第2課時公式法的應用教師備課素材示例●置疑導入(1)你能舉例說明什么是一元二次方程嗎？它有什么特點？(2)怎樣用配方法解一元二次方程？怎樣用公式法解一元二次方程？(3)在一塊長為16m，寬為12m的矩形荒地上，要建造一個花園，并使花園所占面積為荒地面積的一半，你覺得這個方案能實現(xiàn)嗎？請展示設計方案．【教學與建議】教學：通過問題情境的設計，讓學生主動地投入到學習過程中．建議：提出問題后給學生一定的思考時間．●復習導入(1)公式法求解一元二次方程，它的一般步驟是什么？①把方程化為一般形式，進而確定a，b，c的值．(注意符號)②求出b2－4ac的值．(先判別方程是否有根)③在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入求根公式，求出eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)的值，最后寫出方程的根．(2)解方程：①x2＋2x－2＝0;②(x－2)(1－3x)＝6.公式法和配方法解方程都是基礎，方程是解決實際問題比較常用的數(shù)學模型，這節(jié)課我們來應用方程解決幾何問題．【教學與建議】教學：幫助學生復習一元二次方程及其解法，為列方程解決實際問題打好基礎．建議：復習公式法求解一元二次方程的時候，強調(diào)各環(huán)節(jié)的注意事項．命題角度1列一元二次方程解決與矩形面積相關的問題解決與矩形面積相關的問題，理解題目對分割或填充的描述，然后結(jié)合剪拼的思路，利用矩形面積公式列方程．【例1】(1)如圖，在一塊長為40m，寬為30m的矩形土地中，修兩條寬度均為xm的路，則剩余的土地面積為__(40－x)(30－x)__m2.(只列式，不要求化簡)eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖是一塊矩形場地ABCD，長AB＝102m，寬AD為51m，從A，B兩處入口的小路寬都為1m，兩小路匯合處路寬為2m，其余部分種植草坪，則草坪面積為__5__000__m2，路的面積為__202__m2.命題角度2列一元二次方程解決與三角形的關聯(lián)問題利用一元二次方程解決有關三角形邊長、面積問題．【例2】(1)如圖，由點A(a，0)，O(0，0)，B(－a，a＋3)(a>0)確定的△AOB的面積為2，則a的值為__1__．(2)已知整數(shù)k<5，若△ABC的邊長均滿足關于x的方程x2－3eq\r(k)x＋8＝0，則△ABC的周長是__6，12或10__．命題角度3用公式法探究存在性問題在解決實際問題時，利用根的判別式判斷一元二次方程解的存在性問題．【例3】小林準備進行如下操作實驗：把一根長為40cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段各圍成一個正方形．小峰對小林說：“這兩個正方形的面積之和不可能等于44cm2.”他的說法對嗎？請說明理由．解：小峰的說法正確．理由如下：設剪成的較短的這段為mcm，則較長的這段為(40－m)cm.由題意，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,4)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(40－m,4)))eq\s\up12(2)＝44，整理，得m2－40m＋448＝0.∵Δ＝－192<0，∴原方程無解．∴小峰的說法正確，這兩個正方形的面積之和不可能等于44cm2.高效課堂教學設計1．能夠利用一元二次方程解決實際問題．2．根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結(jié)果的合理性．▲重點運用一元二次方程解決簡單的實際問題．▲難點綜合運用一元二次方程解決簡單的實際問題．◆活動1創(chuàng)設情境導入新課(課件)同學們，前面我們已經(jīng)學習了利用配方法和公式法解一元二次方程，你能利用一元二次方程來解決生活中的實際問題嗎？本節(jié)課我們繼續(xù)來學習解一元二次方程，并體會一元二次方程在生活中的應用．◆活動2實踐探究交流新知【探究1】提出問題(多媒體出示)在一塊長16m，寬12m的矩形荒地上，要建造一個花園，并使花園所占面積為荒地面積的一半．你覺得這個方案能實現(xiàn)嗎？若可以實現(xiàn)，你能給出具體的設計方案嗎？【探究2】方案解析小明的設計方案如圖所示，其中花園四周小路的寬度都相等．設花園四周小路的寬度均為xm，根據(jù)題意可列怎樣的一元二次方程？復習列方程解應用題的步驟，然后找出問題中的等量關系：花園的面積＝eq\f(1,2)矩形的面積，從而列出方程：(16－2x)(12－2x)＝eq\f(1,2)×16×12，即__x2－14x＋24＝0__．解得__x1＝2__，__x2＝12__．【探究3】驗證結(jié)果(1)驗證解的正確性(學生解方程，教師借助實物投影展示)．(2)討論解的合理性：因為荒地的寬為12m，并且小路的寬應小于荒地寬的一半，所以小路的寬不能為12m，它不是實際問題的解，應舍去．而小路的寬2m符合這個實際問題，所以小路的寬是2m.通過對小明的設計方案的解析，你有什么收獲？歸納：列一元二次方程解應用題，解完一元二次方程之后，不要急于下結(jié)論，而要按題意來檢驗這些根是不是實際問題的解．【探究4】應用新知，實戰(zhàn)演練同學們，對于花園設計問題，小亮和小穎也有自己的設計方案，你能根據(jù)對小明設計方案的解析，幫小亮和小穎求出圖中的x嗎？(多媒體出示)(1)小亮的設計方案如圖所示，其中花園每個角上的扇形都相同，你能幫他求出圖中的x嗎？列式為：__16×12－πx2＝eq\f(1,2)×16×12__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))(2)小穎的設計方案如圖所示，你能幫她求出圖中的x嗎？列式為：__(16－x)(12－x)＝eq\f(1,2)×16×12__．◆活動3開放訓練應用舉例例1有一塊矩形鐵皮，長100cm，寬50cm，在它的四周各切去一個同樣大小的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個無蓋的方盒．如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600cm2，那么鐵皮各角應切去邊長為多大的正方形？【方法指導】先審題，確定好問題類型，然后指導學生按照圖形面積公式進行解答．解：設鐵皮各角應切去邊長為xcm的正方形．根據(jù)題意，得(100－2x)(50－2x)＝3600.整理，得x2－75x＋350＝0，解得x1＝5，x2＝70.∵當x＝70時，100－2x＝－40＜0，50－2x＝－90＜0，∴x＝70不合題意，舍去，∴x＝5.答：鐵皮各角應切去邊長為5cm的正方形．例2將一條長20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形．(1)要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少？(2)兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由．【方法指導】兩段鐵絲做成的是兩個正方形，且已知兩個正方形的面積之和，只需設出正方形的邊長或用未知數(shù)表示出邊長，列方程解答即可．解：設一個正方形的周長為xcm，則另一個正方形的周長為(20－x)cm.(1)根據(jù)題意，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20－x,4)))eq\s\up12(2)＝17.整理，得x2－20x＋64＝0，解得x1＝16，x2＝4.所以兩段鐵絲的長度分別為16cm和4cm；(2)根據(jù)題意，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20－x,4)))eq\s\up12(2)＝12.整理，得x2－20x＋104＝0.∵b2－4ac＝(－20)2－4×1×104＝－16＜0，∴此方程無解．∴兩個正方形的面積之和不可能等于12cm2.◆活動4隨堂練習1．用一條長40cm的繩子圍成一個面積為64cm2的長方形．設長方形的長為xcm，則可列方程為(B)A．x(20＋x)＝64B．x(20－x)＝64C．x(40＋x)＝64D．x(40－x)＝642．改善小區(qū)環(huán)境，爭創(chuàng)文明家園．如圖，某社區(qū)決定在一塊長(AD)16m，寬(AB)9m的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的小路，其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草．要使草坪部分的總面積為112m2，則小路的寬應為多少？解：設小路的寬應為xm．根據(jù)題意，得(16－2x)(9－x)＝112.整理，得x2－17x＋16＝0.解得x1＝1，x2＝16.∵16＞9，∴x＝16不符合題意，舍去．∴x＝1.答：小路的寬應為1m.◆活動5課堂小結(jié)與作業(yè)學生活動：通過本節(jié)課對矩形花園的設計的學習，你復習了哪些舊知識呢？你又掌握了哪些基本內(nèi)容？感受了哪些數(shù)學思想