山西現(xiàn)代雙語學(xué)校南校2025-2026學(xué)年高三年級(jí)開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.某質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，位移（單位：m）與時(shí)間（單位：s）之間的關(guān)系為：，則該質(zhì)點(diǎn)在內(nèi)的平均速度是（）A B. C. D.【答案】A【詳解】由題意可得平均速度是.故選：A2.已知是一個(gè)無窮數(shù)列，“”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】因?qū)τ跀?shù)列，取，顯然不是遞增數(shù)列，所以“”不是“為遞增數(shù)列”的充分條件，若為遞增數(shù)列，則，所以“”是“為遞增數(shù)列”的必要條件，所以“”是“為遞增數(shù)列”的必要而不充分條件，故選：B3.一批產(chǎn)品根據(jù)質(zhì)量指標(biāo)分為正品和次品，且次品率為，隨機(jī)抽取1件，定義則隨機(jī)變量的方差（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】由題意，所以.故選：D4.已知與的數(shù)據(jù)如表所示，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求得關(guān)于的線性回歸方程為，則的值是（）2345A. B. C. D.【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以樣本中心為，將其代入回歸方程，得，解得.故選：C.5.用數(shù)字0，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.30 B.24 C.18 D.12【答案】C【詳解】根據(jù)題意：個(gè)位從和中選擇一個(gè)，百位不能選0，若不含0，則有，若含0則有，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理有：.故選：C.6.的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A.10 B.5 C. D.【答案】D【詳解】展開式的通項(xiàng)為：，令得含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：D7.兩個(gè)不透明的口袋中各自裝有若干個(gè)除顏色外完全相同的小球，A口袋中有2個(gè)白球，3個(gè)黑球，B口袋中有1個(gè)白球，4個(gè)黑球．現(xiàn)從A，B兩個(gè)口袋中各自隨機(jī)抽取2個(gè)球，則四個(gè)球中恰有1個(gè)白球的概率為（）A.0.36 B.0.52 C.0.16 D.0.48【答案】D【詳解】若抽取到的個(gè)白球來自口袋，則概率為.若抽取到的個(gè)白球來自口袋，則概率為.所以四個(gè)球中恰有1個(gè)白球的概率為.故選：D8.已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則的大致圖象是（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】由題意有，又，所以為奇函數(shù)，排除A；又，排除D；由，排除C，故B正確.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.體育鍛煉對(duì)青少年具有促進(jìn)生長(zhǎng)發(fā)育、提升心肺功能、增強(qiáng)免疫力、改善心理狀態(tài)等重要作用．立德中學(xué)高一、高二兩個(gè)年級(jí)學(xué)生參加體育測(cè)試，其中高一男生的成績(jī)與高二男生的成績(jī)均服從正態(tài)分布，且，則下列選項(xiàng)不正確的是（）A. B.的分布比的分布更集中C. D.【答案】BC【詳解】由可知，故A正確；因?yàn)?，所以的分布比的分布更分散，故B不正確；由可知，，故C不正確，由可知，所以，故D正確．故選：BC10.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.數(shù)列是等比數(shù)列C. D.【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以，即，又，不滿足，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，故D正確.故選：ACD11.甲、乙兩個(gè)口袋各裝有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同．把從甲、乙兩個(gè)口袋中各任取一個(gè)球放入對(duì)方口袋中稱為一次操作，重復(fù)n次操作后，甲口袋中恰有0個(gè)紅球，1個(gè)紅球，2個(gè)紅球分別記為事件，，，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【詳解】因在操作前，甲袋中：1紅2白，乙袋中：1紅2白．對(duì)于A項(xiàng)，重復(fù)1次操作，甲口袋中有1紅的概率，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，，，，故，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因事件與相互獨(dú)立，則，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)正確．故選：ABD．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的極小值為__________．【答案】##【詳解】由題意有的定義域?yàn)椋裕钣?，由有，有，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的極小值為.故答案為：.13.現(xiàn)有3箱酸奶，里面都裝有水果味和原味兩種口味，第一箱內(nèi)裝有10袋，其中有2袋是水果味；第二箱內(nèi)裝有15袋，其中有3袋是水果味；第三箱內(nèi)裝有20袋，其中有5袋是水果味．現(xiàn)從三箱中任意選擇一箱，然后從該箱中隨機(jī)取1袋酸奶．取出的酸奶是水果味的概率為______．【答案】【詳解】設(shè)任取1袋酸奶來自第一箱為事件、來自第二箱為事件、來自第二箱為事件，則彼此互斥，且，.設(shè)隨機(jī)取1袋酸奶，取出的酸奶是水果味為事件，則.故答案為：.14.有3名男生和2名女生站成一排照相，要求兩名女生不能相鄰，同時(shí)男生甲不能站在最左邊，女生乙不能站在最中間，滿足條件的站法種數(shù)為______．【答案】50【詳解】先求出兩名女生不能相鄰的站法有種；若兩名女生不能相鄰且男生甲站在最左邊，則滿足題意的站法有種，若兩名女生不能相鄰且女生乙站在最中間，則滿足題意的站法有種，若兩名女生不能相鄰，同時(shí)男生甲站最左邊，女生乙站在最中間，則滿足題意的站法有種，所以滿足條件的站法種數(shù)為種.故答案為：50四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某學(xué)校開設(shè)了具有地方特色的包餃子、園藝、剪紙、種植、非物質(zhì)文化遺產(chǎn)等勞動(dòng)實(shí)踐課程．該校為進(jìn)一步優(yōu)化勞動(dòng)教育課程，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行了一次問卷調(diào)查，了解不同性別的學(xué)生對(duì)已開設(shè)勞動(dòng)課程的滿意情況，得到如下列聯(lián)表：滿意不滿意合計(jì)男生351550女生401050合計(jì)7525100（1）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)已開設(shè)勞動(dòng)課程的滿意情況與學(xué)生性別有關(guān)聯(lián)？參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．（2）從不滿意的學(xué)生中抽取2名學(xué)生進(jìn)行訪談，求至少抽到一名男生的概率．【答案】（1）認(rèn)為該校勞動(dòng)課程與學(xué)生性別沒有有關(guān)聯(lián)．（2）．【小問1詳解】零假設(shè)該校勞動(dòng)課程與學(xué)生性別無關(guān)聯(lián)．，∴根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)說明不成立，即可認(rèn)為該校勞動(dòng)課程與學(xué)生性別沒有有關(guān)聯(lián)．【小問2詳解】記至少抽到一名男生的概率為，則（或），∴至少抽到一名男生的概率為．16.某位同學(xué)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（標(biāo)記為Ⅰ號(hào)和Ⅱ號(hào)），將Ⅰ號(hào)朝上的面的點(diǎn)數(shù)記為，將Ⅱ號(hào)朝上的面的點(diǎn)數(shù)記為，設(shè)事件“為偶數(shù)”，事件“”．（1）判斷事件與是否相互獨(dú)立.若不相互獨(dú)立，求；若相互獨(dú)立，請(qǐng)說明理由；（2）若該同學(xué)連續(xù)拋擲這兩枚骰子3次，設(shè)事件發(fā)生的次數(shù)為，求的分布列與均值．【答案】（1）事件不相互獨(dú)立，（2）分布列見解析，1【小問1詳解】有序數(shù)對(duì)共有36種可能結(jié)果，其中事件“為偶數(shù)”共有18種可能結(jié)果，即，事件，共10種可能結(jié)果，，事件，共6種可能結(jié)果，即，故，則事件不相互獨(dú)立，所以，∴；小問2詳解】事件發(fā)生的概率為：（或者），∴，所以，，的概率分布列為：0123，∴的均值．17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線的在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在定義域上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】（1）；（2）【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即.【小問2詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，由，得，令，依題意直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，，由，得；由，得，函數(shù)在上遞增，函數(shù)值集合為，在上遞減，函數(shù)值集合為，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，觀察圖象，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，所以a的取值范圍是.18.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列為公比大于0的等比數(shù)列，且，．（1）求；（2）若在與之間插入個(gè)1，由此構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，求的值．【答案】（1），；（2）．【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，且，解得，當(dāng)時(shí)，，∴，即，則，∵，則，所以，∴是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，設(shè)數(shù)列的公比為，則，即，解得：，所以；【小問2詳解】根據(jù)題意，在與之間插入個(gè)1，即在1和2之間插入個(gè)1；在2和3之間插入個(gè)1；在3和4之間插入個(gè)1；在4和5之間插入個(gè)1；在5和6之間插入個(gè)1，到6時(shí)，恰好有項(xiàng)，故．19.在一次程序設(shè)計(jì)競(jìng)賽中，需要通過逐一運(yùn)行測(cè)試點(diǎn)方式對(duì)選手編寫的程序進(jìn)行評(píng)測(cè)．評(píng)測(cè)共有6個(gè)測(cè)試點(diǎn)，分為3個(gè)基本功能點(diǎn)與3個(gè)強(qiáng)測(cè)優(yōu)化點(diǎn)．每通過1個(gè)基本功能點(diǎn)，選手將獲得5分；每通過1個(gè)強(qiáng)測(cè)優(yōu)化點(diǎn)，選手將獲得10分．選手最終得分為所有測(cè)試點(diǎn)得分之和．主辦方準(zhǔn)備了兩種評(píng)測(cè)方案，可供選手選擇，每種方案都按確定的次序進(jìn)行評(píng)測(cè)，每個(gè)測(cè)試點(diǎn)只測(cè)試1次．方案一：先測(cè)試3個(gè)基本功能點(diǎn)，在這個(gè)過程中只要有測(cè)試點(diǎn)不通過則終止評(píng)測(cè)；選手通過所有基本功能點(diǎn)后才能測(cè)試3個(gè)強(qiáng)測(cè)優(yōu)化點(diǎn)，在這個(gè)過程中即使有測(cè)試點(diǎn)不通過，也將繼續(xù)測(cè)試，直到所有強(qiáng)測(cè)優(yōu)化點(diǎn)測(cè)試完畢．方案二：選手按1個(gè)基本功能點(diǎn)，1個(gè)強(qiáng)測(cè)功能點(diǎn)，1個(gè)基本功能點(diǎn)……進(jìn)行交叉測(cè)試，過程中出現(xiàn)任何1個(gè)測(cè)試點(diǎn)不通過的情況都立刻終止測(cè)試．小張編寫的程序通過每一個(gè)基本功能點(diǎn)的概率均為，通過每一個(gè)強(qiáng)測(cè)優(yōu)化點(diǎn)的概率均為．每個(gè)測(cè)試點(diǎn)是否通過都相互獨(dú)立，且．（1）若，小張選擇了方案一進(jìn)行評(píng)測(cè).求小張最終得分不少于30分的概率；（2）設(shè)小張的最終得分為隨機(jī)變量為，分別求出方案一與方案二中的分布列；（3）以小張的最終得分的期望為依據(jù)，判斷小張應(yīng)該選擇哪一種方案？【答案】（1）0.013（2）答案見解析（3）答案見解析【小問1詳解】小張最終得分不少于30分，說明小張通過了3個(gè)基本功能點(diǎn)，并至少通過了2個(gè)強(qiáng)測(cè)優(yōu)化點(diǎn)，∴概率為：；【小問2詳解】①若選擇方案一，則，，，，，，故的分布列為：②