全等變換

平移：平行等線段（平行四邊形）

對(duì)稱：角平分線或垂直或半角

旋轉(zhuǎn)：相鄰等線段繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

對(duì)稱全等模型：

說(shuō)明：以角平分線為軸在角兩邊進(jìn)行截長(zhǎng)補(bǔ)短或者作邊的垂線，形成

對(duì)稱全等。兩邊進(jìn)行邊或者角的等量代換，產(chǎn)生聯(lián)系。垂直也可以做

為軸進(jìn)行對(duì)稱全等。

對(duì)稱半角模型

說(shuō)明：上圖依次是45°、30°、22.5°、15°及有一個(gè)角是30°直

角三角形的對(duì)稱（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等邊

三角形、對(duì)稱全等。

旋轉(zhuǎn)全等模型

半角：有一個(gè)角含1/2角及相鄰線段

自旋轉(zhuǎn)：有一對(duì)相鄰等線段，需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等

共旋轉(zhuǎn)：有兩對(duì)相鄰等線段，直接尋找旋轉(zhuǎn)全等

中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：倍長(zhǎng)中點(diǎn)相關(guān)線段轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)全等問(wèn)題

旋轉(zhuǎn)半角模型

說(shuō)明：旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線段所成角含一個(gè)二分之一角，通過(guò)

旋轉(zhuǎn)將另外兩個(gè)和為二分之一的角拼接在一起，成對(duì)稱全等。

自旋轉(zhuǎn)模型

構(gòu)造方法：

遇60度旋60度，造等邊三角形

遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋頂點(diǎn)，造旋轉(zhuǎn)全等

遇中點(diǎn)旋180度，造中心對(duì)稱

共旋轉(zhuǎn)模型

說(shuō)明：旋轉(zhuǎn)中所成的全等三角形，第三邊所成的角是一個(gè)經(jīng)?？疾斓?/p>

內(nèi)容。通過(guò)“8”字模型可以證明。

模型變形

說(shuō)明：模型變形主要是兩個(gè)正多邊形或者等腰三角形的夾角的變化，

另外是等腰直角三角形與正方形的混用。當(dāng)遇到復(fù)雜圖形找不到旋

轉(zhuǎn)全等時(shí)，先找兩個(gè)正多邊形或者等腰三角形的公共頂點(diǎn)，圍繞

公共頂點(diǎn)找到兩組相鄰等線段，分組組成三角形證全等。

中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：

說(shuō)明：兩個(gè)正方形、兩個(gè)等腰直角三角形或者一個(gè)正方形一個(gè)等

腰直角三角形及兩個(gè)圖形頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，證明另外兩個(gè)頂點(diǎn)與

中點(diǎn)所成圖形為等腰直角三角形。

證明方法是倍長(zhǎng)所要證等腰直角三角形的一直角邊，轉(zhuǎn)化成要證

明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公

旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)，通過(guò)證明旋轉(zhuǎn)全等三角形證明倍長(zhǎng)后的大三角形為等

腰直角三角形從而得證。

幾何最值模型

對(duì)稱最值(兩點(diǎn)間線段最短)

對(duì)稱最值(點(diǎn)到直線垂線段最短)

說(shuō)明：通過(guò)對(duì)稱進(jìn)行等量代換，轉(zhuǎn)換成兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)到直線距離。

旋轉(zhuǎn)最值(共線有最值)

說(shuō)明：找到與所要求最值相關(guān)成三角形的兩個(gè)定長(zhǎng)線段，定長(zhǎng)線段的

和為最大值，定長(zhǎng)線段的差為最小值。

簡(jiǎn)拼模型

三角形→四邊形

四邊形→四邊形

說(shuō)明：剪拼主要是通過(guò)中點(diǎn)的180度旋轉(zhuǎn)及平移改變圖形的形狀。

矩形→正方形

說(shuō)明：通過(guò)射影定理找到正方形的邊長(zhǎng)，通過(guò)平移與旋轉(zhuǎn)完成形狀改

變

正方形+等腰直角三角形→正方形

面積等分

旋轉(zhuǎn)相似模型

說(shuō)明：兩個(gè)等腰直角三角形成旋轉(zhuǎn)全等，兩個(gè)有一個(gè)角是300角的直

角三角形成旋轉(zhuǎn)相似。

推廣：兩個(gè)任意相似三角形旋轉(zhuǎn)成一定角度，成旋轉(zhuǎn)相似。第三邊所

成夾角符合旋轉(zhuǎn)“8”字的規(guī)律。

相似模型

說(shuō)明：注意邊和角的對(duì)應(yīng)，相等線段或者相等比值在證明相似中起到

通過(guò)等量代換來(lái)構(gòu)造相似三角形的作用。

說(shuō)明：（1）三垂直到一線三等角的演變，三等角以30度、45度、

60度形式出現(xiàn)的居多。（2）內(nèi)外角平分線定理到射影定理的演變，

注意之間的相同與不同之處。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可

以推廣到圓冪定理）之間的比值可以轉(zhuǎn)換成乘積，通過(guò)等線段、等比

值、等乘積進(jìn)行代換，進(jìn)行證明得到需要的結(jié)論。

說(shuō)明：相似證明中最常用的輔助線是做平行，根據(jù)題目的條件或者結(jié)

論的比值來(lái)做相應(yīng)的平行線。

中點(diǎn)模型

【模型1】倍長(zhǎng)1、倍長(zhǎng)中線；2、倍長(zhǎng)類中線；3、中點(diǎn)遇平行延長(zhǎng)

相交

【模型2】遇多個(gè)中點(diǎn)，構(gòu)造中位線1、直接連接中點(diǎn)；2、連對(duì)角

線取中點(diǎn)再相連

【例】在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC=60°，G是DF的中點(diǎn)，

連接GC、GE。

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，若AB=10，BF=4，求GE的長(zhǎng)；（2）

如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段GC、GE有怎樣的數(shù)量和位

置關(guān)系，寫出你的猜想；并給予證明；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)F在CB的

延長(zhǎng)線上時(shí)，(2)問(wèn)中關(guān)系還成立嗎？寫出你的猜想，并給予證

明.

角平分線模型

【模型1】構(gòu)造軸對(duì)稱

【模型2】角平分線遇平行構(gòu)造等腰三角形

【例】如圖，平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD交BC邊于E，EF⊥AE

交CD邊于F，交AD邊于H，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)G，使AG=CF，連接GF．若

BC=7，DF=3，EH=3AE，則GF的長(zhǎng)為

手拉手模型

鄰邊相等的對(duì)角互補(bǔ)模型

【例】如圖，矩形ABCD中，AB=6，A