2025年金融數(shù)學(xué)試題及答案（一）帶連續(xù)紅利的歐式期權(quán)定價(jià)問題某股票當(dāng)前價(jià)格為100元，執(zhí)行價(jià)格為105元的歐式期權(quán)剩余期限為6個(gè)月（即0.5年）。已知無風(fēng)險(xiǎn)利率（連續(xù)復(fù)利）為3%，該股票的連續(xù)紅利收益率為2%，波動(dòng)率為25%。要求計(jì)算歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的理論價(jià)格。解答過程：帶連續(xù)紅利的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式為：看漲期權(quán)價(jià)格\(C=S_0e^{-qT}N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)\)看跌期權(quán)價(jià)格\(P=Ke^{-rT}N(-d_2)-S_0e^{-qT}N(-d_1)\)其中：\(d_1=\frac{\ln(S_0/K)+(r-q+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}\)\(d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}\)代入?yún)?shù)：\(S_0=100\)，\(K=105\)，\(r=0.03\)，\(q=0.02\)，\(\sigma=0.25\)，\(T=0.5\)。首先計(jì)算\(d_1\)和\(d_2\)：分子部分：\(\ln(100/105)+(0.03-0.02+0.25^2/2)\times0.5\)\(\ln(0.9524)\approx-0.0488\)，\(0.01+0.03125=0.04125\)，\(0.04125\times0.5=0.020625\)，因此分子為\(-0.0488+0.020625=-0.028175\)。分母：\(0.25\times\sqrt{0.5}\approx0.25\times0.7071\approx0.1768\)。故\(d_1=-0.028175/0.1768\approx-0.1593\)。\(d_2=-0.1593-0.1768\approx-0.3361\)。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表（或使用近似公式）：\(N(-0.1593)\approx1-N(0.1593)\approx1-0.5636=0.4364\)（\(N(0.16)\approx0.5636\)）；\(N(-0.3361)\approx1-N(0.3361)\approx1-0.6328=0.3672\)（\(N(0.34)\approx0.6331\)，近似取0.6328）。計(jì)算看漲期權(quán)價(jià)格：\(S_0e^{-qT}=100\timese^{-0.02\times0.5}\approx100\times0.99005=99.005\)；\(Ke^{-rT}=105\timese^{-0.03\times0.5}\approx105\times0.98511=103.436\)；\(C=99.005\times0.4364-103.436\times0.3672\approx43.26-37.98\approx5.28\)元。看跌期權(quán)價(jià)格：\(N(-d_2)=0.3672\)，\(N(-d_1)=0.4364\)；\(P=103.436\times0.3672-99.005\times0.4364\approx37.98-43.26\approx-5.28\)，但看跌期權(quán)價(jià)格非負(fù)，實(shí)際應(yīng)為\(P=103.436\times(1-N(0.3361))-99.005\times(1-N(0.1593))\)，即\(103.436\times0.3672-99.005\times0.4364\approx5.28\)元（根據(jù)看漲-看跌平價(jià)關(guān)系\(C-P=S_0e^{-qT}-Ke^{-rT}\)，驗(yàn)證得\(5.28-P=99.005-103.436\approx-4.431\)，故\(P=5.28+4.431\approx9.71\)元，之前符號(hào)錯(cuò)誤，正確計(jì)算應(yīng)為\(N(-d_2)=0.3672\)，\(N(-d_1)=0.4364\)，因此\(P=103.436\times0.3672-99.005\times0.4364\approx37.98-43.26=-5.28\)，顯然錯(cuò)誤，正確應(yīng)為\(P=Ke^{-rT}N(-d_2)+S_0e^{-qT}(N(-d_1)-1)\)，實(shí)際正確公式為\(P=Ke^{-rT}(1-N(d_2))-S_0e^{-qT}(1-N(d_1))\)，即\(103.436\times(1-0.6328)-99.005\times(1-0.5636)\approx103.436\times0.3672-99.005\times0.4364\approx37.98-43.26=-5.28\)，這說明之前\(d_1\)計(jì)算有誤。重新計(jì)算\(d_1\)：\(\ln(100/105)=\ln(0.95238)\approx-0.04879\)；\((r-q+\sigma^2/2)T=(0.03-0.02+0.0625/2)\times0.5=(0.01+0.03125)\times0.5=0.04125\times0.5=0.020625\)；分子：\(-0.04879+0.020625=-0.028165\)；分母：\(0.25\times\sqrt{0.5}\approx0.176777\)；\(d_1=-0.028165/0.176777\approx-0.1593\)（正確）；\(d_2=d_1-0.25\times\sqrt{0.5}\approx-0.1593-0.1768\approx-0.3361\)（正確）。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中，\(N(-0.1593)\)更精確的計(jì)算：使用泰勒展開近似\(N(x)=0.5+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{40}-\cdots)\)，當(dāng)\(x=-0.1593\)，取絕對(duì)值\(x=0.1593\)，則\(N(0.1593)\approx0.5+0.39894\times(0.1593-0.1593^3/6)\approx0.5+0.39894\times(0.1593-0.00068)\approx0.5+0.39894\times0.1586\approx0.5+0.0633\approx0.5633\)，故\(N(-0.1593)=1-0.5633=0.4367\)。同理，\(N(-0.3361)\)，\(x=0.3361\)，\(N(0.3361)\approx0.5+0.39894\times(0.3361-0.3361^3/6)\approx0.5+0.39894\times(0.3361-0.0063)\approx0.5+0.39894\times0.3298\approx0.5+0.1316\approx0.6316\)，故\(N(-0.3361)=1-0.6316=0.3684\)。重新計(jì)算看漲期權(quán)：\(C=99.005\times0.4367-103.436\times0.3684\approx43.24-38.11\approx5.13\)元?？吹跈?quán)根據(jù)平價(jià)公式\(C+Ke^{-rT}=P+S_0e^{-qT}\)，即\(P=C+Ke^{-rT}-S_0e^{-qT}\approx5.13+103.436-99.005\approx9.56\)元（更準(zhǔn)確）。（二）Vasicek模型下的零息債券定價(jià)問題假設(shè)短期利率\(r_t\)滿足Vasicek隨機(jī)微分方程：\(dr_t=\kappa(\theta-r_t)dt+\sigmadW_t\)，其中風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下參數(shù)為\(\kappa=0.8\)，\(\theta=0.05\)，\(\sigma=0.02\)，當(dāng)前短期利率\(r_0=0.04\)，剩余期限\(T=2\)年。要求計(jì)算該零息債券的理論價(jià)格。解答過程：Vasicek模型中，零息債券價(jià)格\(P(t,T)\)的表達(dá)式為：\(P(t,T)=A(t,T)e^{-B(t,T)r_t}\)其中：\(B(t,T)=\frac{1-e^{-\kappa(T-t)}}{\kappa}\)\(A(t,T)=\exp\left[\left(\theta-\frac{\sigma^2}{2\kappa^2}\right)(B(t,T)-(T-t))-\frac{\sigma^2B(t,T)^2}{4\kappa}\right]\)代入\(t=0\)，\(T=2\)，計(jì)算\(B(0,2)\)：\(B(0,2)=\frac{1-e^{-0.8\times2}}{0.8}=\frac{1-e^{-1.6}}{0.8}\approx\frac{1-0.2019}{0.8}\approx\frac{0.7981}{0.8}\approx0.9976\)。計(jì)算\(A(0,2)\)的指數(shù)部分：第一部分：\(\left(0.05-\frac{0.02^2}{2\times0.8^2}\right)\times(0.9976-2)\)\(\frac{0.0004}{2\times0.64}=\frac{0.0004}{1.28}\approx0.0003125\)，故\(0.05-0.0003125=0.0496875\)；\(0.9976-2=-1.0024\)，第一部分為\(0.0496875\times(-1.0024)\approx-0.0498\)。第二部分：\(-\frac{0.02^2\times0.9976^2}{4\times0.8}\approx-\frac{0.0004\times0.9952}{3.2}\approx-\frac{0.000398}{3.2}\approx-0.000124\)?？傊笖?shù)部分：\(-0.0498-0.000124\approx-0.049924\)，故\(A(0,2)=e^{-0.049924}\approx0.9513\)。因此，零息債券價(jià)格\(P(0,2)=0.9513\timese^{-0.9976\times0.04}\approx0.9513\timese^{-0.0399}\approx0.9513\times0.9607\approx0.914\)（即面值1元的債券價(jià)格約為0.914元，或面值100元的債券價(jià)格約為91.4元）。（三）Merton結(jié)構(gòu)化模型下的違約概率計(jì)算某公司當(dāng)前價(jià)值\(V_0=5000\)萬元，1年后需償還債務(wù)面值\(D=4500\)萬元。假設(shè)公司價(jià)值\(V_t\)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)\(dV_t=\muV_tdt+\sigmaV_tdW_t\)，其中風(fēng)險(xiǎn)中性下\(\mu=r=3\%\)（連續(xù)復(fù)利），公司價(jià)值波動(dòng)率\(\sigma=20\%\)。要求計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)中性下的違約概率。解答過程：在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下，公司價(jià)值\(V_T\)的分布為對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即\(\lnV_T\simN\left(\lnV_0+(r-\sigma^2/2)T,\sigma^2T\right)\)。違約發(fā)生在\(V_T<D\)，即\(\lnV_T<\lnD\)。標(biāo)準(zhǔn)化后：\(\frac{\lnV_T-\left(\lnV_0+(r-\sigma^2/2)T\right)}{\sigma\sqrt{T}}<\frac{\lnD-\left(\lnV_0+(r-\sigma^2/2)T\right)}{\sigma\sqrt{T}}\)令\(d_2=\frac{\ln(V_0/D)+(r-\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}\)，則違約概率為\(P(V_T<D)=N(-d_2)\)。代入?yún)?shù)：\(V_0=5000\)，\(D=4500\)，\(r=0.03\)，\(\sigma=0.2\)，\(T=1\)。計(jì)算\(\ln(V_0/D)=\ln(5000/4500)=\ln(1.1111)\approx0.1054\)；\((r-\sigma^2/2)T=(0.03-0.04/2)\times1=0.03-0.02=0.01\)；分子：\(0.1054+0.01=0.1154\)；分母：\(0.2\times\sqrt{1}=0.2\)；故\(d_2=0.1154/0.2=0.577\)。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，\(N(0.577)\approx0.718\)（\(N(0.58)\approx0.7190\)，\(N(0.57)\approx0.7157\)，線性插值得約0.718），因此違約概率\(N(-d_2)=1-0.718=0.282\)，即28.2%。（四）風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）與期望損失（ES）的計(jì)算某投資組合的日收益率\(R_t\)服從正態(tài)分布\(N(\mu=0.05\%,\sigma=1.2\%)\)。要求計(jì)算95%置信水平下的1日VaR（以損失為正）和ES。解答過程：VaR（ValueatRisk）是指在一定置信水平下，未來一定時(shí)間內(nèi)的最大可能損失。對(duì)于正態(tài)分布，95%置信水平下的VaR滿足\(P(R_t\leq-VaR)=5\%\)。標(biāo)準(zhǔn)化后，\(\frac{R_t-\mu}{\sigma}\leq\frac{-\text{VaR}-\mu}{\sigma}\)，記\(z_{\alpha}\)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的\(\alpha\)分位數(shù)（\(\alpha=5\%\)時(shí)，\(z_{0.05}\approx-1.645\)），則：\(\frac{-\text{VaR}-\mu}{\sigma}=z_{0.05}\)解得：\(\text{VaR}=-(\mu+z_{0.05}\sigma)\)代入數(shù)據(jù)：\(\mu=0.0005\)，\(\sigma=0.012\)，\(z_{0.05}=-1.645\)，\(\text{VaR}=-(0.0005+(-1.645)\times0.012)=-(0.0005-0.01974)=0.01924\)，即1.924%。期望損失（ES）是指損失超過VaR時(shí)的條件期望，對(duì)于正態(tài)分布，ES的計(jì)算公式為：\(\text{ES}=\mu+\sigma\cdot\frac{\phi(z_{\alpha})}{1-\alpha}\)其中\(zhòng)(\phi(z)\)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，\(\phi(z_{\alpha})=\phi(-1.645)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(-1.645)^2/2}\approx0.1031\)。代入計(jì)算：\(\text{ES}=0.0005+0.012\times\frac{0.1031}{0.95}\approx0.0005+0.012\times0.1085\approx0.0005+0.00130\approx0.0018\)？顯然錯(cuò)誤，正確公式應(yīng)為當(dāng)損失定義為\(-R_t\)，則\(R_t\leq-VaR\)對(duì)應(yīng)\(-R_t\geqVaR\)，此時(shí)ES為\(E[-R_t|-R_t\geqVaR]=E[-R_t|R_t\leq-VaR]=-E[R_t|R_t\leq-VaR]\)。對(duì)于正態(tài)分布\(R_t\simN(\mu,\sigma^2)\)，條件期望\(E[R_t|R_t\leqa]=\mu-\sigma\cdot\frac{\phi((a-\mu)/\sigma)}{1-N((a-\mu)/\sigma)}\)。此處\(a=-VaR\)，且\((a-\mu)/\sigma=z_{\alpha}\)，故\(E[R_t|R_t\leq-VaR]=\mu+\sigma\cdot\frac{\phi(z_{\alpha})}{1-N(z_{\alpha})}\)（因\(z_{\alpha}=(a-\mu)/\sigma\)，\(a=\mu+z_{\alpha}\sigma\)）。因此，\(\text{ES}=-E[R_t|R_t\leq-VaR]=-\left(\mu+\sigma\cdot\frac{\phi(z_{\alpha})}{1-\alpha}\right)\)（因\(1-N(z_{\alpha})=\alpha\)，此處\(\alpha=5\%\)，故\(1-\alpha=95\%\)，之前符號(hào)錯(cuò)誤）。正確計(jì)算：\(\phi(z_{\alpha})=\phi(-1.645)\approx0.1031\)，\(\text{ES}=-\left(0.0005+0.012\times\frac{0.1031}{0.05}\right)=-\left(0.0005+0.012\times2.062\right)=-\left(0.0005+0.02474\right)=-0.02524\)，取絕對(duì)值為2.524%（因ES是損失的期望，故為正）。（五）隨機(jī)微分方程的求解與應(yīng)用考慮股票價(jià)格過程\(S_t\)滿足隨機(jī)微分方程\(dS_t=\muS_tdt+\sigmaS_tdW_t\)，其中\(zhòng)(\mu=8\%\)，\(\sigma=30\%\)，初始價(jià)格\(S_0=80\)元。要求：（1）推導(dǎo)\(S_t\)的顯式表達(dá)式；（2）計(jì)算\(E[S_t]\)和\(\text{Var}(S_t)\)。解答過程：（1）該方程為幾何布朗運(yùn)動(dòng)（GBM），其解可通過伊藤引理推導(dǎo)。令\(X_t=\lnS_t\)，應(yīng)用伊藤引理：\(dX_t=\frac{\partialX}{\partialS}dS_t+\frac{1}{2}\frac{\partial^2X}{\partialS^2}(dS_t)^2\)\(\frac{\partialX}{\partialS}=1/S\)，\(\frac{\partial^2X}{\partialS^2}=-1/S^2\)，\((dS_t)^2=(\sigmaS_tdW_t)^2=\sigma^2S_t^2dt\)（因\((dW_t)^2=dt\)）。代入得：\(dX_t=\frac{1}{S_t}(\muS_tdt+\sigmaS_tdW_t)+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{S_t^2}\right)\sigma^2S_t^2dt\)\(=\mudt+\sigmadW_t-\frac{\sigma^2}{2}dt\)\(=\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)dt+\sigmadW_t\)積分得\(X_t=X_0+\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)t+\sigmaW_t\)，即\(\lnS_t=\lnS_0+\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)t+\sigmaW_t\)，因此：\(S_t=S_0\exp\left(\left(\mu-\frac{\sigma^2}