九年級圓的切線證明綜合練習(xí)題引言圓的切線是九年級圓章節(jié)的核心知識點(diǎn)，也是中考幾何題的高頻考點(diǎn)（占比約10%-15%）。切線證明題往往綜合運(yùn)用圓的基本性質(zhì)（半徑相等、圓周角定理）、三角形全等/相似、勾股定理等知識，考查學(xué)生的邏輯推理與角度轉(zhuǎn)化能力。本文將系統(tǒng)歸納切線證明的常用方法，結(jié)合典型例題詳細(xì)解析，幫助學(xué)生掌握解題思路與技巧。一、切線的判定定理回顧要證明直線是圓的切線，需滿足以下三個條件之一（重點(diǎn)掌握后兩個）：1.定義法：直線與圓有且只有一個公共點(diǎn)（實際解題中極少用，因難以直接判斷交點(diǎn)數(shù)量）；2.判定定理（最常用）：直線經(jīng)過圓上一點(diǎn)，且垂直于該點(diǎn)對應(yīng)的半徑（記為“連半徑，證垂直”）；3.距離法：圓心到直線的距離等于圓的半徑（記為“作垂直，證半徑”）。注：判定定理的兩個條件缺一不可——“過半徑外端”（直線與圓有公共點(diǎn)）和“垂直于半徑”。二、常見類型與典型例題類型1：連半徑，證垂直（核心方法）思路：若題目明確直線與圓有公共點(diǎn)（如“點(diǎn)A在圓O上”“直線l交圓O于點(diǎn)B”），則連接該公共點(diǎn)與圓心（得到半徑），再證明這條半徑與直線垂直。例題1：如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，點(diǎn)D在AB延長線上，且∠BCD=∠A。求證：CD是圓O的切線。解析：第一步：確定公共點(diǎn)：點(diǎn)C在圓O上（已知），故需證明CD⊥OC（OC為半徑）。第二步：連半徑：連接OC（半徑，OA=OC）。第三步：證垂直：需證∠OCD=90°，通過角度轉(zhuǎn)化實現(xiàn)：1.∵OA=OC，∴∠A=∠OCA（等腰三角形底角相等）；2.∵AB是直徑，∴∠ACB=90°（直徑所對圓周角為直角），即∠OCA+∠OCB=90°；3.∵∠BCD=∠A（已知），∴∠BCD=∠OCA（等量代換）；4.因此，∠OCB+∠BCD=90°（替換∠OCA為∠BCD），即∠OCD=90°。結(jié)論：OC⊥CD，且OC為半徑，故CD是圓O的切線（判定定理）。技巧總結(jié)：“連半徑”是關(guān)鍵，后續(xù)通過等腰三角形性質(zhì)和圓周角定理轉(zhuǎn)化角度，最終證明垂直。類型2：作垂直，證半徑（距離法）思路：若題目未明確直線與圓有公共點(diǎn)（無法確定直線是否過圓上一點(diǎn)），則過圓心作直線的垂線，若垂線長度等于半徑，則直線是切線。例題2：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，以C為圓心，r為半徑作圓。當(dāng)r為何值時，圓C與AB相切？解析：第一步：判斷位置關(guān)系：圓與AB相切，需圓心C到AB的距離等于半徑r。第二步：作垂直：過C作CD⊥AB于D（D為垂足）。第三步：證半徑：計算CD的長度（即r的值）：1.在Rt△ABC中，AB=√(AC2+BC2)=√(62+82)=10（勾股定理）；2.三角形面積=(AC×BC)/2=(AB×CD)/2，即(6×8)/2=(10×CD)/2，解得CD=24/5=4.8。結(jié)論：當(dāng)r=24/5時，圓心C到AB的距離等于半徑，故圓C與AB相切。技巧總結(jié)：“作垂直”是核心，通過三角形面積公式計算圓心到直線的距離，無需證明角度，直接關(guān)聯(lián)半徑與距離。類型3：利用全等/相似證垂直思路：當(dāng)直接證明垂直困難時，可通過三角形全等或相似得到角相等，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為直角。例題3：如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)D在BC延長線上，且CD=BC，∠A=∠D。求證：AD是圓O的切線。解析：第一步：確定公共點(diǎn)：點(diǎn)A在圓O上（AB為直徑），故需證明OA⊥AD（OA為半徑）。第二步：連半徑：連接OA（半徑，OA=OB）。第三步：證垂直：通過全等三角形轉(zhuǎn)化角度：1.∵AB是直徑，∴∠ACB=90°（圓周角定理），即∠ACD=90°（D在BC延長線上）；2.∵CD=BC，∠ACB=∠ACD=90°，AC=AC，∴△ACB≌△ACD（SAS）；3.∴∠B=∠D（全等三角形對應(yīng)角相等）；4.∵OA=OB，∴∠B=∠OAB（等腰三角形底角相等），故∠OAB=∠D（等量代換）；5.∵∠AOD=∠B+∠OAB=2∠B（外角性質(zhì)），且∠AOD=∠D+∠OAD（外角性質(zhì)），∴2∠B=∠B+∠OAD，得∠OAD=∠B；6.∵∠A=∠D（已知），∠B=∠OAD，∴∠OAD+∠D=∠B+∠A=90°（Rt△ABC中∠A+∠B=90°），即∠OAD=90°。結(jié)論：OA⊥AD，且OA為半徑，故AD是圓O的切線（判定定理）。技巧總結(jié)：全等三角形是角度轉(zhuǎn)化的橋梁，通過“SAS”證明△ACB≌△ACD，將∠B轉(zhuǎn)化為∠D，再結(jié)合等腰三角形性質(zhì)，最終證明∠OAD=90°。類型4：利用圓周角定理證垂直思路：圓周角定理（直徑所對圓周角為直角、同弧所對圓周角相等）是轉(zhuǎn)化角度的重要工具，常與切線判定結(jié)合使用。例題4：如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，過C作圓O的切線交AB延長線于D，E是AC中點(diǎn)，連接OE并延長交CD于F。若∠D=30°，OC=2，求CF的長度。解析：第一步：切線性質(zhì)：CD是切線，故OC⊥CD（切線垂直于半徑），即∠OCD=90°。第二步：角度計算：1.∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠COD=60°（直角三角形兩銳角互余）；2.∵OA=OC，∴△OAC是等腰三角形，E是AC中點(diǎn)，∴OE⊥AC（等腰三角形三線合一），即∠OEA=90°；3.∠A=∠OCA=(180°-∠COD)/2=(180°-60°)/2=60°（等腰三角形性質(zhì)）；4.在Rt△OEA中，∠A=60°，OA=2，∴OE=OA×sin60°=2×(√3/2)=√3（三角函數(shù)）；5.∵OE⊥AC，OC⊥CD，∴∠OEA=∠OCD=90°，故OE∥CD（同位角相等，兩直線平行）；6.∵E是AC中點(diǎn)，OE∥CD，∴F是AD中點(diǎn)（中位線定理），故CF=(CD)/2；7.在Rt△OCD中，CD=OC×tan∠COD=2×tan60°=2√3（三角函數(shù)），∴CF=√3。結(jié)論：CF=√3。技巧總結(jié)：圓周角定理與等腰三角形性質(zhì)結(jié)合，可快速轉(zhuǎn)化角度，再通過平行線和中位線定理計算線段長度。類型5：利用勾股定理逆定理證垂直思路：若直線與圓有公共點(diǎn)，且該點(diǎn)與圓心的連線、直線上另一點(diǎn)與圓心的連線、以及這兩點(diǎn)之間的線段構(gòu)成三角形，可通過勾股定理逆定理（a2+b2=c2）證明直角。例題5：已知圓O的半徑為5，點(diǎn)P在直線l上，OP=13，點(diǎn)A在圓O上且PA=12。求證：直線l是圓O的切線。解析：第一步：確定公共點(diǎn)：點(diǎn)A在圓O上且在直線l上（P在直線l上，PA=12），故需證明OA⊥l（OA為半徑）。第二步：連半徑：連接OA（OA=5）。第三步：證垂直：計算邊長是否滿足勾股定理逆定理：1.OA2=52=25，PA2=122=144，OP2=132=169；2.∵25+144=169，∴OA2+PA2=OP2（勾股定理逆定理）；3.因此，△OAP是直角三角形，且∠OAP=90°（直角在A點(diǎn)）。結(jié)論：OA⊥AP，且OA為半徑，故直線l是圓O的切線（判定定理）。技巧總結(jié)：通過計算邊長驗證勾股定理逆定理，直接證明直角，無需角度轉(zhuǎn)化，適用于線段長度已知的題目。三、綜合練習(xí)（選做）練習(xí)1：如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，過C作切線交AB延長線于D，E是BC中點(diǎn)，連接OE并延長交CD于F。若∠D=45°，OC=3，求DF的長度。（答案：3√2/2）練習(xí)2：在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作圓O交BC于D，過D作DE⊥AC于E。求證：DE是圓O的切線。（提示：連OD，證OD∥AC）練習(xí)3：圓O的半徑為4，點(diǎn)P在圓外，OP=8，過P作切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B。求AB的長度。（答案：4√3）四、總結(jié)與易錯點(diǎn)提醒1.關(guān)鍵思路切線證明的核心是“找半徑”和“證垂直”，具體方法選擇：若有公共點(diǎn)：優(yōu)先選“連半徑，證垂直”（占90%以上題目）；若無公共點(diǎn)：選“作垂直，證半徑”（距離法）。2.易錯點(diǎn)遺漏“過半徑外端”：如只證明直線垂直于半徑，但未說明直線過圓上一點(diǎn)（如例題1中，需強(qiáng)調(diào)“點(diǎn)C在圓O上”）；混淆“d=r”中的d：d是圓心到直線的距離，而非圓心到直線上某點(diǎn)的距離（如例題2中，d是CD，而非CP）；角度轉(zhuǎn)化錯誤：需熟練掌握“等腰三角形性質(zhì)→圓周角定理→