專題2.3全稱量詞命題與存在量詞命題（舉一反三講義）【蘇教版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1全稱量詞命題與存在量詞命題的理解】 2【題型2全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷】 3【題型3根據(jù)命題的真假求參數(shù)】 5【題型4全稱量詞命題的否定】 7【題型5存在量詞命題的否定】 8【題型6命題否定的真假判斷】 9【題型7根據(jù)命題否定的真假求參數(shù)】 12【題型8全稱量詞、存在量詞命題與集合交匯】 14知識點1全稱量詞命題與存在量詞命題1．全稱量詞與全稱量詞命題全稱量詞所有的、任意一個、一切、每一個、任給符號?全稱量詞命題含有全稱量詞的命題形式“對M中任意一個x，有p(x)成立”，可用符號簡記為“?x∈M，p(x)”2．存在量詞與存在量詞命題存在量詞存在一個、至少有一個、有一個、有些、有的符號表示?存在量詞命題含有存在量詞的命題形式“存在M中的一個x，使p(x)成立”可用符號簡記為“?x∈M，p(x)”【注】1.常用的全稱量詞有：“所有”、“每一個”、“任何”、“任意”、“一切”、“任給”、“全部”，表示整體或全部的含義.2.常用的存在量詞有：“有些”、“有一個”、“存在”、“某個”、“有的”，表示個別或一部分的含義.【題型1全稱量詞命題與存在量詞命題的理解】【例1】（2425高一上·江蘇常州·階段練習(xí)）下列命題是全稱量詞命題的是（

）A．?x∈C．偶數(shù)的平方是偶數(shù) D．有一個數(shù)不能做除數(shù)【答案】C【解題思路】根據(jù)全稱量詞的特征即可求解.【解答過程】對于A，命題含有存在量詞，此命題為特稱命題，不符題意；對于B，命題含有存在量詞，此命題為特稱命題，不符題意；對于C，命題為：所有偶數(shù)的平方是偶數(shù)，此命題為全稱命題，符題意；對于D，命題含有存在量詞，此命題為特稱命題，不符題意.故選：C.【變式11】（2425高一上·貴州貴陽·階段練習(xí)）下列命題中是存在量詞命題的是（

）A．所有的素數(shù)都是奇數(shù) B．?x∈C．對任意一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù) 【答案】D【解題思路】根據(jù)存在量詞命題的概念即可判斷.【解答過程】對于A中含有“所有的”，該命題是全稱量詞命題；對于B中含有“?”，該命題是全稱量詞命題；對于C中含有“任意一個”，該命題是全稱量詞命題；對于D中含有“有一個”，該命題是存在量詞命題；故選：D.【變式12】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）下列命題是全稱量詞命題的是（

）A．存在一個實數(shù)的平方是負(fù)數(shù)B．每個四邊形的內(nèi)角和都是360°C．至少有一個整數(shù)x，使得x2D．存在一個實數(shù)x，使得x【答案】B【解題思路】由存在量詞和全稱量詞的性質(zhì)逐項判斷即可；【解答過程】選項A，C，D中的命題均為存在量詞命題；選項B中的命題是全稱量詞命題.故選：B.【變式13】（2425高一上·安徽亳州·階段練習(xí)）下列命題中的存在量詞命題是（

）A．所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù) B．每一個四邊形的四個頂點在同一個圓上C．有的三角形是等邊三角形 D．任意兩個等邊三角形都相似【答案】C【解題思路】根據(jù)存在量詞命題的定義求解即可.【解答過程】對于A，含有量詞所有，為全稱量詞命題，故A錯誤；對于B，含有量詞每一個，為全稱量詞命題，故B錯誤；對于C，含有量詞有的，為存在量詞命題，故C正確；對于D，含有量詞任意，為全稱量詞命題，故D錯誤.故選：C.【題型2全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷】【例2】（2425高一上·安徽·階段練習(xí)）下列命題中為真命題的是（

）A．?x∈R,x2>0C．?a>b,a2>【答案】D【解題思路】利用全稱量詞命題真假判斷方法推理判斷AC；利用存在量詞命題真假判斷方法推理判斷BD.【解答過程】對于A，當(dāng)x=0時，x2對于B，當(dāng)x,y∈Z時，2x+4y對于C，取a=0,b=?2滿足a>b，而a2對于D，取a=32∈故選：D.【變式21】（2425高一上·廣東東莞·期中）下列命題中，是全稱量詞命題且為真命題的是（

）A．梯形是四邊形 B．?x∈R，C．?x∈R，x+1≥1 D．存在一個實數(shù)x【答案】A【解題思路】分別判斷各命題是否為全稱量詞命題，是否為真命題.【解答過程】對于A，是全稱量詞命題且為真命題，A選項正確；對于B，是全稱量詞命題，當(dāng)x=?1時，x3CD選項都為存在量詞命題，不合題意.故選：A.【變式22】（2425高一上·廣東惠州·階段練習(xí)）下列命題中，是存在量詞命題且為真命題的有（

）A．?x∈R，x2?2x+1<0C．?x∈R，x2+2x+2≥0 D．?x∈R【答案】C【解題思路】利用存在量詞的概念以及命題的真假即可求解.【解答過程】ABC均為存在量詞命題，D不是存在量詞命題，故D不符合題意，選項A：因為x2選項B：因為矩形都是平行四邊形，所以命題為假命題；選項C：x2故選：C．【變式23】（2425高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）下列命題中為真命題的是（

）A．?x∈R,x2C．?x∈R,|x|>3 【答案】B【解題思路】依次對每個選項中的命題進(jìn)行真假判斷，通過舉例或推理來確定.【解答過程】對于A選項，對于命題?x∈R,x2+1<0，因為對于任意實數(shù)x，x對于B選項，對于任意的整數(shù)x，3x一定是整數(shù)，3x+1也一定是整數(shù)，所以?x∈Z對于C選項，對于命題?x∈R,|x|>3，當(dāng)x=0時，|0|=0，不滿足對于D選項，對于命題?x∈Q,x2∈故選：B.【題型3根據(jù)命題的真假求參數(shù)】【例3】（2425高一上·浙江杭州·期中）已知命題p:?x∈R,x2+a?1≥0，若pA．(?∞,1) B．(?∞,1] C．【答案】D【解題思路】根據(jù)題意，由p為真命題，可得a≥?【解答過程】因為命題p:?x∈R則a≥?x2所以a≥?即a的取值范圍是[1,+∞故選：D.【變式31】（2425高一上·四川達(dá)州·階段練習(xí)）已知命題“?x∈R，使2x2+(a?1)x+12A．a(chǎn)<?1 B．?1<a<3C．a(chǎn)>?3 D．?3<a<1【答案】B【解題思路】利用判別式列不等式，從而求得a的取值范圍.【解答過程】由于命題“?x∈R，使2x所以Δ=解得?1<a<3.故選：B.【變式32】（2425高一上·浙江·階段練習(xí)）已知命題p:?x∈0,1,x2?2x?2+a>0；命題q:?x∈R,A．?1,3 B．?1,2 C．0,2 D．?【答案】B【解題思路】求出p,q為真命題時a的范圍，進(jìn)一步可得答案．【解答過程】由?x∈0,1,x?x2+2x+2=?則當(dāng)x=0時，?x2+2x+2命題q:?x∈R,x2?2x?a≠0若命題p,q均為假命題，則a≤2且a≥?1，即?1≤a≤2，∴實數(shù)a的取值范圍為?1,2．故選：B.【變式33】（2425高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知命題p:?x∈x|1≤x≤2，都有x2?a≥0，命題q:存在x0∈R,x02+2aA．a(chǎn)|a≤?2 B．a(chǎn)|a≤1C．a(chǎn)|a≤?2或a=1 【答案】D【解題思路】求得p為真命題，實數(shù)a的取值范圍；q為真命題，實數(shù)a的取值范圍；進(jìn)而可得p與q全為真命題時，實數(shù)a的取值范圍，進(jìn)而可得結(jié)論.【解答過程】若p為真命題，則a≤(x2)min，又x∈若q為真命題，則x02+2a解得a≥1或a≤?2，所以p與q全為真命題時，實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤?2或a=1}，所以p與q不全為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是a|?2<a<1或a>1.故選：D.知識點2全稱量詞命題與存在量詞命題的否定1．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定(1)全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，?p(x)；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．(2)存在量詞命題p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，?p(x)；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．2．對全稱量詞命題否定的兩個步驟：①改變量詞：把全稱量詞換為恰當(dāng)?shù)拇嬖诹吭~．即：全稱量詞(?)eq\o(→,\s\up7(改為))存在量詞(?)．②否定結(jié)論：原命題中的“是”“成立”等改為“不是”“不成立”等．3．對存在量詞命題否定的兩個步驟：①改變量詞：把存在量詞換為恰當(dāng)?shù)娜Q量詞．即：存在量詞(?)eq\o(→,\s\up7(改為))全稱量詞(?)．②否定結(jié)論：原命題中的“有”“存在”等更改為“沒有”“不存在”等．【注】含有一個量詞命題的否定規(guī)律是“改變量詞，否定結(jié)論”.4．命題的否定與原命題的真假一個命題的否定，仍是一個命題，它和原命題只能是一真一假．5．命題否定的真假判斷(1)弄清命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，是正確寫出命題的否定的前提；(2)當(dāng)命題的否定的真假不易判斷時，可以轉(zhuǎn)化為判斷原命題的真假，當(dāng)原命題為真時，命題的否定為假，當(dāng)原命題為假時，命題的否定為真.【注】1.命題p與p的否定的真假性相反.【題型4全稱量詞命題的否定】【例4】（2425高一上·云南曲靖·階段練習(xí)）命題?x>1,x2?m>1A．?x>1,x2?m≤1C．?x>1,x2?m≤1【答案】A【解題思路】利用全稱量詞命題的否定直接判斷即可.【解答過程】命題?x>1,x所以所求否定是?x>1,x故選：A.【變式41】（2425高一上·廣東湛江·階段練習(xí)）已知命題p:?x∈R，x2>x+1，則命題pA．?x∈R，x2<x+1 B．C．?x0∈R，x0【答案】B【解題思路】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題可得答案.【解答過程】因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以命題p的否定為?x0∈故選：B.【變式42】（2425高一上·黑龍江佳木斯·期末）命題“所有六邊形的內(nèi)角和都是720°”的否定為（

A．存在一個六邊形，它的內(nèi)角和是720B．存在一個六邊形，它的內(nèi)角和不是720C．所有不是六邊形的多邊內(nèi)角和都不是720D．所有六邊形的內(nèi)角和都不是720【答案】B【解題思路】根據(jù)全稱量詞命題的否定的知識：“改量詞，否結(jié)論”即可確定正確選項.【解答過程】“所有六邊形的內(nèi)角和都是720°”的否定為“存在一個六邊形，它的內(nèi)角和不是720°故選：B.【變式43】（2425高一上·云南·期中）設(shè)命題p:?m∈Z,m2>2m?3A．?m∈Z,mC．?m0?Z,【答案】B【解題思路】由全稱命題的否定為特稱命題可得答案；【解答過程】由全稱命題的否定為特稱命題可得?p為?m∈Z故選：B.【題型5存在量詞命題的否定】【例5】（2425高一上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）命題“?x∈R,x2+x+2=0”的否定是（A．?x∈R,x2+x+2≠0C．?x∈R,x2+x+2≠0【答案】C【解題思路】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，把存在改為任意，把結(jié)論否定.【解答過程】?x∈R,x2+x+2=0故選：C.【變式51】（2425高一上·浙江杭州·期中）命題“?x∈0,+∞,A．?x∈?∞,0C．?x∈0,+∞,【答案】C【解題思路】根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題即可判斷.【解答過程】命題“?x∈0,+∞,故選：C.【變式52】（2425高一上·海南·階段練習(xí)）若命題p:?x∈R，使3x2+mx+m2A．?x∈R，使3x2+mx+m2C．?x∈R，使3x2+mx+m2【答案】B【解題思路】利用帶量詞的命題的否定要求，改變量詞，否定結(jié)論即得.【解答過程】因為命題p:?x∈R，使3x2+mx+m2≠0，所以故選：B.【變式53】（2425高一上·福建莆田·階段練習(xí)）已知命題p:?x>1，x3?xA．p為真命題，且p的否定是“?x>1，x3B．p為真命題，且p的否定是“?x>1，x3C．p為假命題，且p的否定是“?x>1，x3D．p為假命題，且p的否定是“?x>1，x3【答案】A【解題思路】舉例可判斷p為真命題，進(jìn)而根據(jù)存在量詞命題的否定求解即可.【解答過程】當(dāng)x=2時，x3?x根據(jù)存在量詞命題的否定，命題p的否定是“?x>1，x3故選：A.【題型6命題否定的真假判斷】【例6】（2425高一上·云南·階段練習(xí)）寫出下列命題的否定，并判斷該命題否定的真假：(1)任何一個平行四邊形的對邊都平行；(2)非負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)；(3)有的四邊形沒有外接圓；(4)?x，y∈Z【答案】(1)“存在一個平行四邊形的對邊不平行”，假命題(2)“存在一個非負(fù)數(shù)的平方不是正數(shù)”，真命題(3)“所有四邊形都有外接圓”，假命題(4)“?x,y【解題思路】（1）寫出原命題的否定，由平行四邊形的性質(zhì)可判斷真假；（2）寫出原命題的否定，通過取特殊值0，即可判斷真假；（3）寫出原命題的否定，由原命題的真假可判斷命題否定的真假；（4）寫出原命題的否定，由原命題的真假可判斷命題否定的真假.【解答過程】（1）命題的否定為“存在一個平行四邊形的對邊不平行”，由平行四邊形的定義知該命題的否定是假命題．（2）命題的否定為“存在一個非負(fù)數(shù)的平方不是正數(shù)”，因為02（3）命題的否定為“所有四邊形都有外接圓”，因為只有對角互補的四邊形才有外接圓，所以原命題為真命題，命題的否定為假命題．（4）命題的否定為“?x，??y因為當(dāng)x=0，??y=5【變式61】（2425高一上·湖南·階段練習(xí)）判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，寫出這些命題的否定，并判斷這些命題的否定的真假．(1)對任意的實數(shù)x，都有x2(2)存在實數(shù)x，使得x2(3)所有的素數(shù)都是奇數(shù)；(4)方程x2【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析(4)答案見解析【解題思路】利用全稱量詞命題和存在量詞命題的定義分別進(jìn)行判斷，然后寫出它們的否定并判定真假即可.【解答過程】（1）全稱量詞命題．原命題的否定：存在一個實數(shù)x，使得x2（2）存在量詞命題．原命題的否定：對任意的實數(shù)x，都有x2（3）全稱量詞命題．原命題的否定：存在一個素數(shù)不是奇數(shù)．原命題的否定是真命題．（4）全稱量詞命題．原命題的否定：方程x2【變式62】（2425高一上·貴州遵義·階段練習(xí)）寫出下列命題的否定，并判斷所得命題的真假：(1)p:?(2)q:?(3)s：至少有一個直角三角形不是等腰三角形；(4)?x(5)?x【答案】(1)?x(2)?x(3)任意直角三角形都是等腰三角形，假(4)?x(5)?x【解題思路】根據(jù)全稱量詞命題和存在量詞命題的否定的方法寫出否定，再結(jié)合命題判斷其真假．【解答過程】（1）全稱命題的否定是特稱命題，因此p:?x∈（2）全稱命題的否定是特稱命題，q:?x∈{2,3,4,5},1x<x（3）至少有一個的反面是至多有0個，即沒有一個，因此“有一個直角三角形不是等腰三角形”的否定是：沒有直角三角形不是等腰三角形，即任意直角三角形都是等腰三角形，例如邊長分別為3，4，5的三角形是直角三角形，但不是等腰三角形，因此原命題的否定是假命題；（4）全稱命題的否定是特稱命題，?x∈R由于x≥x，因此x?（5）全稱命題的否定是特稱命題，?x∈[?2,3),x2<9的否定是：?x∈[?2,3),【變式63】（2425高一上·安徽·階段練習(xí)）寫出下列命題的否定，并判斷你寫出的命題的真假：(1)?n∈N(2)?x∈R(3)所有三角形的三個內(nèi)角都是銳角.【答案】(1)?n∈N(2)?x∈R(3)存在一個三角形的三個內(nèi)角不都是銳角，為真命題【解題思路】（1）根據(jù)特稱量詞命題的否定為全量詞命題寫出其否定，再判斷其真假；（2）（3）根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題寫出其否定，再判斷其真假；【解答過程】（1）命題“?n∈N?，1n因為當(dāng)n=1∈N?，1n=1∈（2）命題“?x∈R，x2+因為x2+x+1=x故命題?x∈R（3）命題“所有三角形的三個內(nèi)角都是銳角”的否定為：存在一個三角形的三個內(nèi)角不都是銳角，為真命題；因為直角三角形、鈍角三角形的三個內(nèi)角不都是銳角，所以命題：存在一個三角形的三個內(nèi)角不都是銳角，為真命題.【題型7根據(jù)命題否定的真假求參數(shù)】【例7】（2425高一上·四川德陽·階段練習(xí)）已知命題p:?2≤x≤3，x2?a(1)若命題?p為假命題，求實數(shù)a(2)若命題p和?q均為真命題，求實數(shù)a【答案】(1)(?∞,4](2)1【解題思路】（1）依題意命題p為真命題，即a≤x2在x（2）由?q為真命題的條件求a的范圍，結(jié)合p為真命題時a的范圍，可求實數(shù)a【解答過程】（1）命題?p為假命題，則命題p為真命題，即a≤x所以a≤x2（2）命題?q:?x?q為真命題，則Δ=22又由（1）可知，命題p為真命題時，a≤4所以命題p和?q均為真命題，實數(shù)a的取值范圍為1【變式71】（2425高一上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知p：關(guān)于x的方程x2?2ax+a2+a?2=0(1)若?q是真命題，求a(2)若p和q中恰有一個是真命題，求a的取值范圍.【答案】(1)(?∞,1)∪(7,+∞)；(2)(?∞,1)∪(2,7].【解題思路】（1）由命題q是真命題求出a的取值范圍，根據(jù)其補集即可得出?q是真命題時a（2）利用判別式求出p為真時a的范圍，分p真q假，p假q真兩種情況求解即可.【解答過程】（1）由x?2a+5=0所以?3≤?5+2a≤9，解得因為命題?q是真命題，則命題q所以a<1或7<所以實數(shù)a的取值范圍是(?∞,1)∪(7,+∞).（2）由（1）知，命題q是真命題，即q:1≤若p為真命題，即關(guān)于x的方程x2因此Δ=4a2?4(則p為假命題時，a>2當(dāng)p真q假時，則a≤2a<1或當(dāng)p假q真時，則a>21≤a綜上，p和q中恰有一個是真命題時，a的取值范圍為(?∞,1)∪(2,7].【變式72】（2425高一上·安徽淮北·期中）已知命題p:“?x∈(1)寫出命題p的否定形式?p(2)若命題?p是一個假命題，求實數(shù)a【答案】(1)?x∈(2)[0,8)【解題思路】（1）根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解；（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為即不等式2ax2【解答過程】（1）由命題p:“?x∈R可得命題的否定為?p：“?x∈R（2）因為命題?p則命題p:“?x∈R即不等式2ax2當(dāng)a=0時，不等式1>0當(dāng)a≠0時，則滿足a>0Δ=綜上可得，實數(shù)a的取值范圍為[0,8)．【變式73】（2425高一上·山西晉中·階段練習(xí)）已知命題p:?x∈x(1)若命題?p為真命題，求實數(shù)a(2)若命題p和q有且僅有一個是真命題，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)a(2)答案見解析【解題思路】（1）根據(jù)題意知?x∈x（2）討論命題p，q的真假，由此可得實數(shù)a的取值范圍?！窘獯疬^程】（1）因為命題?p為真命題，即?即?x∈x∣2≤（2）p:?由于x2∈[4,9]，則此時a≤命題q:?a=0時，xa≠0時，Δ=9+4a≥0，即a≥?9綜上，a≥?所以，當(dāng)p真q假時a<?94；當(dāng)p假q【題型8全稱量詞、存在量詞命題與集合交匯】【例8】（2425高一上·湖南長