§1全等與相似第一課時平移、旋轉(zhuǎn)、反射和相似與位似[對應(yīng)學(xué)生用書P1]eq\a\vs4\al([自主學(xué)習(xí)])1．平移、旋轉(zhuǎn)、反射變換含義平移圖形的平移過程稱為平移變換旋轉(zhuǎn)圖形的旋轉(zhuǎn)過程稱為旋轉(zhuǎn)變換反射一個圖形F繞一條直線l翻轉(zhuǎn)180°得到另外一個圖形F′，則F與F′關(guān)于l對稱，這種圖形的變化過程稱為反射變換，直線l稱為反射軸2．相似與位似變換含義相似兩個圖形的形狀相同，但大小不同，這兩個圖形是相似圖形，把一個圖形按一定比例放大或縮小，這種圖形的變化過程稱為相似變換位似把一個圖形變?yōu)樗奈凰茍D形，這種圖形的變化過程稱為位似變換eq\a\vs4\al([合作探究])1．平移、旋轉(zhuǎn)變換過程中有何異同點？提示：相同點：兩者不改變圖形的形狀和大?。煌c：平移不會改變圖形的方向，而旋轉(zhuǎn)改變圖形方向．2．反射變換其實質(zhì)是軸對稱變換對嗎？提示：對．反射變換其實質(zhì)就是軸對稱變換．反射是由一條反射線確定，反射線也叫對稱軸，是連接圖形中任一點與該點映象之間的所有線段的垂直平分線．3．位似變換是特殊的相似變換嗎？提示：相似變換是把一個圖形按一定比例放大或縮小，而位似變換是圖形的位置發(fā)生了改變，其形狀、對應(yīng)角的大小都不變．位似變換是一種特殊的相似變換．[對應(yīng)學(xué)生用書P1]相似與位似變換及應(yīng)用[例1]如圖，△ABC三個頂點坐標分別為A(2,1)，B(4,4)，C(6,3)，以點O為位似中心，相似比為2，將△ABC放大，位似變換后，求A，B，C的對應(yīng)點的坐標．[思路點撥]本題主要考查相似和位似變換，解答此題需要先利用相似變換后再利用位似中心確定圖形．[精解詳析]如圖A，B，C的對應(yīng)點的坐標分別為A′(4,2)，B′(8,8)，C′(12,6)和A″(－4，－2)，B″(－8，－8)，C″(－12，－6)．相似變換的關(guān)鍵是確定相似比，而位似變換是由位似比決定的．若設(shè)A和A′是F和F′上任意一對對應(yīng)點，則O，A，A′共線且＝a·，(定值)a為F與F′的位似比，O是位似中心．當A和A′居位似中心同側(cè)時，a>0，當A和A′分別位居位似中心兩側(cè)時，a<0.故可知F與F′的相似比為|a|.特別地當a＝－1時，位似變換就是中心對稱變換．1．如圖，用放大鏡將圖形放大，應(yīng)該屬于()A．相似變換 B．平移變換C．反射變換 D．旋轉(zhuǎn)變換解析：選A用放大鏡放大是按一定比例放大的．屬相似變換．2．如圖，小“魚”與大“魚”是位似圖形，如果小“魚”上一個“頂點”的坐標為(a，b)，那么大“魚”上對應(yīng)“頂點”的坐標為()A．(－a，－2b) B．(－2a，－b)C．(－2a，－2b) D．(－2b，－2a)解析：選C找對稱點，易知選C.平移、旋轉(zhuǎn)、反射[例2]觀察下列幾組圖，分析每組圖中的右圖是由左圖經(jīng)過怎樣的變換得到的．[思路點撥]本題考查對平移、旋轉(zhuǎn)、反射變換的理解．解答此題，只需按照各自變換的含義判斷可得結(jié)論．[精解詳析](1)平移變換．(2)旋轉(zhuǎn)變換．(3)反射變換．判斷兩個圖形中的一個圖形是經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、反射哪種變換得到另一個圖形，應(yīng)抓住它們的特點判斷．平移、旋轉(zhuǎn)、反射變換只改變了圖形的位置，形狀、大小沒變．平移是把一個圖形沿某個方向移動一定的距離，旋轉(zhuǎn)是把一個圖形繞著一個定點，沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，反射是把一個圖形繞一條直線翻轉(zhuǎn)180°.本例(1)中兩圖形若放置如下圖．△A1B1C1與△A2B2C2全等．方格紙中正方形的邊長為1.在方格紙中將△A2B2C2經(jīng)過怎樣的變換后可以與△A1B1C1成中心對稱圖形？解：變換方法不唯一．如圖，△A2B2C2繞點C2順時針旋轉(zhuǎn)90°后即與△A1B1C1成中心對稱圖形．對稱中心為O.[例3]如圖，平面鏡A與B之間夾角為110°，光線經(jīng)平面鏡A反射到平面鏡B上，再反射出去，若∠1＝∠2，則∠1的度數(shù)為．[思路點撥]本題主要考查反射的應(yīng)用，解答此題時注意入射線與反射線間關(guān)系．[精解詳析]∵∠1＝∠2，且∠1＋∠2＋110°＝180°，∴∠1＝35°.[答案]35°入射線與反射線關(guān)于界面的法線對稱．即法線為反射軸，解決時注意結(jié)合圖形分析平面圖形的幾何性質(zhì)．3．如下圖，△ABC中，∠A＝30°，以BE為邊，將此三角形對折．其次，又以BA為邊，再一次對折，C點落在BE上，此時∠CDB＝82°，則原三角形的∠B＝度．解析：由翻折知∠ABE＝∠EBA′＝∠A′BC.∴eq\f(2,3)∠B＋30°＋98°＝180°，∴∠B＝78°.答案：78本課時考點常以平移、旋轉(zhuǎn)、反射為命題熱點，是高考新增內(nèi)容的一個亮點．[考題印證]如圖，線段AB＝8，點C在線段AB上，且AC＝2，P為線段CB上一動點，點A繞點C旋轉(zhuǎn)后與點B繞點P旋轉(zhuǎn)后重合于點D.設(shè)CP＝x，△CPD的面積為f(x)，則f(x)的定義域為；f′(x)的零點是．[命題立意]本題以旋轉(zhuǎn)變換與函數(shù)相結(jié)合考查函數(shù)關(guān)系式的求法及定義域零點問題．[自主嘗試]依題意得，以點C為圓心、AC＝2為半徑的圓與以點P為圓心、PB＝6－x為半徑的圓必相交，于是有|2－(6－x)|<x<2＋(6－x)，由此解得2<x<4，即函數(shù)f(x)的定義域是(2,4)．由已知得CD＝2，PD＝6－x，CP＝x，此時△CPD的周長等于8，△CPD的面積f(x)＝eq\r(4×4－2[4－6－x]×4－x)＝2eq\r(2[－x－32＋1])(注：利用海倫公式；若△ABC的邊長分別是a，b，c，p＝eq\f(a＋b＋c,2)，則△ABC的面積等于eq\r(pp－ap－bp－c))，因為函數(shù)y＝－(x－3)2＋1在(2,3)內(nèi)是增函數(shù)，在(3,4)內(nèi)是減函數(shù)，因此f′(x)的零點是3.答案：(2,4)3[對應(yīng)學(xué)生用書P3]一、選擇題1．將一矩形紙條，按如圖所示折疊，則∠1＝()A．64° B．16°C．52° D．26°解析：選C由翻折即對稱變換知∠1＝180°－2×64°＝52°.2．如圖，一塊等邊三角形木板ABC的邊長為1，現(xiàn)將木板沿水平線翻轉(zhuǎn)(繞一個點旋轉(zhuǎn))，那么A點從開始到結(jié)束所走的路徑長度為()A．4 B．2πC．eq\f(2π,3) D．eq\f(4π,3)解析：選D第一次轉(zhuǎn)了120度，再轉(zhuǎn)一次120度，共轉(zhuǎn)了240度．所以，所走的長度eq\f(4π,3).3．下列圖形中，繞某個點旋轉(zhuǎn)180°能與自身重合的有()①正方形，②長方形，③等邊三角形，④線段，⑤角，⑥平行四邊形．A．5個 B．2個C．3個 D．4個答案：DA．FG＝5，∠G＝70°B．EH＝5，∠F＝70°C．EF＝5，∠F＝70°D．EF＝5，∠E＝70°解析：選B平移后角和線段不變，∠B與∠F對應(yīng)，線段HE與AD對應(yīng)．二、填空題5．圖中是邊長為1的12個小正方形所組成的網(wǎng)格，則網(wǎng)中的格點△ABC的面積為．解析：S＝3×4－eq\f(1,2)×3×3－eq\f(1,2)×1×2－eq\f(1,2)×1×4＝eq\f(9,2).答案：eq\f(9,2)6．如圖，要把網(wǎng)格中的a，b，c三條線段沿著網(wǎng)格線平移后組成一個首尾相接的三角形，至少需要移動步(平移一格算一步)．解析：b不動，a平移2步，c平移3步，共平移5步．答案：57．如圖，由11個面積為6的等邊三角形按下列方式排列，它們都有一邊在同一直線上，每個三角形底邊的中點恰為下一個三角形的一個頂點．(1)該圖案的形成過程是．(2)由這11個三角形所蓋住的平面區(qū)域的面積是．解析：(1)該圖案形成的過程可看作第一個等邊三角形連續(xù)向右平移10次，每次移動的距離為底邊長的一半．(2)由圖形知，每個正三角形由四個小正三角形構(gòu)成．其小正三角形面積為eq\f(6,4)＝1.5，故這11個三角形所蓋住的平面區(qū)域的面積是34×eq\f(3,2)＝51.8．如圖已知線段DE由線段AB平移而得，AB＝DC＝4cm，EC＝5cm，則△DCE的周長是cm.解析：由平移的特征知：DE＝AB＝4.∴△DCE的周長為4＋4＋5＝13(cm)．答案：13三、解答題9．如圖是某設(shè)計師設(shè)計的方桌布圖案的一部分，請你運用旋轉(zhuǎn)變換的方法，在坐標紙上將該圖形繞原點順時針依次旋轉(zhuǎn)90°、180°、270°并畫出它在各象限內(nèi)的圖形，你會得到一個美麗的“立體圖形”，你來試一試吧！但是涂陰影時要注意利用旋轉(zhuǎn)變換的特點，不要涂錯了位置，否則不會出現(xiàn)理想的效果，你來試一試吧！解：如圖所示：10．如圖，根據(jù)要求答題：(1)要選用A，B，C中的一種瓷磚將上圖中的空白部分全部覆蓋，應(yīng)選用哪一種？并在圖①中畫出你的鋪法．(2)如果可以選擇其中的兩種，你還可以怎樣鋪？(在圖②中畫出你的鋪法)(3)三種瓷磚單價如下：A.8元，B.6元，C.9元5角，從經(jīng)濟的角度考慮，選擇哪一種方案較省錢？解：(1)選A種．(2)(3)選擇B，C兩種瓷磚較省錢．11．如圖