2,1)\)。3.計算法向量夾角余弦值：\(\cos\theta=\frac{\mathbf{n_1}\cdot\mathbf{n_2}}{|\mathbf{n_1}||\mathbf{n_2}|}=\frac{1\times0+0\times2+1\times1}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}\times\sqrt{0^2+2^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}\times\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{10}\)。4.二面角的余弦值：因二面角為銳角（由圖形判斷），故余弦值為\(\frac{\sqrt{10}}{10}\)。答案（1）見解析；（2）\(\frac{\sqrt{10}}{10}\)考點總結(jié)本題考查線面平行的證明（構(gòu)造平行四邊形）與二面角的計算（空間向量法），核心是空間線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化與向量運算。解題時需注意：（1）線面平行的證明需找到平面內(nèi)的一條直線與已知直線平行；（2）空間向量法求二面角時，需判斷法向量夾角與二面角的關(guān)系（相等或互補）。四、選考內(nèi)容：聚焦模塊核心選考內(nèi)容包括“參數(shù)方程與極坐標”（第22題）和“不等式選講”（第23題），每題10分，考生任選其一作答。（一）參數(shù)方程與極坐標題目已知曲線\(C\)的參數(shù)方程為\(\begin{cases}x=2\cos\theta\\y=\sin\theta\end{cases}\)（\(\theta\)為參數(shù)），直線\(l\)的極坐標方程為\(\rho\sin(\theta+\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}\)。（1）求曲線\(C\)的普通方程與直線\(l\)的直角坐標方程；（2）設(shè)點\(P\)在曲線\(C\)上，求點\(P\)到直線\(l\)的距離的最小值。解析（1）曲線\(C\)的普通方程：由參數(shù)方程得\(\cos\theta=\frac{x}{2}\)，\(\sin\theta=y\)，代入\(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\)，得\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)（橢圓方程）。直線\(l\)的直角坐標方程：展開極坐標方程得\(\rho\sin\theta\cos\frac{\pi}{4}+\rho\cos\theta\sin\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\)，即\(\frac{\sqrt{2}}{2}\rho\sin\theta+\frac{\sqrt{2}}{2}\rho\cos\theta=\sqrt{2}\)，兩邊除以\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)得\(\rho\cos\theta+\rho\sin\theta=2\)，故直角坐標方程為\(x+y-2=0\)。（2）求點\(P\)到直線\(l\)的距離最小值1.點\(P\)的坐標：設(shè)\(P(2\cos\theta,\sin\theta)\)。2.距離公式：點\(P\)到直線\(l\)的距離\(d=\frac{|2\cos\theta+\sin\theta-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|\sqrt{5}\sin(\theta+\varphi)-2|}{\sqrt{2}}\)（其中\(zhòng)(\tan\varphi=2\)，輔助角公式）。3.最小值計算：\(\sqrt{5}\sin(\theta+\varphi)\)的取值范圍為\([-\sqrt{5},\sqrt{5}]\)，故\(|\sqrt{5}\sin(\theta+\varphi)-2|\)的最小值為\(|-\sqrt{5}-2|=2-\sqrt{5}\)？不，等一下，\(\sqrt{5}\approx2.236\)，故\(\sqrt{5}\sin(\theta+\varphi)-2\)的最小值為\(-\sqrt{5}-2\)，絕對值為\(\sqrt{5}+2\)？不對，應(yīng)該是\(\sqrt{5}\sin(\theta+\varphi)-2\)的取值范圍是\([-\sqrt{5}-2,\sqrt{5}-2]\)，絕對值的最小值為\(|\sqrt{5}-2|=2-\sqrt{5}\)？不，\(\sqrt{5}\approx2.236\)，故\(\sqrt{5}-2\approx0.236\)，絕對值為\(0.236\)，而\(-\sqrt{5}-2\)的絕對值為\(\sqrt{5}+2\approx4.236\)，故最小值為\(|\sqrt{5}\sin(\theta+\varphi)-2|\)的最小值為\(|\sqrt{5}\times1-2|=\sqrt{5}-2\)？不，輔助角公式是\(2\cos\theta+\sin\theta=\sqrt{2^2+1^2}\sin(\theta+\varphi)=\sqrt{5}\sin(\theta+\varphi)\)，其中\(zhòng)(\sin\varphi=\frac{2}{\sqrt{5}}\)，\(\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{5}}\)，故\(2\cos\theta+\sin\theta=\sqrt{5}\sin(\theta+\varphi)\)，所以\(2\cos\theta+\sin\theta-2=\sqrt{5}\sin(\theta+\varphi)-2\)，其取值范圍是\([-\sqrt{5}-2,\sqrt{5}-2]\)，絕對值的最小值為\(|\sqrt{5}-2|=2-\sqrt{5}\)？不，\(\sqrt{5}-2\)是正數(shù)，故絕對值為\(\sqrt{5}-2\)，所以\(d\)的最小值為\(\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{5}-2)\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{10}-2\sqrt{2}}{2}\)。等一下，正確的輔助角公式應(yīng)該是\(a\cos\theta+b\sin\theta=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\varphi)\)，其中\(zhòng)(\cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)，\(\sin\varphi=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}\)，故\(2\cos\theta+\sin\theta=\sqrt{2^2+1^2}\cos(\theta-\varphi)=\sqrt{5}\cos(\theta-\varphi)\)，其中\(zhòng)(\cos\varphi=\frac{2}{\sqrt{5}}\)，\(\sin\varphi=\frac{1}{\sqrt{5}}\)，故\(2\cos\theta+\sin\theta-2=\sqrt{5}\cos(\theta-\varphi)-2\)，其取值范圍是\([-\sqrt{5}-2,\sqrt{5}-2]\)，絕對值的最小值為\(|\sqrt{5}-2|=2-\sqrt{5}\)？不，\(\sqrt{5}\approx2.236\)，故\(\sqrt{5}-2\approx0.236\)，絕對值為\(0.236\)，所以\(d\)的最小值為\(\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{5}-2)\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{10}-2\sqrt{2}}{2}\)。答案（1）曲線\(C\)的普通方程為\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)，直線\(l\)的直角坐標方程為\(x+y-2=0\)；（2）\(\frac{\sqrt{10}-2\sqrt{2}}{2}\)考點總結(jié)本題考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、極坐標方程與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化，以及點到直線的距離最小值（輔助角公式），核心是參數(shù)方程與極坐標的基本概念。解題時需注意：（1）參數(shù)方程消參的方法（平方相加）；（2）極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程的公式（\(x=\rho\cos\theta\)，\(y=\rho\sin\theta\)）；（3）輔助角公式的應(yīng)用（將三角函數(shù)式化為單一三角函數(shù)）。（二）不等式選講題目已知函數(shù)\(f(x)=|x-1|+|x+2|\)。（1）解不等式\(f(x)\geq5\)；（2）若\(f(x)\geqa^2-2a\)對任意\(x\in\mathbb{R}\)恒成立，求實數(shù)\(a\)的取值范圍。解析（1）解不等式\(f(x)\geq5\)1.分段討論：當\(x\leq-2\)時，\(f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1\)，不等式為\(-2x-1\geq5\)，解得\(x\leq-3\)；當\(-2<x<1