第2課時(shí)矩形的判定教師備課素材示例●情景導(dǎo)入小華想做一個(gè)矩形相框送給媽媽做生日禮物，于是他用兩根長(zhǎng)度相等的短木條和兩根長(zhǎng)度相等的長(zhǎng)木條制作成矩形，你有什么辦法可以驗(yàn)證他做的是矩形相框？看看誰(shuí)的方法可行．【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過(guò)提出問(wèn)題引發(fā)學(xué)生的思考，同時(shí)讓學(xué)生感受在實(shí)際生活中矩形判定的應(yīng)用．建議：先讓學(xué)生提前完成相框的制作．●置疑導(dǎo)入(1)有一個(gè)角是__直角__的__平行四邊形__是矩形．(2)矩形的性質(zhì)：①矩形的四個(gè)角都是__直角__，②矩形的對(duì)角線__相等__．(3)提問(wèn)：①對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形嗎？②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形嗎？【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過(guò)對(duì)矩形定義的復(fù)習(xí)進(jìn)一步感受什么是矩形，導(dǎo)入條件證明矩形的方法．建議：?jiǎn)栴}提出后給學(xué)生一定的思考時(shí)間，可以給出適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)．命題角度1補(bǔ)充條件判定矩形如果給定平行四邊形，那么補(bǔ)充的條件應(yīng)是一個(gè)直角或?qū)蔷€相等．【例1】(1)如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連接EB，EC，DB.添加一個(gè)條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是(B)A．AB＝BEB．BE⊥DCC．DC＝BED．CE⊥DEeq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OA＝2，若要使?ABCD為矩形，則DB的長(zhǎng)應(yīng)該為_(kāi)_4__．命題角度2利用三個(gè)角是直角的四邊形判定矩形證明三個(gè)角是直角就可以判定四邊形是矩形．【例2】如圖，?ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線是分別相交于E，F(xiàn)，G，H，試說(shuō)明四邊形EFGH是矩形．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∵AH，BH分別是∠DAB，∠ABC的平分線，∴∠HAB＝eq\f(1,2)∠DAB，∠HBA＝eq\f(1,2)∠ABC，∴∠HAB＋∠HBA＝90°，∴∠H＝90°.同理可求得∠HEF＝∠F＝∠FGH＝90°，∴四邊形EFGH是矩形．命題角度3定義法判定矩形先證明是平行四邊形，再證明有一個(gè)角是直角就可以得到矩形．【例3】如圖，?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，連接AF，CE，AC，若CA＝CB，求證：四邊形AECF是矩形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB綊CD.∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴AE＝eq\f(1,2)AB，CF＝eq\f(1,2)CD，∴AE∥CF，且AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵CA＝CB，E為AB的中點(diǎn)，∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°，∴四邊形AECF是矩形．命題角度4根據(jù)對(duì)角線判定矩形利用對(duì)角線相等的平行四邊形證明矩形．【例4】如圖，E為?ABCD外一點(diǎn)，AE⊥EC，BE⊥ED，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，試說(shuō)明?ABCD是矩形．解：連接OE.∵AE⊥EC，∴∠AEC＝90°.又∵O為AC的中點(diǎn)，在Rt△ACE中，得OE＝eq\f(1,2)AC，同理OE＝eq\f(1,2)BD，∴AC＝BD，∴?ABCD為矩形．高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．理解并掌握矩形的判定方法．2．通過(guò)矩形定義、判定等知識(shí)解決簡(jiǎn)單的證明題和計(jì)算題．▲重點(diǎn)能夠用綜合法證明矩形的判定定理并利用定義和定理進(jìn)行證明．▲難點(diǎn)矩形的判定證明方法及運(yùn)用．◆活動(dòng)1創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課(課件)事例引入：小華想做一個(gè)矩形相框送給媽媽做生日禮物，于是他用兩根長(zhǎng)度相等的短木條和兩根長(zhǎng)度相等的長(zhǎng)木條制成矩形，你有什么辦法可以驗(yàn)證他做的是矩形相框嗎？看看誰(shuí)的方法可行？◆活動(dòng)2實(shí)踐探究交流新知【探究1】定義證明教師：矩形的定義是什么？學(xué)生：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．歸納：用矩形的定義判定：一個(gè)平行四邊形有一個(gè)角是直角，這個(gè)圖形是矩形．【探究2】對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．(課件展示)如圖，在?ABCD中，AC，DB是它的兩條對(duì)角線，AC＝DB.求證：?ABCD是矩形．注意：學(xué)生思考、交流后，教師可以適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)：給出的條件與矩形的定義相比，少了哪個(gè)條件？怎么辦？教師：分析后課件展示過(guò)程．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，AB∥DC.又∵BC＝CB，AC＝DB，∴△ABC≌△DCB(SSS)，∴∠ABC＝∠DCB.∵AB∥DC，∴∠ABC＋∠DCB＝180°，∴∠ABC＝∠DCB＝eq\f(1,2)×180°＝90°，∴?ABCD是矩形．歸納：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．【探究3】有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形如圖，已知∠A＝∠B＝∠C＝90°，則四邊形ABCD是矩形嗎？學(xué)生：思考、交流后嘗試給出證明過(guò)程．教師：學(xué)生展示過(guò)程后點(diǎn)評(píng)、規(guī)范相應(yīng)的步驟．證明：在四邊形ABCD中，∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，∴AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．又∵∠A＝90°，∴四邊形ABCD是矩形．歸納：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．試一試：一位工人師傅在修理一個(gè)矩形桌面時(shí)，手上只有一把刻度尺，他怎樣才能判斷該桌面是個(gè)矩形？請(qǐng)說(shuō)明如何操作，并畫(huà)圖寫(xiě)出證明過(guò)程．如果允許換工具，你還有其他方法嗎？學(xué)生1：用刻度尺測(cè)量對(duì)角線，如果相等則說(shuō)明桌面是矩形．學(xué)生2：也可以用角尺，測(cè)量有三個(gè)角是直角，即可說(shuō)明桌面是矩形．◆活動(dòng)3開(kāi)放訓(xùn)練應(yīng)用舉例例1(教材P15例2)如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，△ABO是等邊三角形，AB＝4，求?ABCD的面積．【方法指導(dǎo)】先根據(jù)“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”判定?ABCD是矩形，再求出BC的長(zhǎng)，從而可得?ABCD的面積．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD.又∵△ABO是等邊三角形，∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°.∴OA＝OB＝OC＝OD＝4，∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8.∴?ABCD是矩形(對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形)，∴∠ABC＝90°(矩形的四個(gè)角都是直角).在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，∴BC＝eq\r(AC2－AB2)＝eq\r(82－42)＝4eq\r(3)，∴S?ABCD＝AB·BC＝4×4eq\r(3)＝16eq\r(3).例2如圖，BD，BE分別是∠ABC與它的鄰補(bǔ)角∠ABP的平分線，AE⊥BE，AD⊥BD，垂足分別為點(diǎn)E，D.求證：四邊形AEBD是矩形．【方法指導(dǎo)】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平角的定義，得到∠EBD＝90°，再結(jié)合AE⊥BE，AD⊥BD，可以確定四邊形的三個(gè)內(nèi)角都是直角，根據(jù)“有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”就可以證明此四邊形是矩形．證明：∵BD，BE分別是∠ABC，∠ABP的平分線，∴∠ABD＋∠ABE＝eq\f(1,2)(∠ABC＋∠ABP)＝90°，即∠EBD＝90°.又∵AE⊥BE，AD⊥BD，∴∠AEB＝∠ADB＝90°，∴四邊形AEBD是矩形(有三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形).◆活動(dòng)4隨堂練習(xí)1．下列說(shuō)法正確的是(D)A．一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是矩形B．一組對(duì)邊平行且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形C．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是矩形D．一個(gè)角是直角且對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形2．如圖，?ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，請(qǐng)你添加一個(gè)條件__AC＝BD(答案不唯一)__(只添加一個(gè)即可)，使?ABCD是矩形．3．如圖，?ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)．求證：四邊形EFGH是矩形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∵?ABCD的四個(gè)內(nèi)角平分線分別相交于E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，由角平分線性質(zhì)，得∠HAB＝eq\f(1,2)∠DAB，∠ABH＝eq\f(1,2)∠ABC，∴∠HAB＋∠ABH＝eq\f(1,2)(∠DAB＋∠ABC)＝90°，∴∠H＝90°.同理可求得∠HEF＝∠F＝90°，∴四邊形EFGH是矩形．◆活動(dòng)5課堂小結(jié)與作業(yè)學(xué)生活動(dòng)：你這節(jié)課的主要收獲是什么？學(xué)習(xí)了幾種矩形的判定方法？教學(xué)說(shuō)明：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是定義判定．定理判定：1.對(duì)角線