臨夏州2024—2025學(xué)年度春季學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)本試卷共4頁，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，若，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【詳解】，，解得.故選：B.2.已知空間向量，若，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】C【詳解】由，有，則，即，解得.故選：C.3.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X0123P0.20.40.30.1若隨機(jī)變量，則（）A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8【答案】A【詳解】由題可得.故選：A4.已知10個(gè)成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示，并對(duì)進(jìn)行線性回歸分析.若在此圖中去掉點(diǎn)后，再次對(duì)進(jìn)行線性回歸分析，則下列說法正確的是（）A.相關(guān)系數(shù)變大 B.變量與的線性相關(guān)程度變低C.相關(guān)系數(shù)變小 D.變量與呈負(fù)相關(guān)【答案】A【詳解】去掉點(diǎn)后，散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布更接近一條直線，因此變量與的線性相關(guān)程度變強(qiáng)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由散點(diǎn)圖，點(diǎn)分布從左下角到右上角，故變量與呈正相關(guān)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；因?yàn)樽兞颗c呈正相關(guān)，且相關(guān)性變強(qiáng)，所以相關(guān)系數(shù)變大，故A正確，C錯(cuò)誤.故選：A.5.某學(xué)校一同學(xué)研究溫差與本校當(dāng)天新增感冒人數(shù)y（人）的關(guān)系，該同學(xué)記錄了5天的數(shù)據(jù)：x568912y17a252835已知數(shù)據(jù)樣本中心點(diǎn)為，經(jīng)過擬合，發(fā)現(xiàn)基本符合回歸直線方程，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.時(shí)，【答案】C【詳解】由題，所以，所以回歸直線方程，所以當(dāng)時(shí)，.故ABD正確，C錯(cuò)誤.故選：C6.已知事件滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.若互斥，則B.若，則C.若與相互獨(dú)立，則D.若，則與相互獨(dú)立【答案】D【詳解】對(duì)于A，若互斥，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若與相互獨(dú)立，則與相互獨(dú)立，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，所以與相互獨(dú)立，故D正確.故選：D7.在平行六面體中，M，N分別是線段，上的點(diǎn)，且，，若，，，則下列說法中正確的是（）A.與的夾角為45° B.C.線段的長度為1 D.直線與所成的角為60°【答案】C【詳解】由題可得，，，對(duì)于A，由題，所以，，所以，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，所以，所以直線與所成的角為，故D錯(cuò)誤.故選：C8.若函數(shù)的定義域?yàn)镈，且存在，使得，則稱是的一個(gè)“階值點(diǎn)”.若函數(shù)，，的“階值點(diǎn)”分別為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【詳解】對(duì)于函數(shù)，有，令，所以；對(duì)于函數(shù)，有，令即，因?yàn)楹瘮?shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，且，所以方程的根即函數(shù)的“階值點(diǎn)”滿足；對(duì)于函數(shù)，有，令即，令函數(shù)，則，所以函數(shù)R上單調(diào)遞增，又，所以方程的根即函數(shù)的“階值點(diǎn)”滿足，綜上.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知隨機(jī)變量，，則（）A. B.C. D.【答案】BC【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，，所以，故A錯(cuò)誤，BC正確；因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減B.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為C.函數(shù)在上的值域?yàn)镈.若關(guān)于x的方程有3個(gè)不同的根，則【答案】BCD【詳解】對(duì)于A，由題，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即，故B正確；對(duì)于C，由上可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以若關(guān)于x的方程有3個(gè)不同的根，則，故D正確.故選：BCD11.如圖，正方體的棱長為2，點(diǎn)E在線段上運(yùn)動(dòng)，則（）A.三棱錐的體積為定值B.C.若E為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線的距離為D.存在某個(gè)點(diǎn)E，使直線與平面所成角為【答案】ABC【詳解】對(duì)于A,,所以A正確.對(duì)于B,連接，如圖：在正方體中，，所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕訠正確.對(duì)于C,當(dāng)E為線段的中點(diǎn)，以D為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，即所以點(diǎn)E到直線的距離，所以C正確.對(duì)于D,由上面空間直角坐標(biāo)系可知，，所以平面的法向量，設(shè)，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，若直線與平面所成角為，則，又，所以方程無解，D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知兩個(gè)隨機(jī)事件，若，，則_______.【答案】【詳解】，.故答案為：.13.已知函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______.【答案】【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上是增函數(shù)，所以在恒成立，所以在恒成立，所以因?yàn)?，所?故答案為：.14.對(duì)于兩個(gè)空間向量與，我們定義為兩點(diǎn)之間的直線距離；又定義它們之間的曼哈頓距離為.如圖，在棱長為1的正方體中，_______；若點(diǎn)P在底面內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，則的取值范圍是_______.【答案】①.②.【詳解】由題可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，所以，即，所以；，令，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以的取值范圍?故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處有極值.（1）求a的值；（2）求在上的最值.【答案】（1）；（2）最小值為，最大值為.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在處有極值，所以，此時(shí)，則時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在處有極值，所以.【小問2詳解】由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)的最小值為，最大值為.16.某校食堂為了解學(xué)生對(duì)牛奶、豆?jié){的喜歡情況是否存在性別差異，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到了如下的統(tǒng)計(jì)結(jié)果：項(xiàng)目喜歡牛奶喜歡豆?jié){合計(jì)男生40a女生b25合計(jì)100已知從這100名學(xué)生的問卷中隨機(jī)抽取1份，喜歡牛奶的概率為.（1）求a，b；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)牛奶、豆?jié){的喜歡情況與性別有關(guān)？附：，0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】（1）；（2）該校學(xué)生對(duì)牛奶、豆?jié){喜歡情況與性別有關(guān).【小問1詳解】由題可知喜歡牛奶的人數(shù)有人，所以，所以喜歡豆?jié){的人數(shù)為，所以.所以.【小問2詳解】由（1）可得統(tǒng)計(jì)表格如下：項(xiàng)目喜歡牛奶喜歡豆?jié){合計(jì)男生401555女生202545合計(jì)6040100

零假設(shè)該校學(xué)生對(duì)牛奶、豆?jié){的喜歡情況與性別無關(guān)，由表格數(shù)據(jù)得，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)牛奶、豆?jié){的喜歡情況與性別有關(guān).17.詩詞是中華文化的瑰寶，蘊(yùn)含著豐富的文學(xué)內(nèi)涵和美學(xué)價(jià)值.某學(xué)校為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)詩詞的興趣，特別組織了一次關(guān)于詩詞的知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽.（1）初賽采用選一題答一題的方式，每位參賽學(xué)生最多有5次答題機(jī)會(huì)，累計(jì)答對(duì)3道題或答錯(cuò)3道題即終止比賽，答對(duì)3道題則進(jìn)入決賽，答錯(cuò)3道題則被淘汰.已知學(xué)生甲答對(duì)每道題的概率均為，且回答各題的結(jié)果相互獨(dú)立.（ⅰ）求甲至多回答了4道題被淘汰的概率；（ⅱ）設(shè)甲在初賽答題的道數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（2）決賽共答3道題，若答對(duì)題目數(shù)量不少于2道，則勝出.已知學(xué)生甲進(jìn)入了決賽，他在決賽中前2道題答對(duì)的概率相等，均為，3道題全答對(duì)的概率為，且回答各題的結(jié)果相互獨(dú)立，設(shè)他恰好答對(duì)2道題目勝出的概率為，求的最小值.【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）X的分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；（2）.【小問1詳解】（?。┘字炼嗷卮鹆?道題被淘汰則有兩種情況，一種是連續(xù)答錯(cuò)前3道題，另一種是甲在前三道題中答錯(cuò)兩道，且答錯(cuò)第4道，所以甲至多回答了4道題被淘汰的概率為；（ⅱ）由題可得，，，所以X的分布列為：X345P所以X的數(shù)學(xué)期望為.【小問2詳解】由題可得第3道題答對(duì)的概率為，所以學(xué)生甲答對(duì)2道題目勝出的概率為，所以，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.18.如圖，四棱錐中，平面，，，，.（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，①求線段的長；②求平面與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）①；②【小問1詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，，所以，所以，則，即，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，、平面，所以平面；【小?詳解】①取中點(diǎn)，連接、，則由（1）得，且，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，、平面，所以平面，所以為直線與平面所成角，所以，②由題意可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，顯然是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，取，則，所以，所以平面與平面所成角的余弦值為.19.已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線，求a的值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且.（ⅰ）求a的取值范圍；（ⅱ）證明：.【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析.【小問1詳解】