學習目標1.進一步理解和掌握分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.2.進一步深化排列與組合的概念.3.能綜合運用排列、組合解決計數(shù)問題．知識點一兩個計數(shù)原理1．分類加法計數(shù)原理(加法原理)完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，……，在第n類辦法中有mn種方法，那么，完成這件事共有N＝__________種方法．2．分步乘法計數(shù)原理(乘法原理)完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，……，做第n步有mn種方法，那么，完成這件事共有N＝____________種方法．3．分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，都涉及完成一件事的不同方法的種數(shù)．它們的區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理與分類有關，各種方法相互獨立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理與分步有關，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成.知識點二排列1．排列從n個________的元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的________排成一列，叫作從n個不同的元素中任意取出m個元素的一個排列．2．排列數(shù)排列數(shù)定義及表示從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，記作____________排列數(shù)公式乘積式Aeq\o\al(m,n)＝____________階乘式Aeq\o\al(m,n)＝________________________排列數(shù)的性質Aeq\o\al(n,n)＝________；Aeq\o\al(0,n)＝________，0?。?知識點三組合1．組合一般地，從n個不同的元素中，任取m(m≤n)個元素為一組，叫作從n個不同的元素中取出m個元素的一個組合．2．組合數(shù)(1)組合數(shù)定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的____________，叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號________表示．(2)組合數(shù)公式組合數(shù)公式乘積形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝______________階乘形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)備注n，m∈N＋，且m≤n，規(guī)定Ceq\o\al(0,n)＝________特別提醒：1.排列組合綜合題的一般解法一般堅持先組后排的原則，即先選元素后排列，同時注意按元素性質分類或按事件的發(fā)生過程分類．2．解決有限制條件的排列、組合問題的一般策略(1)特殊元素優(yōu)先安排的策略．(2)正難則反，等價轉化的策略．(3)相鄰問題捆綁處理的策略．(4)不相鄰問題插空處理的策略．(5)定序問題除法處理的策略．(6)“小集團”排列問題中先整體后局部的策略．(7)平均分組問題，除法處理的策略．(8)構造模型的策略．類型一兩個計數(shù)原理的應用命題角度1“類中有步”的計數(shù)問題例1電視臺在某節(jié)目中拿出兩個信箱，其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎確定幸運觀眾，若先確定一名幸運之星，再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴，有________種不同的結果．反思與感悟用流程圖描述計數(shù)問題，類中有步的情形如圖所示：具體意義如下：從A到B算作一件事的完成，完成這件事有兩類辦法，在第1類辦法中有3步，在第2類辦法中有2步，每步的方法數(shù)如圖所示．所以，完成這件事的方法數(shù)為m1m2m3＋m4m5，“類”與“步”可進一步地理解為：“類”用“＋”號連接，“步”用“×”號連接，“類”獨立，“步”連續(xù)，“類”標志一件事的完成，“步”缺一不可．跟蹤訓練1現(xiàn)有4種不同顏色，要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()A．24種B．30種C．36種D．48種命題角度2“步中有類”的計數(shù)問題例2有4位同學在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項目的測試，每位同學上、下午各測試一個項目，且不重復．若上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目，其余項目上、下午都各測一人，則不同的安排方式共有________種．(用數(shù)字作答)反思與感悟用流程圖描述計數(shù)問題，步中有類的情形如圖所示：從計數(shù)的角度看，由A到D算作完成一件事，可簡單地記為A→D.完成A→D這件事，需要經(jīng)歷三步，即A→B，B→C，C→D.其中B→C這步又分為三類，這就是步中有類．其中mi(i＝1,2,3,4,5)表示相應步的方法數(shù)．完成A→D這件事的方法數(shù)為m1(m2＋m3＋m4)m5.以上給出了處理步中有類問題的一般方法．跟蹤訓練2如圖所示，使電路接通，開關不同的開閉方式共有()A．11B．12C．20D．21類型二排列與組合的綜合應用命題角度1不同元素的排列、組合問題例3有4張分別標有數(shù)字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標有數(shù)字1,2,3,4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行．如果取出的4張卡片所標的數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有多少種？反思與感悟(1)解排列、組合綜合問題的一般思路是“先選后排”，也就是先把符合題意的元素都選出來，再對元素或位置進行排列．(2)解排列、組合綜合問題時的注意點①元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法，無序的問題是組合問題，有序的問題是排列問題．②對于有多個限制條件的復雜問題，應認真分析每個限制條件，然后再考慮是分類還是分步，這是處理排列、組合綜合問題的一般方法．跟蹤訓練3從1,3,5,7,9中任取3個數(shù)字，從0,2,4,6,8中任取2個數(shù)字，一共可以組成多少個沒有重復數(shù)字的五位偶數(shù)？命題角度2含有相同元素的排列、組合問題例4今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加區(qū)分，將這9個球排成一列，有________種不同的方法．反思與感悟針對對部分元素相同的n個不同元素進行排列的問題，有兩種解決方法：(1)先把這些元素看作全不相同的元素進行排列，再設法消去相同元素的順序．(2)從位置進行分析，因為位置全不相同，可以分別給相同的每一類元素找位置．跟蹤訓練4為減輕學生經(jīng)濟負擔且又能滿足學生求知要求，某班級利用班費買了4本相同的數(shù)學資料書、3本相同的外語資料書、2本相同的物理資料書作為班級圖書供同學們學習使用．現(xiàn)有8人去借閱圖書，每人只能借閱一本，則有多少種借閱方法？1．李芳有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有兩套不同樣式的連衣裙．“五一”節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出，則李芳的不同的選擇方式有()A．24種 B．14種C．10種 D．9種2．設4名學生報名參加同一時間安排的3項課外活動的可能結果有a種，這4名學生在運動會上共同爭奪100米、跳遠、鉛球3項比賽的冠軍的可能結果有b種，則(a，b)為()A．(34,34) B．(43,34)C．(34,43) D．(Aeq\o\al(3,4)，Aeq\o\al(3,4))3．三位數(shù)中，如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都小，則稱這個數(shù)為凹數(shù)，如524,746等都是凹數(shù)，那么，各個數(shù)位上無重復數(shù)字的三位凹數(shù)有()A．72個 B．120個C．240個 D．360個4．某電視臺連續(xù)播放5個廣告，其中有3個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益宣傳廣告，要求最后播放的必須是公益宣傳廣告，且2個公益宣傳廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有________種．5．已知xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6，則滿足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2的數(shù)組(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的個數(shù)為________．1．解排列、組合綜合題一般是先選元素、后排元素，或充分利用元素的性質進行分類、分步，再利用兩個基本計數(shù)原理作最后處理．2．對于較難直接解決的問題則可用間接法，但應做到不重不漏．3．對于分配問題，解題的關鍵是要搞清楚事件是否與順序有關，對于平均分組問題更要注意順序，避免計數(shù)的重復或遺漏．

答案精析知識梳理知識點一1．m1＋m2＋…＋mn2．m1×m2×…×mn知識點二1．不同順序2．Aeq\o\al(m,n)n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)eq\f(n！,n－m！)(n，m∈N＋，m≤n)n！1知識點三2．(1)所有組合的個數(shù)Ceq\o\al(m,n)(2)eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)1題型探究例解析在甲箱或乙箱中抽取幸運之星，決定了后邊選幸運伙伴是不同的，故要分兩類分別計算：(1)幸運之星在甲箱中抽，先確定幸運之星，再在兩箱中各確定一名幸運伙伴，有30×29×20＝17400(種)結果；(2)幸運之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11400(種)結果．因此共有17400＋11400＝28800(種)不同結果．跟蹤訓練1D例2264跟蹤訓練2D例3解分三類：第一類，當取出的4張卡片分別標有數(shù)字1,2,3,4時，不同的排法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)種．第二類，當取出的4張卡片分別標有數(shù)字1,1,4,4時，不同的排法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)種．第三類，當取出的4張卡片分別標有數(shù)字2,2,3,3時，不同的排法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)種．故滿足題意的所有不同的排法種數(shù)為Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)＋2Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＝432.跟蹤訓練3解(1)五位數(shù)中不含數(shù)字0.第1步，選出5個數(shù)字，共有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,4)種選法．第2步，排成偶數(shù)——先排末位數(shù)，有Aeq\o\al(1,2)種排法，再排其他四位數(shù)字，有Aeq\o\al(4,4)種排法．所以N1＝Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4).(2)五位數(shù)中含有數(shù)字0.第1步，選出5個數(shù)字，共有Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(1,4)種選法．第2步，排順序又可分為兩小類：①末位排0，有Aeq\o\al(1,1)·Aeq\o\al(4,4)種排列方法；②末位不排0.這時末位數(shù)有Ceq\o\al(1,1)種選法，而因為0不能排在首位，所以首位有Aeq\o\al(1,3)種排法，其余3個數(shù)字則有Aeq\o\al(3,3)種排法．所以N2＝Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(1,4)(Aeq\o\al(1,1)·Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3))．所以符合條件的偶數(shù)個數(shù)為N＝N1＋N2＝Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,4)(Aeq\o\al(1,1)Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3))＝4560.例41260跟蹤訓練4解第一類：剩下的一本書是數(shù)學資料書，此時相當于把8個人分成個數(shù)分別為3,3,2的三堆，這三堆分別借閱數(shù)學、外語、物理資料書，其借法共有Ceq\o\al(3,8)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2)＝560(種)．第二類：剩下的一本書是外語資料書，此時相當于把8個人分成個數(shù)分別為4