《等腰三角形（第二課時）》等腰三角形的性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）.等腰三角形的性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡寫成“三線合一”）.等腰三角形有哪些性質(zhì)？知識回顧1.理解等腰三角形的判定，體會等腰三角形“等邊對等角”和“等角對等邊”的區(qū)別.2.探索并掌握等腰三角形的判定的過程，并用以解決實際問題.學習目標我們知道，如果有一個三角形有兩條邊相等，那么它們所對的角相等.反過來，如果一個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊有什么關系？猜想：如果一個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊相等.你能證明這個結論嗎？課堂導入證明：如圖，作∠BAC的平分線AD交BC于點D，∴∠BAD=∠CAD.∵在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（AAS）.∴

AB=AC.

如圖，在△ABC中，

∠B=∠C.求證：AB=AC.ACBD等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）.幾何語言：如圖，在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC.ABC知識點等腰三角形的判定

應用“等角對等邊”的前提條件是在同一個三角形中.新知探究“等邊對等角”與“等角對等邊”的區(qū)別：等腰三角形的性質(zhì)：兩邊相等這兩邊所對的角相等等腰三角形的判定：兩角相等這兩角所對的邊相等例1求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形.分析：命題的證明首先需要將命題轉化為已知、求證的格式，再要根據(jù)題意畫出圖形，最后證明結論的成立.已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD//BC.求證：AB=AC.ABCDE12證明：∵AD//BC，

∴∠1=∠B,∠2=∠C.∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC.ABCDE12AB//CD，∠1=∠2∠1=∠B,∠2=∠C∠B=∠CAB=

AC作法：（1）作線段AB=a.（2）作線段AB的垂直平分線MN，與AB相交于點D.（3）在MN上取一點C，使得DC=h.（4）連接AC，BC.則△ABC就是所求作的等腰三角形.例2已知等腰三角形底邊長為a，底邊上的高的長為h，求作這個等腰三角形.ahABCDMN解：∵在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=72°.∵∠DBC=36°，

∴∠2=∠ABC-∠DBC=36°.∵∠1=∠A+∠2=72°，∴AD=BD=BC，AB=AC.圖中的等腰三角形有△ABC，△ABD，△BCD.如圖,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,分別計∠1,∠2的度數(shù),并說明圖中有哪些等腰三角形.21ACDB跟蹤訓練新知探究1.如圖，∠A=∠B，CE//DA，CE交AB于點E.求證：△CEB是等腰三角形.證明：∵CE//DA，∴∠A=∠CEB.

∵∠A=∠B，

∴∠CEB=∠B.

∴CE=CB，則△CEB是等腰三角形.

DAECBCE//DA∠CEB=∠A∠A=∠B∠CEB=∠B隨堂練習2.如圖，AC和BD相交于點O，且AB//DC，OA=OB.求證：OC=OD.

證明：∵AB//DC，∴∠A=∠C，∠B=∠D.∵OA=OB，∴∠A=∠B，則∠C=∠D.∴OC=OD.DOCBAAB//DC∠C=∠A，∠B=∠D∠C=∠DOA=OB∠A=∠B3.如圖，AD//BC，BD平分∠ABC.求證：AB=AD.證明：∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.

∵AD//BC，∴∠ADB=∠CBD.∴∠ABD=∠ADB.

∴AB=AD.ABCD本題中隱含著一個常用的二級結論：角平分線+平行線可以推出等腰三角形.等腰三角形判定綜合應用如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等將等腰三角形的性質(zhì)和判定綜合應用在解決實際問題中課堂小結如圖，在△ABC中，BA=BC，點D是AB延長線上一點，DF⊥AC于點F，交BC于點E.求證：△DBE是等腰三角形.BA=BC∠A=∠C∠D=∠FEC∠D=∠BED△DBE是等腰三角形等邊對等角等角的余角相等對頂角相等等角對等邊拓展提升證明：∵BA=BC，∴∠A=∠C.∵DF⊥AC，∴∠DFA=∠EFC=90，即∠A+∠D=90°，∠C+∠FEC=90°，∴∠D=∠FEC.∵∠BED=∠FEC，∴∠D=∠BED，∴BE=BD，即△DBE是等腰三角形.如圖，在△ABC中，BA=BC，點D是AB延長線上一點，DF⊥AC于點F，交BC于點E.求證：△DBE是等腰三角形.

等腰三角形判定1234567891.

【教材第79頁練習第1題改編】如圖所示，共有等腰三角形(

B

)A.

4個B.

5個C.

3個D.

2個B【解析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得∠

ABO

＝∠

DCO

＝36°，根據(jù)三

角形的外角的性質(zhì)，得∠

AOB

＝∠

COD

＝72°.再根據(jù)等角對等邊，得

等腰三角形有△

AOB

，△

COD

，△

ABC

，△

CBD

和△

BOC

，共5個.1234567892.

求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這

個三角形是等腰三角形.已知：如圖，∠

CAE

是△

ABC

的外角，∠1＝∠2，

AD

∥

BC

.

求證：

AB

＝

AC

.

以下是排亂的證明過程：①又∵∠1＝∠2；②∠

B

＝∠

C

；③

AD

∥

BC

；④∠1＝∠

B

，∠2＝∠

C

；⑤

AB

＝

AC

.

123456789證明步驟正確的順序是(

B

)A.

③→②→①→④→⑤B.

③→④→①→②→⑤C.

①→②→④→③→⑤D.

①→④→③→②→⑤B1234567893.

如圖，在等腰三角形

ABC

中，

AB

＝

AC

，

BE

平分∠

ABC

，

CE

平

分∠

ACB

，過點

E

作

DF

∥

BC

，若

AB

＝2

cm，則△

ADF

的周長為

?.4cm

1234567894.

如圖，已知∠

C

＝∠

D

＝90°，

AC

與

BD

交于點

O

，

AC

＝

BD

.

(1)求證：

BC

＝

AD

；

123456789(2)求證：點

O

在線段

AB

的垂直平分線上.證明：(2)∵Rt△

ACB

≌Rt△

BDA

，∴∠

CAB

＝∠

DBA

.

∴

OA

＝

OB

.

∴點

O

在線段

AB

的垂直平分線上.123456789

尺規(guī)作等腰三角形5.

如圖，已知：線段

a

，∠α.求作：△

ABC

，使∠

A

＝∠α，

AB

＝

AC

，且

BC

邊上的高

AD

＝

a

.(要

求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法與證明)解：如圖所示，△

ABC

即為所求.123456789

6.

(張家口第一中學期末)如圖，

AB

＝

AC

，

AB

的垂直平分線交

AB

于點

D

，交

AC

于點

E

，

BE

恰好平分∠

ABC

，有以下結論：①

ED

＝

EC

；②△

AEB

的周長等于2

AE

＋

EC

；③圖中共有3個等腰三角形；

④∠

A

＝36°.其中正確的共有(

C

)A.

4個B.

3個C.

2個D.

1個C123456789【解析】①由題意可知，

DE

⊥

AB

，

BE

平分∠

ABC

，∴當

EC

⊥

BC

時，有

ED

＝

EC

.

∵

AB

＝

AC

，∴∠

ACB

不可能等于90°.∴

ED

＝

EC

不正確.123456789②∵點

E

在線段

AB

的垂直平分線上，∴

EA

＝

EB

.

∴△

AEB

的周長為

EA

＋

EB

＋

AB

＝

EA

＋

EA

＋

AB

＝2

EA

＋

AB

.

∵

AB

＝

AC

，且

AC

＝

AE

＋

EC

，∴

EA

＋

EB

＋

AB

＝3

AE

＋

EC

.

∴②不正確.123456789③∵

AB

＝

AC

，∴△

ABC

為等腰三角形，∠

C

＝∠

ABC

.

∵

EA

＝

EB

，∴△

EAB

為等腰三角形，∠

A

＝∠

ABE

.

∵

BE

平分∠

ABC

，∴∠

ABE

＝∠

CBE

.

∴∠

C

＝2∠

CBE

.

又∵∠

BEC

＝∠

A

＋∠

ABE

＝2∠

CBE

，∴∠

BEC

＝∠

C

.

∴

BE

＝

BC

.

∴△

BEC

為等腰三角形.123456789∴圖中共有3個等腰三角形.∴③正確.④由③可得∠

BEC

＝∠

C

＝2∠

EBC

，∴2∠

EBC

＋2∠

EBC

＋∠

EBC

＝180°.∴∠

EBC

＝36°.∴∠

A

＝∠

ABE

＝∠

EBC

＝36°.∴④正確.∴正確的有③④，共兩個.1234567897.

如圖，已知在△

ABC

中，

AB

＝3，

AC

＝5，

BC

＝7，在△

ABC

所在

平面內(nèi)的一條直線，將△

ABC

分割成兩個三角形，使其中含

AB

邊的三

角形為等腰三角形，則這樣的直線最多可畫

條.4

123456789【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別利用

AB

為底以及

AB

為腰，得出

符合題意的圖形即可.如圖所示，當

AB

＝

AF

＝3，

BA

＝

BD

＝3，

AB

＝

AE

＝3，

BG

＝

AG

時，都能得到符合題意的等腰三角形.1234567898.

如圖，在△

ABC

中，

AB

＝6，

BD

＝3，

AD

⊥

BC

于點

D

，∠

B

＝

2∠

C

，求

CD

的長.

解：如圖所示，在

DC

上取點

E

，使

BD

＝

DE

，連接

AE

.

∴

AE

＝

AB

.

△

ABE

是等腰三角形.∵∠

B

＝∠

AED

＝∠

C

＋∠

CAE

＝2∠

C

，∴∠

C

＝∠

CAE

.

∴

AE

＝

CE

.

∴

CE

＝

AB

＝6.∴

CD

＝

CE

＋

DE

＝

AB

＋

BD

＝9.12345678