平行投影平行投影關(guān)鍵在于注意角度的變換及運(yùn)動(dòng)變化和發(fā)展的觀點(diǎn)的應(yīng)用，并由此來(lái)處理有關(guān)圖形的投影問(wèn)題．如一個(gè)圓在平面上的平行投影可能是一個(gè)圓，一個(gè)橢圓或者是一條線段，但是由于缺乏具體的量的關(guān)系，我們對(duì)所成的橢圓不能做出具體的量的關(guān)系．將圓與平面立體化就形成了平面與圓柱的截面問(wèn)題．[例1]已知△ABC的邊BC在平面α內(nèi)，A在平面α上的正投影為A′(A′不在邊BC上)．當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)、AB、AC與平面α所成的角分別是30°和45°時(shí)，求cos∠BA′C.[解]由題意，∠ABA′＝30°，∠ACA′＝45°.設(shè)AA′＝1，則A′B＝eq\r(3)，A′C＝1，AC＝eq\r(2)，AB＝2，∴BC＝eq\r(4＋2－2·2·\r(2)·\f(1,2))＝eq\r(6－2\r(2))，cos∠BA′C＝eq\f(3＋1－6＋2\r(2),2\r(3)·1)＝eq\f(\r(6)－\r(3),3).圓柱面、圓錐面的平面截線(1)由兩個(gè)等圓的內(nèi)公切線與兩條外公切線的交點(diǎn)，切點(diǎn)之間的量的關(guān)系具體化，就可以得到相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，將其進(jìn)一步拓廣到空間之中就得到了平面與圓柱的截面問(wèn)題．(2)在平面中：由與等腰三角形的兩條腰的交點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)一步推廣到空間中的平面與圓錐面的交線問(wèn)題所采用的方法與以前的平行投影和平面與圓柱面的截面問(wèn)題相同．從不同的方向不同的位置用平面去截圓錐面，其截面的形狀不同，由此我們可以得到定理，并可以利用Dandelin雙球?qū)Χɡ淼慕Y(jié)論進(jìn)行證明和研究其特點(diǎn)．[例2]如圖所示，用一個(gè)平面分別與球O1、O2切于F1、F2，截圓柱面于G1、G2點(diǎn)，求證所得的截面為橢圓．[證明]如圖所示由平面圖形的性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)P與G1或G2重合時(shí)，G2F1＋G2F2＝AD，G1F1＋G1F2＝AD.當(dāng)P不與G1、G2重合時(shí)，連接PF1、PF2，則PF1、PF2分別是兩個(gè)球面的切線，切點(diǎn)分別為F1、F2.過(guò)P作圓柱面的母線，與兩個(gè)球分別相交于K1、K2二點(diǎn)，則PK1、PK2分別為兩個(gè)球的切線，切點(diǎn)為K1、K2.由切線長(zhǎng)定理可知：PF1＝PK1，PF2＝PK2.所以有PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝AD＝G1G2.由于AD為定值且AD>F1F2，故點(diǎn)P的軌跡為橢圓．eq\a\vs4\al([對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P43])一、選擇題1．若一直線與平面的一條斜線在此平面上的正投影垂直，則這條直線與這條斜線的位置關(guān)系是()A．垂直 B．異面C．相交 D．不能確定解析：當(dāng)這條直線在平面內(nèi)時(shí)，則A成立，當(dāng)這條直線是平面的垂線，則B或C成立，故選D.答案：D2．在空間，給出下列命題：(1)一個(gè)平面的兩條斜線段相等，那么它們?cè)谄矫鎯?nèi)的正投影相等．(2)一條直線和平面的一條斜線垂直，必和這條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的正投影垂直．(3)一條斜線和它在平面內(nèi)的正投影所成的銳角是這條斜線和平面內(nèi)過(guò)斜足的所有直線所成的一切角中最小的角．(4)若點(diǎn)P到△ABC三邊所在的直線的距離相等，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影是△ABC的內(nèi)心．其中，正確的命題是()A．(3) B．(3)(4)C．(1)(3) D．(2)(4)解析：由平行投影的性質(zhì)知，當(dāng)兩條線段與平面所成的角相等時(shí)，才有(1)正確，在(2)中這條直線在平面外時(shí)不正確，(3)顯然正確；(4)中P點(diǎn)有可能是△ABC的旁心．答案：A3．一平面截圓錐面的截線為橢圓，橢圓的長(zhǎng)軸為8，長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離分別是6和10，則橢圓的離心率為()A.eq\f(3,5) B．eq\f(4,5)C.eq\f(1,2) D．eq\f(\r(2),2)解析：如圖為圓錐面的軸截面，則AB＝8，SA＝6，SB＝10，∴∠SAB＝90°，∴cos∠ASB＝eq\f(3,5)，∴cos∠ASP＝coseq\f(∠ASB,2)＝eq\r(\f(1＋cos∠ASB,2))＝eq\r(\f(1＋\f(3,5),2))＝eq\f(2\r(5),5).∴cos∠BPH＝sin∠ASP＝eq\r(1－cos2∠ASP)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))2)＝eq\f(\r(5),5).∴橢圓離心率e＝eq\f(cos∠BPH,cos∠ASP)＝eq\f(\f(\r(5),5),\f(2\r(5),5))＝eq\f(1,2).答案：C4．邊長(zhǎng)為2的等邊三角形所在平面與平面α所成的角為30°，BC?α，A在α內(nèi)的正投影為O，則△BOC的面積為()A.eq\f(\r(3),2) B．eq\f(3,2)C.eq\f(\r(3),4) D．eq\r(3)eq\f(S△BOC,S△ABC)＝eq\f(OD,AD)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，又S△ABC＝eq\r(3)，∴S△BOC＝eq\f(3,2).答案：B二、填空題5．P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA、PB、PC與平面ABC所成角均相等，又PA與BC垂直，那么△ABC的形狀可能是________．①正三角形②等腰三角形③非等腰三角形④等腰直角三角形(將你認(rèn)為正確的序號(hào)全填上)解析：設(shè)點(diǎn)P在底面ABC上的正投影為O，由PA、PB、PC與平面ABC所成角均相等，得OA＝OB＝OC，即點(diǎn)O為△ABC的外心，又由PA⊥BC，得OA⊥BC，得AO為△ABC中BC邊上的高線，所以AB＝AC，即△ABC必為等腰三角形，故應(yīng)填①②④.答案：①②④6．兩個(gè)大小不等的球相交，交線為_(kāi)_______．答案：圓7．在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝eq\f(π,2).則PA與底面ABC所成角為_(kāi)_______．解析：P在底面ABC的正投影為BC中點(diǎn)D，設(shè)PA＝PB＝PC＝2，則PD＝eq\r(3)，AP＝2，∴∠PAD＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)8．一圓柱面底半徑為2，一截面與軸成60°，從割平面上、下放入圓柱面的兩個(gè)內(nèi)切球，使它們都與截面相切，則這兩個(gè)切點(diǎn)的距離等為_(kāi)_______．解析：由已知可知截線為一個(gè)橢圓，并且其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a＝eq\f(4,cos30°)＝eq\f(4,\f(\r(3),2))＝eq\f(8\r(3),3)，短軸長(zhǎng)為2b＝2×2＝4，所以2c＝eq\r(2a2－2b2)＝eq\r(\f(8\r(3),3)2－42)＝eq\f(4\r(3),3).答案：eq\f(4\r(3),3)三、解答題9．設(shè)圓錐的頂角(圓錐軸截面上兩條母線的夾角)為120°，當(dāng)圓錐的一截面與軸成45°角時(shí)，求截得二次曲線的形狀及離心率．解：由題意知α＝60°，β＝45°，滿足β<α，這時(shí)截面截圓錐得的交線是雙曲線，其離心率為e＝eq\f(cos45°,cos60°)＝eq\r(2).10．如圖所示，已知DA⊥平面ABC，△ABC是斜三角形，A′是A在平面BCD上的正投影．求證：A′不可能是△BCD的垂心．證明：假設(shè)A′為△BCD的垂心，則A′B⊥CD.又因?yàn)锳A′⊥平面BCD于A′，則AB⊥CD.又因?yàn)镈A⊥平面ABC，則AD⊥AB，所以AB⊥AC，這與△ABC是斜三角形的已知條件相矛盾，故A′不可能是△BCD的垂心．11．已知圓錐面S，其母線與軸線的夾角為30°，又有一平面α與圓錐面的軸線成45°角并相交于點(diǎn)C，且SC＝6，一球與圓錐面相切并在平面α的上方與平面α相切．求此內(nèi)切球的半徑，并畫(huà)出它的直觀圖．解：設(shè)內(nèi)切球的球心為O，半徑為R，且設(shè)球O與錐面一個(gè)切點(diǎn)為P，球O與平面α切于M.在Rt△SPO中，OP＝R，∠PSO＝30°，所以SO＝2R.在Rt△OMC中，∠OCM＝45°，所以O(shè)C＝eq\f(R,sin45°)＝eq\f(R,\f(\r(2),2))＝eq\r(2)R.又SC＝6＝SO＋OC＝2R＋eq\r(2)R，所以R＝3(2－eq\r(2))，其直觀圖為如圖：(時(shí)間90分鐘，總分120分)一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．線段AB、CD在同一平面內(nèi)的正投影相等，則線段AB、CD的長(zhǎng)度關(guān)系為()A．AB>CD B．AB<CDC．AB＝CD D．無(wú)法確定解析：由線段AB、CD與平面所成的角來(lái)定，雖然投影相等，但線段AB、CD的長(zhǎng)度無(wú)法確定，故它們長(zhǎng)度關(guān)系也無(wú)法確定．答案：D2．正四面體在一個(gè)面上的平行投影是()A．一個(gè)三角形 B．兩個(gè)三角形C．三個(gè)三角形 D．以上都有可能解析：根據(jù)幾何體的三視圖可知，D正確．答案：D3．直線和直線外一點(diǎn)在同一面上的正投影是()A．一條直線 B．一點(diǎn)一直線C．一點(diǎn)一直線或一直線 D．無(wú)法確定答案：C4．如果一個(gè)三角形的平行投影仍是一個(gè)三角形，則下列結(jié)論中正確的是()A．內(nèi)心的平行投影仍為內(nèi)心B．重心的平行投影仍為重心C．垂心的平行投影仍為垂心D．外心的平行投影仍為外心解析：只有線段的比例相等時(shí)，投影線段的比例才不變，重心為三條中線的交點(diǎn)，三角形的平行投影中線仍為中線．答案：B5．圓錐的頂角為60°，截面與母線所成的角為60°，則截面所截得的截線是()A．圓 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線解析：由題意知截面與圓錐的軸線成90°角，即是圓錐的正截面，故截線為圓．答案：A6．圓錐的頂角為50°，圓錐的截面與軸線所成的角為30°，則截線是()A．圓 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線解析：由α＝eq\f(50°,2)＝25°，φ＝30°，φ>α故截線是橢圓．答案：B7．一個(gè)平面去截一個(gè)球面，其截線是()A．圓 B．橢圓C．點(diǎn) D．圓或點(diǎn)解析：當(dāng)截面與球相切，其截線是切點(diǎn)，相交時(shí)截線是圓．答案：D8．對(duì)于半徑為4的圓在平面上的平行投影的說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．投影為線段時(shí)，線段的長(zhǎng)為8B．投影為橢圓時(shí)，橢圓的短軸可能為8C．投影為橢圓時(shí)，橢圓的長(zhǎng)軸可能為8D．投影為圓時(shí)，圓的直徑可能為4解析：由平行投影的性質(zhì)易知D說(shuō)法錯(cuò)誤．答案：D9．如圖，圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為5cm的正方形ABCD，則圓柱側(cè)面上從A到C的最短距離為()A．10cm B.eq\f(5,2)eq\r(π2＋4)cmC．5eq\r(2)cm D．5eq\r(π2＋1)cm解析：如圖是圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，則AC長(zhǎng)為圓柱面上從A到C的最短距離．設(shè)圓柱的底面半徑為r，則r＝eq\f(5,2).∴底面圓周長(zhǎng)l＝2πr＝5π，∴AB＝eq\f(5,2)π.AD＝BC＝5，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)))2＋52)＝eq\f(5,2)eq\r(π2＋4)(cm)．答案：B10．如右圖，一個(gè)圓柱被一個(gè)平面所截，截面橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為5，短軸長(zhǎng)為4，被截后的幾何體的最短母線長(zhǎng)為2，則這個(gè)幾何體的體積為()A．20π B．16πC．14π D．8π解析：由已知圓柱底面半徑r＝2.即直徑為4.設(shè)截面與圓柱母線成α角，則sinα＝eq\f(4,5)，∴cosα＝eq\f(3,5).∴幾何體的最長(zhǎng)母線長(zhǎng)為2＋2acosα＝2＋5×eq\f(3,5)＝5.用一個(gè)同樣的幾何體補(bǔ)在上面，可得一個(gè)底半徑r＝2，高為7的圓柱，其體積為V＝π×22×7＝28π.∴所求幾何體的體積為eq\f(1,2)V＝14π.答案：C二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．把答案填寫(xiě)在題中的橫線上)11．用一個(gè)平面去截一個(gè)正圓錐面，而且這個(gè)平面不通過(guò)圓錐的頂點(diǎn)，則會(huì)出現(xiàn)四種情況：____________，________，________，________.解析：如圖答案：圓拋物線橢圓雙曲線12．在正方體ABCD－A′B′C′D′中，過(guò)對(duì)角線BD′的一個(gè)平面交AA′于E，交CC′于F.則①四邊形BFD′E一定是平行四邊形．②四邊形BFD′E有可能是正方形．③四邊形BFD′E在底面ABCD的正投影一定是正方形．④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D′D.以上結(jié)論正確的為_(kāi)_______．(寫(xiě)出所有正確的結(jié)論編號(hào))解析：由面面平行的性質(zhì)定理知①正確；當(dāng)E、F分別為中點(diǎn)時(shí)，所得的四邊形為菱形，但不是正方形，且此時(shí)平面BFD′E⊥平面BB′D′D.故②不正確，④正確；D′、E、F在底面上的正投影分別為D、A、C，故③正確．答案：①③④13．若圓柱的一正截面(垂直于軸的截面)的截線為半徑r＝3的⊙O，該圓柱的斜截面與軸線成60°角，則截線橢圓的離心率e＝________.解析：依題意，在橢圓中，a＝eq\f(r,sin60°)＝eq\f(3,\f(\r(3),2))＝2eq\r(3)，b＝r＝3，∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(2\r(3)2－32)＝eq\r(3)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)14．如圖，直角坐標(biāo)系xOy所在的平面為α，直角坐標(biāo)系x′Oy′(其中y′軸與y軸重合)所在的平面為β，∠x(chóng)Ox′＝45°.(1)已知平面β內(nèi)有一點(diǎn)P′(2eq\r(2)，2)，則點(diǎn)P′在平面α內(nèi)的射影P的坐標(biāo)為_(kāi)_______；(2)已知平面β內(nèi)的曲線C′的方程是(x′－eq\r(2))2＋2y2－2＝0，則曲線C′在平面α內(nèi)的射影C的方程是________．解析：(1)可知二面角α－y－β為45°，點(diǎn)P′到y(tǒng)軸的距離為2eq\r(2)，所以點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為2eq\r(2)×cos45°＝2，點(diǎn)P的y軸坐標(biāo)與點(diǎn)P′的y′軸坐標(biāo)相同，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)．(2)曲線C′的方程可化為eq\f(x′－\r(2)2,2)＋y2＝1，是一個(gè)橢圓．設(shè)O′(eq\r(2)，0)，因?yàn)閑q\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1，故中心O′在面α內(nèi)的射影O″的坐標(biāo)為(1,0)．令曲線C′長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)A′(2eq\r(2)，0)，由上問(wèn)可知其對(duì)應(yīng)的射影為A(2,0)，曲線C′短軸的一個(gè)端點(diǎn)B′(eq\r(2)，1)，對(duì)應(yīng)的射影為B(1,1)，由O″，B，A三點(diǎn)坐標(biāo)可知曲線C是一個(gè)以(1,0)為圓心，1為半徑的圓，方程為(x－1)2＋y2＝1.答案：(2,2)(x－1)2＋y2＝1三、解答題(本大題共4個(gè)小題，共50分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15．(本小題滿分12分)求證：三角形的中位線平行射影具有不變性．證明：已知：△ABC，DE是其中位線，它們的平行射影分別是△A′B′C′和D′E′，如下圖，求證：D′E′仍然是△A′B′C′的中位線．證明：連接AA′、EE′、CC′，則AA′∥EE′∥CC′.∵AE＝EC，∴A′E′＝E′C′.同理，A′D′＝D′B′.∴D′E′是△A′B′C′的中位線．16．(本小題滿分12分)平面β與圓錐面的軸l垂直，則交線是什么曲線？設(shè)圓錐底面半徑為R，高為h，頂點(diǎn)S到截面β的距離為h1(R，h，h1均為正常數(shù))．解：因?yàn)閘⊥β(垂足為O1)，所以平面β∥⊙O所在的平面．設(shè)P為交線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓錐的母線SQ，連接PO1，QO，則PO1為平面SQO與平面β的交線，QO為平面SQO與⊙O所在的平面的交線．所以PO1∥QO.于是eq\f(PO1,QO)＝eq\f(SO1,SO).即eq\f(PO1,R)＝eq\f(h1,h).因此PO1＝eq\f(Rh1,h)＝r(常數(shù))．所以點(diǎn)P到定點(diǎn)O1的距離為常數(shù)r，故交線為一個(gè)圓．17．(本小題滿分12分)圓錐面S的母線與軸線的夾角為30°，圓錐面內(nèi)有兩個(gè)相切的內(nèi)切球，半徑分別為r1、r2(r1<r2)求r1與r2的比．解：設(shè)球心分別為O1，O2，如圖則SO1＝2r1SO2＝2r2，O1O2＝2r2－2r1，又O1O2＝r1＋r2∴2r2－2r1＝r1＋r2.r2＝3r1∴r1∶r2＝1∶3.18．(本小題滿分14分)在空間中，取直線l為軸，直線l′與l相交于O點(diǎn)，夾角為α，l′圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點(diǎn)，l′為母線的圓錐面．任取平面δ，若它與軸l的交角為β(當(dāng)δ與l平行時(shí)，記β＝0)，求證β<α?xí)r，平面δ與圓錐的交線為雙曲線．證明：當(dāng)β<α?xí)r，平面δ與圓錐面的兩部分相交．在圓錐的兩部分分別嵌入Dandelin球，與平面δ的兩個(gè)切點(diǎn)分別是F1、F2，與圓錐兩部分截的圓分別是S1、S2.在截口上任取一點(diǎn)P，連接PF1、PF2，過(guò)P作母線分別和兩球切于Q1、Q2，則PF1＝PQ1，PF2＝PQ2.∴|PF1－PF2|＝|PQ1－PQ2|＝Q1Q2，∵Q1Q2是兩圓S1、S2所在平行平面間的母線段長(zhǎng)，為定值，∴由雙曲線的定義知，點(diǎn)P的軌跡為雙曲線．模塊綜合檢測(cè)[對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P49](時(shí)間：90分鐘，總分120分)一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．如圖所示，在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，BN⊥AN，若AB＝14，AC＝19，則MN的長(zhǎng)為()A．2 B．2.5C．3 D．3.5解析：延長(zhǎng)BN交AC于D，則△ABD為等腰三角形，AD＝AB＝14.故CD＝5.又∵M(jìn)，N分別是BC，BD的中點(diǎn)，∴MN＝eq\f(1,2)CD＝2.5.答案：B2．在?ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，AC、BD交于O，則與△ABE面積相等的三角形有()A．5個(gè) B．6個(gè)C．7個(gè) D．8個(gè)解析：利用三角形面積公式，等底等高的兩個(gè)三角形面積相等，再利用平行四邊形的面積為中介，建立面積相等關(guān)系．答案：C3．在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上，且AE∶EB＝2∶1，AF⊥DE于G，交BC于F，則△AEG的面積與四邊形BEGF的面積比為()A．1∶2 B．1∶4C．4∶9 D．2∶3解析：易證△ABF≌△DAE.故知BF＝AE.因?yàn)锳E∶EB＝2∶1，故可設(shè)AE＝2x，EB＝x，則AB＝3x，BF＝2x.由勾股定理得AF＝eq\r(3x2＋2x2)＝eq\r(13)x.易證△AEG∽△ABF.可得S△AEG∶S△ABF＝AE2∶AF2＝(2x)2∶(eq\r(13)x)2＝4∶13.可得S△AEG∶S四邊形BEGF＝4∶9.答案：C4．圓錐面S的母線與軸線的夾角為30°，其內(nèi)切球的半徑為1，則切點(diǎn)圓的面積為()A.eq\f(1,4)π B．eq\f(1,2)πC.eq\f(3,8)π D．eq\f(3,4)π解析：設(shè)球心為O，切點(diǎn)圓的圓心為O1，如圖，由∠ASO＝30°，OA＝1，OA⊥SA得O1A＝eq\f(\r(3),2).∴S＝π·O1A2＝eq\f(3,4)π.答案：D5．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝135°，以A為圓心，AB為半徑，作⊙A交AD、BC于E、F兩點(diǎn)，并交BA延長(zhǎng)線于G，則的度數(shù)是()A．45° B．60°C．90° D．135°解析：的度數(shù)等于圓心角∠BAF的度數(shù)．由題意知∠B＝45°，所以∠BAF＝180°－2∠B.答案：C6．在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，下列條件中，不能判定DE∥BC的是()A．AD＝5，AB＝8，AE＝10，AC＝16B．BD＝1，AD＝3，CE＝2，AE＝6C．AB＝7，BD＝4，AE＝4，EC＝3D．AB＝AC＝9，AD＝AE＝8解析：對(duì)應(yīng)線段必須成比例，才能斷定DE和BC是平行關(guān)系，顯然C中的條件不成比例．答案：C7.如圖所示，PA切圓于A，PA＝8，直線PCB交圓于C，B，連接AB，AC，且PC＝4，AD⊥BC于D，∠ABC＝α，∠ACB＝β，則eq\f(sinα,sinβ)的值等于()A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．2 D．4解析：要求eq\f(sinα,sinβ)，注意到sinα＝eq\f(AD,AB)，sinβ＝eq\f(AD,AC)，即eq\f(AC,AB)＝eq\f(sinα,sinβ)，又△PAC∽△PBA，得eq\f(AC,AB)＝eq\f(PC,PA)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2).答案：B8.已知：如圖，?ABCD中，EF∥AC交AD、DC于E、F，AD，BF交于M，則下列等式成立的是()A．AD2＝AE·AMB．AD2＝CF·DCC．AD2＝BC·ABD．AD2＝AE·ED解析：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥DC.∵DF∥AB，∴eq\f(AD,AM)＝eq\f(BF,BM).∵DM∥BC，∴eq\f(BF,BM)＝eq\f(CF,DC).∵EF∥AC，∴eq\f(AE,AD)＝eq\f(CF,DC).∴eq\f(AD,AM)＝eq\f(AE,AD)，∴AD2＝AE·AM.答案：A9．若D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，△ADC∽△ACB，AD＝5，AC＝6，△ABC的面積是S，則△BCD的面積是()A.eq\f(3,5)S B．eq\f(4,5)SC.eq\f(5,9)S D．eq\f(11,36)S解析：∵△ADC∽△ACB，∴S△ADC∶S△ACB＝(AD∶AC)2＝25∶36.∵S△ABC＝S，∴S△ACD＝eq\f(25,36)S.∴S△BCD＝S－eq\f(25,36)S＝eq\f(11,36)S.答案：D10．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC是直徑，AD＝DC，∠ADB＝20°，則∠ACB，∠DBC分別為()A．15°與30° B．20°與35°C．20°與40° D．30°與35°解析：∵∠ADB＝20°，∴∠ACB＝∠ADB＝20°.又∵BC為⊙O的直徑，∵D為的中點(diǎn)，∴的度數(shù)為70°.∴∠DBC＝eq\f(70°,2)＝35°.答案：B二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．把答案填寫(xiě)在題中的橫線上)11.如圖，AB是圓O的直徑，直線CE和圓O相切于點(diǎn)C，AD⊥CE于D，若AD＝1，∠ABC＝30°，則圓O的面積是________．解析：∵在⊙O中，∠ACD＝∠ABC＝30°，且在Rt△ACD中，AD＝1，∴AC＝2，AB＝4，又∵AB是⊙O的直徑，∴⊙O的半徑為2，∴圓O的面積為4π.答案：4π12．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC為直徑作半圓交AB于D，過(guò)D作半圓的切線交AC于E，若AD＝2，DB＝4，則DE＝________.解析：由切割線定理得：AC2＝AD·AB＝2×6＝12.所以AC＝2eq\r(3).連接CD，可證：EC＝ED，∠A＝∠EDA.所以AE＝ED，所以ED＝AE＝EC＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(3).答案：eq\r(3)13．如圖，AB，CD是圓O內(nèi)的兩條平行弦，BF∥AC，BF交CD于點(diǎn)E，交圓O于點(diǎn)F，過(guò)A點(diǎn)的切線交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，若PC＝ED＝1，PA＝2，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_______．解析：∵PA是⊙O的切線，∴由切割線定理得PA2＝PC·PD.∵PA＝2，PC＝1，∴PD＝4.又∵PC＝ED＝1，∴CE＝2，由題意知四邊形ABEC為平行四邊形，∴AB＝CE＝2.連接BC，如圖，∵PA是⊙O的切線，∴∠PAC＝∠CBA.∵AB，CD是圓的兩條平行弦，∴∠PCA＝∠CAB，∴△PAC∽△CBA，∴eq\f(PC,CA)＝eq\f(CA,AB)，∴AC2＝PC·AB＝2，∴AC＝eq\r(2).答案：eq\r(2)14．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以BC上一點(diǎn)O為圓心作⊙O與AB相切于E，與AC相切于C.又⊙O與BC的另一個(gè)交點(diǎn)為D，則線段BD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．解析：在Rt△ABC中，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝5.連接OE，則△OBE∽△ABC，∴eq\f(OE,AC)＝eq\f(OB,AB)＝eq\f(BC－OE,AB)，即eq\f(OE,4)＝eq\f(3－OE,5)，∴OE＝eq\f(4,3)，∴BD＝BC－2OE＝3－eq\f(8,3)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)三、解答題(本大題共4個(gè)小題，滿分50分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15．(本小題滿分12分)如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，若E是AC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于F，求證：eq\f(AB,AC)＝eq\f(DF,AF).證明：∵E是Rt△ADC斜邊AC的中點(diǎn)，∴AE＝EC＝DE.∴∠EDC＝∠ECD，又∠EDC＝∠BDF，∴∠EDC＝∠ECD＝∠BDF.又AD⊥BC且∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠ECD，