第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年江蘇省南京師大附屬實驗學校高一（下）期中數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.計算(1?i)2的結果是(

)A.2 B.2i C.?2 D.?2i2.在△ABC中，已知a=8，B=30°，C=105°，則b等于(

)A.323 B.43 C.43.已知平面向量a=(2,x?1)，b=(6,2?x)，若向量a與b共線，則x=(

)A.?2 B.54 C.2 D.4.如圖，已知AB=3BP，用OA，OB表示OP，則OP等于(

)A.13OA?43OB

B.15.已知菱形ABCD的邊長是2，E為AB的中點，則EC?ED=A.32 B.32 C.6.已知△ABC的三內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設向量m=(a,b),n=(cosB,cosA)，若m//n，則A.直角三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形7.若e1,e2是一組基底，向量m=xe1+ye2，則稱(x,y)為向量m在基底e1,e2A.(2,?1) B.(1,?2) C.(?1,2) D.(?2,1)8.在平面直角坐標系中，角α與β的頂點均為坐標原點O，始邊均為x軸的非負半軸.若角α的終邊與單位圓交于點P(35,45)，將OP繞原點O按逆時針方向旋轉π3A.3?4310 B.3+4310二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.復數z=2+i1?i，i為虛數單位，則下列結論正確的是(

)A.|z|=102 B.z的共軛復數為32+12i

10.已知向量a=(1,3),b=(2,?4)，則下列結論正確的是A.(a+b)⊥a B.|2a+b|=10

C.向量a11.下列等式正確的是(

)A.2sin222.5°?1=?22 B.tan71°?tan26°三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知i為虛數單位，x，y∈R，若(x?i)i=y?2i，則x+y=______．13.已知向量a與b的夾角為120°，且|a|=|b|=4，那么14.函數f(x)=cos2x?6cosx+1的值域是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復數z=(2+i)m2?3(i+1)m?2(1?i)，根據下列條件求實數m的值．

(1)z是實數；

(2)z是純虛數；

(3)z16.(本小題15分)

已知|a|=4，|b|=2，且a與b的夾角為120°，求：

(1)|2a?b|；

(2)17.(本小題15分)

已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，且bcosA?33asinB=0．

(1)求A；

(2)若c=3，且△ABC的面積為318.(本小題17分)

已知向量a=(1,3)，b=(sinα,cosα)．

(1)若a//b，求tan(α+π19.(本小題17分)

如圖，已知扇形AOB的圓心角為π3，半徑為1，C是弧AB上任意一點，作矩形CDEF內接于該扇形．

(1)設∠AOC=α，試用α表示矩形CDEF的面積，并指出α的取值范圍；

(2)點C在什么位置時，矩形CDEF的面積最大？并說明理由．

參考答案1.D

2.D

3.B

4.C

5.D

6.D

7.A

8.A

9.AD

10.AC

11.ABD

12.?1

13.?8

14.[?4,8]

15.(1)由題意z=(2+i)m2?3(i+1)m?2(1?i)=(2m2?3m?2)+(m2?3m+2)i

=(2m+1)(m?2)+(m?1)(m?2)i，

若z是實數，則(m?1)(m?2)=0，解得m=1或m=2；

(2)若z是純虛數，則(2m+1)(m?2)=0且(m?1)(m?2)≠0，解得m=?12；

(3)若z在復平面內對應的點在第二象限，則(2m+1)(m?2)<016.解：(1)根據題意，|a|=4，|b|=2，且a與b的夾角為120°，

則(2a?b)2=4a2?2×2a?b+b2=64?4×4×2×cos120°+4=84，

變形可得|2a?17.(1)根據題意可知，bcosA?33asinB=0，由正弦定理得sinBcosA?33sinAsinB=0，

∵B∈(0,π)，可得sinB>0，∴cosA?33sinA=0，

若cosA=0，則sinA=0，不合題意，故cosA≠0，∴tanA=3，

又∵A∈(0,π)，∴A=π3；

(2)∵△ABC的面積為332，可得12bcsinA=318.(1)已知向量a=(1,3)，b=(sinα,cosα)．

又a//b，

所以3sinα=cosα，

所以tanα=sinαcosα=33，

19.(1)由題意∠AOC=α(0<α<π3)，

則CF=DE=sinα，OF=cosα，

在Rt△ODE中，OE=DEtanπ3=