-01-

規(guī)律1

如果平面上有n(n≥2)個點，其中任何三點都不在同

一直線上，那么每兩點畫一條直線，一共可以畫出

n(n－1)條。

規(guī)律2

平面上的n條直線最多可把平面分成〔n(n+1)/2+1〕

個部分。

規(guī)律3

如果一條直線上有n個點，（關注微信公眾：初三

數(shù)學語文英語）那么在這個圖形中共有線段的條數(shù)

為n(n－1)條。

規(guī)律4

線段（或延長線）上任一點分線段為兩段，這兩條

線段的中點的距離等于線段長的一半。

規(guī)律5

有公共端點的n條射線所構成的角的個數(shù)一共有n(n

－1)個。

規(guī)律6

如果平面內有n條直線都經(jīng)過同一點，（關注微信

公眾：初三數(shù)學語文英語）則可構成小于平角的角

共有2n（n－1）個。

規(guī)律7

如果平面內有n條直線都經(jīng)過同一點，則可構成n

（n－1）對對頂角。

規(guī)律8

平面上若有n（n≥3）個點，任意三個點不在同一直

線上，過任意三點作三角形一共可作出n(n－1)(n－

2）個。

規(guī)律9

互為鄰補角的兩個角平分線所成的角的度數(shù)為90°。

規(guī)律10

平面上有n條直線相交，最多交點的個數(shù)為n(n－1)

個。

規(guī)律11

互為補角中較小角的余角等于這兩個互為補角的角

的差的一半。

規(guī)律12

當兩直線平行時，同位角的角平分線互相平行，內

錯角的角平分線互相平行，同旁內角的角平分線互

相垂直。

規(guī)律13

在證明直線和圓相切時，常有以下兩種引輔助線方

法：

（1）當已知直線經(jīng)過圓上的一點，那么連結這點和

圓心，得到輔助半徑，再證明所作半徑與這條直線

垂直即可。

（2）如果不知直線與圓是否有交點時，那么過圓心

作直線的垂線段，再證明垂線段的長度等于半徑的

長即可。

-02-

規(guī)律14

成“8”字形的（關注微信公眾：初三數(shù)學語文英語）

兩個三角形的一對內角平分線相交所成的角等于另

兩個內角和的一半。

規(guī)律15

在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如果

直接證不出來，可連結兩點或延長某邊構造三角形，

使結論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再利

用三邊關系定理及不等式性質證題。

注意：利用三角形三邊關系定理及推論證題時，常

通過引輔助線，把求證的量（或與求證有關的量）

移到同一個或幾個三角形中去然后再證題。

規(guī)律16

三角形的一個內角平分線與一個外角平分線相交所

成的銳角，等于第三個內角的一半。

規(guī)律17

三角形的兩個內角平分線相交所成的鈍角等于90o

加上第三個內角的一半。

規(guī)律18

三角形的兩個外角平分線相交所成的銳角等于90o

減去第三個內角的一半。

規(guī)律19

從三角形的一個頂點作高線和角平分線，它們所夾

的角等于三角形另外兩個角差（的絕對值）（關注

微信公眾：初三數(shù)學語文英語）的一半。

注意：同學們在學習幾何時，可以把自己證完的題

進行適當變換，從而使自己通過解一道題掌握一類

題，提高自己舉一反三、靈活應變的能力。

規(guī)律20

在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角證

明角的不等關系時，如果直接證不出來，可連結兩

點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個

三角形外角的位置上，小角處在內角的位置上，再

利用外角定理證題。

規(guī)律21

有角平分線時常在角兩邊截取相等的線段，構造全

等三角形。

規(guī)律22

有以線段中點為端點的線段時，常加倍延長此線段

構造全等三角形。

規(guī)律23

在三角形中有中線時，常加倍延長中線構造全等三

角形。

規(guī)律24

截長補短作輔助線的方法

截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線

段；

補短法：延長較短線段和較長線段相等。

這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法。

當已知或求證中涉及到線段a、b、c、d有下列情況

之一時用此種方法：

①a＞b②a±b=c③a±b=c±d

規(guī)律25

證明兩條線段相等的步驟：

①觀察要證線段在哪兩個可能全等的三角形中，然

后證這兩個三角形全等。

②若圖中沒有全等三角形，可以把求證線段用和它

相等的線段代換，再證它們所在的三角形全等。

③如果沒有相等的線段代換，可設法作輔助線構造

全等三角形。

規(guī)律26

在一個圖形中，有多個垂直關系時，常用同角（等

角）的余角相等來證明兩個角相等。

規(guī)律27

三角形一邊的兩端點到這邊的中線所在的直線的距

離相等。

規(guī)律28

條件不足時延長已知（關注微信公眾：初三數(shù)學語

文英語）邊構造三角形。

規(guī)律29

連接四邊形的對角線，把四邊形問題轉化成三角形

來解決問題。

規(guī)律30

有和角平分線垂直的線段時，（關注微信公眾：初

三數(shù)學語文英語）通常把這條線段延長。可歸結為“角

分垂等腰歸”。

規(guī)律31

當證題有困難時，可結合已知條件，把圖形中的某

兩點連接起來構造全等三角形。

規(guī)律32

當證題缺少線段相等的條件時，可取某條線段中點，

為證題提供條件。

規(guī)律33

有角平分線時，常過角平分線上的點向角兩邊做垂

線，利用角平分線上的點到角兩邊距離相等證題。

規(guī)律34

有等腰三角形時常用的輔助線

（1）作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線

（2）有底邊中點時，常作底邊中線

（3）將腰延長一倍，構造直角三角形解題

（4）常過一腰上的某一已知點做另一腰的平行線

（5）常過一腰上的某一已知點做底的平行線

（6）常將等腰三角形轉化成特殊的等腰三角形--等

邊三角形

規(guī)律35

有二倍角時常用的輔助線

（1）構造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角

的外角

（2）平分二倍角

（3）加倍小角

規(guī)律36

有垂直平分線時常把垂直平分線上的點與線段兩端

點連結起來。

規(guī)律37

有垂直時常構造垂直平分線。

規(guī)律38

有中點時常構造垂直平分線。

規(guī)律39

當涉及到線段平方的關系式時常構造直角三角形，

利用勾股定理證題。

規(guī)律40

條件中出現(xiàn)特殊角時常作高把特殊角放在直角三角

形中。

-03-

規(guī)律41

平行四邊形的兩鄰邊之和等于平行四邊形周長的一

半。

規(guī)律42

平行四邊形被對角線分成四個小三角形，（關注微

信公眾：初三數(shù)學語文英語）相鄰兩個三角形周長

之差等于鄰邊之差。

規(guī)律43

有平行線時常作平行線構造平行四邊形。

規(guī)律44

有以平行四邊形一邊中點為端點的線段時常延長此

線段。

規(guī)律45

平行四邊形對角線的交點到一組對邊距離相等。

規(guī)律46

平行四邊形一邊（或這邊所在的直線）上的任意一

點與對邊的兩個端點的連線所構成的三角形的面積

等于平行四邊形面積的一半。

規(guī)律47

平行四邊形內任意一點與四個頂點的連線所構成的

四個三角形中，不相鄰的兩個三角形的面積之和等

于平行四邊形面積的一半。

規(guī)律48

任意一點與同一平面內的矩形各點的連線中，不相

鄰的兩條線段的平方和相等。

規(guī)律49

平行四邊形四個內角平分線所圍成的四邊形為矩形。

規(guī)律50

有垂直時可作垂線構造矩形或平行線。

規(guī)律51

直角三角形常用輔助線方法：

（1）作斜邊上的高

（2）作斜邊中線，當有下列情況時常作斜邊中線：

①有斜邊中點時

②有和斜邊倍分關系的線段時

規(guī)律52

正方形一條對角線上一點到另一條對角線上的兩端

距離相等。

規(guī)律53

有正方形一邊中點時常取另一邊中點。

規(guī)律54

利用正方形進行旋轉變換。旋轉變換就是當圖形具

有鄰邊相等這一特征時，可以把圖形的某部分繞相

等鄰邊的公共端點旋轉到另一位置的引輔助線方法。

旋轉變換主要用途是把分散元素通過旋轉集中起來，

從而為證題創(chuàng)造必要的條件。旋轉變換經(jīng)常用于等

腰三角形、等邊三角形及正方形中。

規(guī)律55

有以正方形一邊中點為端點的線段時，常把這條線

段延長，構造全等三角形。

規(guī)律56

從梯形的一個頂點作一腰的平行線，把梯形分成一

個平行四邊形和一個三角形。

規(guī)律57

從梯形同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，

（關注微信公眾：初三數(shù)學語文英語）把梯形轉化

成一個矩形和兩個三角形。

規(guī)律58

從梯形的一個頂點作一條對角線的平行線，把梯形

轉化成平行四邊形和三角形。

規(guī)律59

延長梯形兩腰使它們交于一點，把梯形轉化成三角

形。

規(guī)律60

有梯形一腰中點時，常過此中點作另一腰的平行線，

把梯形轉化成平行四邊形。

規(guī)律61

有梯形一腰中點時，也常把一底的端點與中點連結

并延長與另一底的延長線相交，把梯形轉換成三角

形。

規(guī)律62

梯形有底的中點時，常過中點做兩腰的平行線。

規(guī)律63

任意四邊形的對角線互相垂直時，它們的面積都等

于對角線乘積的一半。

規(guī)律64

有線段中點時，常過中點作平行線，利用平行線等

分線段定理的推論證題。

規(guī)律65

有下列情況時常作三角形中位線。

（1）有一邊中點；

（2）有線段倍分關系；

（3）有兩邊（或兩邊以上）中點。

規(guī)律66

有下列情況時常構造梯形中位線

（1）有一腰中點

（2）有兩腰中點

（3）涉及梯形上、下底和

規(guī)律67

連結任意四邊形各邊中點所得的四邊形為平行四邊

形。

規(guī)律68

連結對角線相等的四邊形中點所得的四邊形為菱形。

規(guī)律69

連結對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得的四邊

形為矩形。

規(guī)律70

連結對角線互相（關注微信公眾：初三數(shù)學語文英

語）垂直且相等的四邊形各邊中點所得的四邊形為

正方形。

規(guī)律71

連結平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形

各邊中點所得的四邊形分別為平行四邊形、菱形、

矩形、正方形、菱形。

規(guī)律72

等腰梯形的對角線互相垂直時，梯形的高等于兩底

和的一半（或中位線的長）。

規(guī)律73

等腰梯形的對角線與底構成的兩個三角形為等腰三

角形。

規(guī)律74

如果矩形對角線相交所成的鈍角為120o，則矩形較

短邊是對角線長的一半。

規(guī)律75

梯形的面積等于一腰的中點到另一腰的距離與另一

腰的乘積。

規(guī)律76

若菱形有一內角為120°，則菱形的周長是較短對角

線長的4倍。

-04-

規(guī)律77

當圖形中有叉線（基本圖形如下）時，常作平行線。

規(guī)律78

有中線時延長中線（有時也可在中線上截取線段）

構造平行四邊形。

規(guī)律79

當已知或求證中，涉及到以下情況時，常構造直角

三角形。

（1）有特殊角時，如有30°、45°、60°、120°、135°

角時。

（2）涉及有關銳角三角函數(shù)值時。

構造直角三角形經(jīng)常通過作垂線來實現(xiàn)。

-05-

規(guī)律80

當已知條件中有切線時，常作過切點的半徑，利用

切線的性質定理證題。

規(guī)律81

兩圓相交時，常連結兩圓的公共弦。

規(guī)律82

任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；（關注

微信公眾：初三數(shù)學語文英語）任意銳角的余弦值

等于它的余角的正弦值。

規(guī)律83

任意銳角的正切值等于它的余角的余切值；任意銳

角的余切值等于它的余角的正切值。

規(guī)律84

三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角正弦之積的

一半。

規(guī)律85

等腰直角三角形斜邊的長等于直角邊的√2倍。

規(guī)律86

在含有30°角的直角三角形中，60°角所對的直角邊

是30°角所對的直角邊的√3倍。

規(guī)律87

直角三角形中，如果較長直角邊是較短直角邊的2

倍，則斜邊是較短直角邊的√5倍