試卷第=page5656頁(yè)，共=sectionpages5757頁(yè)專題05二次函數(shù)綜合壓軸題（21題）1．（2025·江西·中考真題）問題背景：對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果存在自變量時(shí)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，點(diǎn)為該函數(shù)圖象上的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．例如：在函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，，則我們稱函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，點(diǎn)為該函數(shù)圖象上的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．某數(shù)學(xué)興趣小組圍繞該定義，對(duì)一次函數(shù)和二次函數(shù)進(jìn)行了相關(guān)探究．探究1（1）對(duì)一次函數(shù)進(jìn)行探究后，得出下列結(jié)論：①是“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；②是“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，且不動(dòng)點(diǎn)是；③是“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，且有無數(shù)個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．以上結(jié)論中，你認(rèn)為正確的是________（填寫正確結(jié)論的序號(hào)）．（2）若一次函數(shù)是“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，請(qǐng)直接寫出k，b應(yīng)滿足的條件；探究2：（3）對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行探究后，該小組設(shè)計(jì)了以下問題，請(qǐng)你解答．若拋物線的頂點(diǎn)為該函數(shù)圖象上的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求b，c滿足的關(guān)系式．探究3：（4）某種商品每件的進(jìn)價(jià)為6元，在某段時(shí)間內(nèi)，若以每件x元出售，可賣出件，獲得利潤(rùn)y元．請(qǐng)寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，判斷該函數(shù)是否是“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，并說明理由；若該函數(shù)是“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，請(qǐng)聯(lián)系以上情境說明該函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)表達(dá)的實(shí)際意義．2．（2024·江西·中考真題）如圖，一小球從斜坡O點(diǎn)以一定的方向彈出球的飛行路線可以用二次函數(shù)刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫，小球飛行的水平距離x（米）與小球飛行的高度y（米）的變化規(guī)律如下表：x012m4567…y068n…(1)①______，______；②小球的落點(diǎn)是A，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．(2)小球飛行高度y（米）與飛行時(shí)間t（秒）滿足關(guān)系．①小球飛行的最大高度為______米；②求v的值．3．（2023·江西·中考真題）綜合與實(shí)踐問題提出：某興趣小組開展綜合實(shí)踐活動(dòng)：在中，，D為上一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止，以為邊作正方形設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，正方形的而積為S，探究S與t的關(guān)系

(1)初步感知：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，①當(dāng)時(shí)，_______．②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為_______．(2)當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象請(qǐng)根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式及線段的長(zhǎng)．(3)延伸探究：若存在3個(gè)時(shí)刻（）對(duì)應(yīng)的正方形的面積均相等．①_______；②當(dāng)時(shí)，求正方形的面積．4．（2022·江西·中考真題）跳臺(tái)滑雪運(yùn)動(dòng)可分為助滑、起跳、飛行和落地四個(gè)階段，運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖中實(shí)線部分所示），落地點(diǎn)在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，著陸坡上的基準(zhǔn)點(diǎn)K為飛行距離計(jì)分的參照點(diǎn)，落地點(diǎn)超過K點(diǎn)越遠(yuǎn)，飛行距離分越高．2022年北京冬奧會(huì)跳臺(tái)滑雪標(biāo)準(zhǔn)臺(tái)的起跳臺(tái)的高度為，基準(zhǔn)點(diǎn)K到起跳臺(tái)的水平距離為，高度為（h為定值）．設(shè)運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)A起跳后的高度與水平距離之間的函數(shù)關(guān)系為．(1)c的值為__________；(2)①若運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)恰好到達(dá)K點(diǎn)，且此時(shí)，求基準(zhǔn)點(diǎn)K的高度h；②若時(shí)，運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)要超過K點(diǎn)，則b的取值范圍為__________；(3)若運(yùn)動(dòng)員飛行的水平距離為時(shí)，恰好達(dá)到最大高度，試判斷他的落地點(diǎn)能否超過K點(diǎn)，并說明理由．5．（2021·江西·中考真題）二次函數(shù)的圖象交軸于原點(diǎn)及點(diǎn)．感知特例（1）當(dāng)時(shí)，如圖1，拋物線上的點(diǎn)，，，，分別關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)為，，，，，如下表：…（___，___）………①補(bǔ)全表格；②在圖1中描出表中對(duì)稱后的點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖象記為．形成概念我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象上的點(diǎn)和拋物線上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則稱是的“孔像拋物線”．例如，當(dāng)時(shí)，圖2中的拋物線是拋物線的“孔像拋物線”．探究問題（2）①當(dāng)時(shí)，若拋物線與它的“孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著的增大而減小，則的取值范圍為_______；②在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)取不同值時(shí)，通過畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)的所有“孔像拋物線”，都有唯一交點(diǎn)，這條拋物線的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；③若二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個(gè)交點(diǎn)，求的值．6．（2025·江西吉安·一模）某單位汽車停車棚如圖1所示，棚頂?shù)臋M截面可以看作是拋物線的一部分，其中點(diǎn)B為棚頂外沿，為斜拉桿．棚頂?shù)呢Q直高度y(單位：m)與距離停車棚支柱的水平距離x(單位：m)近似滿足函數(shù)關(guān)系其圖象如圖2所示，且點(diǎn)和點(diǎn)在圖象上．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)某個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組研究一輛校車能否在按如圖2所示的停車棚下避雨，他們將校車截面看作長(zhǎng)，高的矩形．通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)校車不能完全停到車棚內(nèi)，請(qǐng)你幫助興趣小組通過計(jì)算說明理由；(3)小俊提出，若要使（2）中的校車能完全停到車棚內(nèi)，且為了安全，需要保證點(diǎn)F與頂棚的豎直距離至少為，現(xiàn)需要將頂棚整體沿支柱（支柱可加長(zhǎng)）向上至少提升，求h的值．7．（2025·江西宜春·二模）如圖（1），在中，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以的速度沿路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以的速度沿運(yùn)動(dòng)．P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)某一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．以為邊在的上方作平行四邊形，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，平行四邊形的面積為（當(dāng)點(diǎn)A，P，Q重合或在一條直線上時(shí)，不妨設(shè)）．探究S與t的關(guān)系．初步感知（1）當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，①若，__________；②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為__________．深入探究（2）當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S關(guān)于t的函數(shù)解析式為，其圖象如圖（2）所示．①的值為__________；②求S關(guān)于t的函數(shù)解析式．延伸探究（3）當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)記為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為，平行四邊形的面積記為；當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)記為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為，平行四邊形的面積記為，．①求與的數(shù)量關(guān)系；②當(dāng)時(shí)，的值為__________．8．（2025·江西贛州·二模）已知拋物線：與軸交于點(diǎn)．其中自變量與函數(shù)值的部分對(duì)應(yīng)值如下表：…12345……0038…(1)拋物線的對(duì)稱軸為直線______，點(diǎn)的坐標(biāo)______；求拋物線的解析式及的值．(2)如圖，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，得到拋物線．拋物線的解析式為______；記拋物線，組合得到的新圖象為，圖象與過點(diǎn)的直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)求出的取值范圍．9．（2025·江西九江·二模）已知二次函數(shù)．(1)求證：該二次函數(shù)的圖象與軸始終有兩個(gè)交點(diǎn)；(2)若該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．①當(dāng)取不同值時(shí)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)均在一個(gè)函數(shù)圖象上，求這個(gè)函數(shù)圖象的解析式；②若①中函數(shù)圖象上的點(diǎn)在直線的上方，寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍，并求點(diǎn)到直線的最大距離．10．（2025·江西吉安·一模）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)，與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．(1)若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，①的值為______；點(diǎn)的坐標(biāo)為______．②______．(2)將拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得到的拋物線恰好經(jīng)過點(diǎn)，求的值．(3)若點(diǎn)，在該拋物線上．①當(dāng)時(shí)，求的值；②在①的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得為等邊三角形，若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．③當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．11．（2025·江西·一模）已知拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，拋物線關(guān)于直線l：對(duì)稱的拋物線記為，點(diǎn)Q為拋物線為的頂點(diǎn)，改變n的值，點(diǎn)Q的位置會(huì)發(fā)生變化，在變化過程中，發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q恰好落在x軸上．(1)則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，；(2)求拋物線的解析式；(3)如果拋物線與相交于點(diǎn)，，且．①直接寫出n的取值范圍：；②求四邊形的面積S（用含n的式子表示）；③當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，求n的值．12．（2025·江西撫州·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐特例感知（1）如圖1，在等腰直角中，D為斜邊的中點(diǎn)，P是斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作與的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，連接，，則，的關(guān)系是______．類比遷移（2）如圖2，在等腰直角中，D為斜邊的中點(diǎn)，P是斜邊延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別與的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，連接，，．求證：是等腰直角三角形．拓展應(yīng)用（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，C是的中點(diǎn)，P是射線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為F，D，連接，，，點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱，連接，．①當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)判斷點(diǎn)E是否在一條直線上運(yùn)動(dòng)．若在，請(qǐng)直接寫出這條直線的解析式；若不在，請(qǐng)說明理由．②設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為x，四邊形的面積為y，求y與x的函數(shù)解析式，并在如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象．13．（2025·江西萍鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等腰三角形中，，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)，拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)把沿軸正方向平移，當(dāng)點(diǎn)落在拋物線上時(shí)，求掃過區(qū)域的面積；(3)在拋物線上是否存在異于點(diǎn)的點(diǎn)，使是以為直角邊的等腰直角三角形?如果存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．14．（2025·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知拋物線：與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，，頂點(diǎn)為D．(1)求此函數(shù)的關(guān)系式；(2)在下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)N，使面積最大？最大面積是多少？(3)E在對(duì)稱軸上，F(xiàn)在拋物線上，若以A，O，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)形成平行四邊形，求出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)．15．（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）拋物線與y軸相交于點(diǎn)與x軸相交于點(diǎn)、，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)在y軸上有一點(diǎn)P，求出使的值最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)的最小值；(3)在（2）的條件下，在第四象限中的拋物線上是否存在一點(diǎn)E，過點(diǎn)E作軸交x軸于點(diǎn)F，使與相似？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．16．（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作直線軸，交直線于點(diǎn)．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)，到直線的距離分別為，．特例感悟（1）若拋物線的頂點(diǎn)為，試解答下列問題．①當(dāng)，直線與軸重合時(shí)，的長(zhǎng)為______，______；②當(dāng)，直線軸，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，的長(zhǎng)為______，______；③當(dāng)，直線的函數(shù)解析式為時(shí)，的長(zhǎng)為______，______．歸納論證（2）根據(jù)上述情況，在，，沒有確定值的情形下，試猜想的長(zhǎng)度與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．拓展應(yīng)用（3）當(dāng)點(diǎn)，的橫坐標(biāo)分別為，，且點(diǎn)在直線下方時(shí)，請(qǐng)利用上述結(jié)論求的最大面積．17．（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，且其頂點(diǎn)為．(1)求二次函數(shù)的解析式及圖象的對(duì)稱軸．(2)把二次函數(shù)的圖象位于直線上方的部分向下翻折，將向下翻折后得到的部分與原二次函數(shù)圖象位于直線下方的部分組合的圖象記作圖象，若直線（為常數(shù)）與圖象有四個(gè)交點(diǎn)，從左到右依次記作，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)．①求的取值范圍；②當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求代數(shù)式的值．18．（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）拋物線：中（是常數(shù)，且），函數(shù)值與自變量x之間的部分對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：x…012…y?…mn…(1)根據(jù)以上信息，可知拋物線開口向，對(duì)稱軸為；(2)求拋物線的解析式及m，n的值；(3)現(xiàn)將拋物線沿x軸翻折，得到拋物線：，試求的解析式；(4)在（3）的條件下，將拋物線向下平移，設(shè)拋物線在平移過程中，頂點(diǎn)為D，與x軸的兩交點(diǎn)為A，B．①在最初的狀態(tài)下，至少向下平移多少個(gè)單位，點(diǎn)A，B之間的距離不少于6個(gè)單位長(zhǎng)度？②在最初的狀態(tài)下，若向下平移個(gè)單位時(shí)，對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)為n，請(qǐng)直接寫出m與n的等量關(guān)系．19．（2025·江西九江·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐問題提出如圖，在中，，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，過點(diǎn)E作，過點(diǎn)P作，點(diǎn)P在點(diǎn)E出發(fā)2秒后出發(fā)，當(dāng)一動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，的面積為S．初步感知（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，解答下列問題：（1）若，則S的值為________；（2）S關(guān)于t的函數(shù)解析式為________．（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖3所示的不完整的圖象．請(qǐng)根據(jù)圖象信息，解答下列問題：①求圖象最高點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出自變量t的取值范圍；②連接，若四邊形是平行四邊形，求S的值．延伸探究（3）當(dāng)時(shí)，是否存在某一時(shí)刻t，使以點(diǎn)A，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．20．（2025·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐：【問題提出】如圖（1）在中，，D為的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿折線D—A—C運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止），以為邊在上方作正方形．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，正方形的面積為y．【初步感悟】（1）當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①若，則_________；②y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為_________；（2）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)y是關(guān)于x的二次函數(shù)，并繪制成如圖（2）所示的函數(shù)圖象，直線是其圖象所在拋物線的對(duì)稱軸，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量的取值范圍）．【延伸探究】（3）當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為___