中學數學函數章節(jié)教案與練習題**一、函數章節(jié)教案設計****1.1教學基本信息**課題：函數的概念與表示年級：初中八年級（或高中一年級銜接）課時：2課時（90分鐘）教學目標知識與技能：理解函數的定義（三要素：定義域、值域、對應法則），掌握函數的三種表示方法（解析法、列表法、圖像法），能正確求簡單函數的定義域和值域。過程與方法：通過情境探究、小組討論，培養(yǎng)抽象概括能力和數形結合思想；通過實例分析，體會函數的“唯一性”與“對應性”。情感態(tài)度價值觀：感受函數在生活中的廣泛應用（如氣溫變化、行程問題），激發(fā)數學學習興趣。教學重難點重點：函數的定義（“每一個x對應唯一y”）、函數的表示方法。難點：理解“對應關系的唯一性”，求抽象函數的定義域。**1.2教學過程設計****環(huán)節(jié)1：情境導入（10分鐘）**問題情境：展示生活中的變量關系實例，引導學生觀察變量間的依賴關系：實例1：某天的氣溫隨時間變化（表格：時間t/時vs氣溫T/℃）；實例2：汽車行駛的路程隨時間變化（公式：s=60t）；實例3：正方形的面積隨邊長變化（圖像：邊長xvs面積y=x2）。提問：上述實例中，兩個變量之間有什么共同特征？（引導學生總結：“一個變量變化，另一個變量隨之唯一確定”）過渡：這種“變量間的唯一對應關系”就是函數的核心本質。**環(huán)節(jié)2：概念建構（25分鐘）**1.函數的定義定義：設A、B是非空的數集，如果對于集合A中的每一個元素x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一的元素y與之對應，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x)。三要素：定義域（A，x的取值范圍）、值域（B中y的取值范圍）、對應法則（f）。關鍵強調：“每一個x”（定義域內無遺漏）、“唯一y”（對應關系無歧義）。反例辨析（鞏固定義）：問題1：圓的方程x2+y2=4，是否表示y是x的函數？（答案：否，因為x=0時y有兩個值±2，不滿足唯一性）；問題2：對于集合A={1,2,3}，B={4,5}，對應法則f:x→x+3，是否為函數？（答案：是，因為每個x對應唯一y，值域是B的子集）。2.函數的表示方法解析法：用數學表達式表示（如s=60t，y=x2）；優(yōu)點：精確、簡潔，便于計算；缺點：抽象，需理解表達式含義。列表法：用表格記錄變量對應關系（如實例1的氣溫表格）；優(yōu)點：直觀，易查對應值；缺點：不全面，無法表示所有值。圖像法：用坐標系中的曲線表示（如y=x2的拋物線）；優(yōu)點：直觀，能反映變化趨勢；缺點：不夠精確，需估計值。小組活動：讓學生列舉生活中的函數實例，并用三種方法表示（如“電費隨用電量變化”：解析法y=0.5x；列表法：用電量10度→電費5元，20度→10元；圖像法：過原點的直線）。**環(huán)節(jié)3：技能訓練（25分鐘）**1.定義域的求法規(guī)則：定義域是x的取值范圍，需滿足：分母不為0（如f(x)=1/(x-1)，定義域x≠1）；根號內非負（如f(x)=√(2x-1)，定義域x≥1/2）；實際問題中需符合意義（如行程問題中時間t≥0）。練習：求下列函數的定義域（學生板演，教師點評）：(1)f(x)=3x+2（全體實數）；(2)f(x)=1/(x+3)（x≠-3）；(3)f(x)=√(5-2x)（x≤5/2）；(4)f(x)=log?(x-1)（x>1，高中拓展）。2.值域的求法規(guī)則：值域是y的取值范圍，需根據函數類型判斷：一次函數（y=kx+b）：值域為全體實數；二次函數（y=ax2+bx+c）：開口向上時值域≥頂點縱坐標，開口向下時值域≤頂點縱坐標；分式函數（y=x/(x+1)）：可通過變形求值域（如y=1-1/(x+1)，值域y≠1）。練習：求下列函數的值域：(1)y=2x+1（全體實數）；(2)y=x2-2x+3（配方得y=(x-1)2+2，值域y≥2）；(3)y=1/(x-1)（y≠0）。**環(huán)節(jié)4：總結與作業(yè)（10分鐘）**總結：梳理函數的核心概念（三要素、唯一性）、表示方法（三種方法的優(yōu)缺點）、定義域與值域的求法。作業(yè)：基礎題：完成練習題1-3（定義域、值域、表示方法）；提升題：完成練習題4-5（分段函數、復合函數）；拓展題：結合生活實際，設計一個函數模型（如“家庭用水量與水費的關系”）。**二、函數章節(jié)練習題設計****2.1基礎題（鞏固概念）**1.判斷下列關系是否為函數(1)集合A={1,2,3}，B={2,4,6}，對應法則f:x→2x；（是）(2)集合A={x|x≥0}，B=R，對應法則f:x→±√x；（否，不滿足唯一性）(3)對于任意實數x，y=|x|；（是）(4)圓的周長C與半徑r的關系C=2πr；（是）2.求下列函數的定義域(1)f(x)=√(3x-6)；（x≥2）(2)f(x)=1/(x2-4)；（x≠±2）(3)f(x)=log?(x+2)；（x>-2，高中拓展）(4)f(x)=2x+5；（全體實數）3.用三種方法表示函數題目：正方形的邊長為x，面積為y，x∈{1,2,3,4}。解析法：y=x2；列表法：x1234y14916圖像法：在坐標系中描點(1,1),(2,4),(3,9),(4,16)，連接成曲線（拋物線片段）。**2.2提升題（深化理解）**4.分段函數題目：已知函數f(x)=\[\begin{cases}2x+1,&x<0\\x2,&x≥0\end{cases}\]求f(-1)、f(0)、f(2)的值。（答案：-1,0,4）5.復合函數的定義域題目：已知f(x)的定義域為[1,3]，求f(2x-1)的定義域。（解析：1≤2x-1≤3→1≤x≤2，定義域[1,2]）6.圖像法表示函數題目：畫出函數y=|x-1|的圖像，并求值域。（圖像：V型，頂點(1,0)，值域y≥0）**2.3拓展題（聯系實際）**7.實際問題建模題目：某商店出售某種商品，每件成本5元，售價10元。若每天銷售量x（件）與售價y（元）的關系為y=____x（x≥0），求每天的利潤w（元）與銷售量x的函數關系，并求定義域和值域。解答：利潤w=(售價-成本)×銷售量=(y-5)x=(____x-5)x=(-10x2+145x)；定義域：x≥0且y=____x≥5→x≤14.5→x∈[0,14]（x為整數）；值域：配方得w=-10(x-7.25)2+525.625→最大值525元（x=7或8時），值域w≤525且w≥0。8.探索題題目：函數y=f(x)滿足f(1)=2，f(2)=4，f(3)=6，能否確定f(x)是一次函數？為什么？（答案：不能，如f(x)=2x或f(x)=x2+x等，需更多條件確定對應法則）**三、練習題答案說明**基礎題：重點考查函數的定義、定義域與表示方法，確保學生掌握核心概念；提升題：涉及分段函數、復合