《中心對(duì)稱》知識(shí)回顧1.旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度.2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解中心對(duì)稱的定義.2.探究中心對(duì)稱的性質(zhì).3.掌握中心對(duì)稱的性質(zhì)及其應(yīng)用.課堂導(dǎo)入前面我們研究了旋轉(zhuǎn)及其性質(zhì)，現(xiàn)在研究一類特殊的旋轉(zhuǎn)——中心對(duì)稱及其性質(zhì).知識(shí)點(diǎn)1新知探究如圖，把其中一個(gè)圖案繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，你有什么發(fā)現(xiàn)？?jī)蓚€(gè)圖案能夠完全重合在一起．知識(shí)點(diǎn)1新知探究如圖，線段AC，BD相交于點(diǎn)O，OA=OC，OB=OD．把△OCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，你有什么發(fā)現(xiàn)？ABDCO兩個(gè)圖案能夠完全重合在一起．知識(shí)點(diǎn)1新知探究你能說(shuō)說(shuō)上述兩個(gè)旋轉(zhuǎn)的共同點(diǎn)嗎？（1）圖形中旋轉(zhuǎn)中心是哪一點(diǎn)？（2）旋轉(zhuǎn)的角度是多少？（3）兩個(gè)圖形的關(guān)系？點(diǎn)O180°完全重合知識(shí)點(diǎn)1新知探究如果把一個(gè)圖形(如△ABO)繞定點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180o，它能夠與另一個(gè)圖形(如△CDO)重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)就是對(duì)稱中心.(1)中心對(duì)稱是指兩個(gè)圖形間的位置關(guān)系，必須涉及兩個(gè)圖形.(2)中心對(duì)稱是特殊的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為180°.(3)成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，只有一個(gè)對(duì)稱中心，這個(gè)對(duì)稱中心可能在兩個(gè)圖形的外部，也可能在圖形的內(nèi)部或圖形上，但對(duì)稱點(diǎn)一定在對(duì)稱中心的兩側(cè)或與對(duì)稱中心重合.知識(shí)點(diǎn)1新知探究如圖，△OCD與△OAB關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱，則____是對(duì)稱中心，點(diǎn)A與_____是對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)B與____是對(duì)稱點(diǎn).BCADOOCD知識(shí)點(diǎn)1新知探究1.中心對(duì)稱是一種特殊的旋轉(zhuǎn).其旋轉(zhuǎn)角是180°.2.中心對(duì)稱是兩個(gè)圖形之間一種特殊的位置關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)1新知探究軸對(duì)稱中心對(duì)稱1有一條對(duì)稱軸

——直線有一個(gè)對(duì)稱中心

——點(diǎn)2圖形沿軸對(duì)折（翻轉(zhuǎn)

180°）圖形繞中心旋轉(zhuǎn)180°3翻轉(zhuǎn)后和另一個(gè)圖形重合旋轉(zhuǎn)后和另一個(gè)圖形重合1ABCC1AB1O中心對(duì)稱與軸對(duì)稱的異同跟蹤訓(xùn)練新知探究如圖所示的4組圖形中，左邊圖形與右邊圖形成中心對(duì)稱的有()A.1組 B.2組 C.3組 D.4組C解：根據(jù)中心對(duì)稱的定義，只有第(4)組圖形中的左邊圖形與右邊圖形不能形成中心對(duì)稱.故選C.(4)(3)(2)(1)知識(shí)點(diǎn)2新知探究下圖中△A′B′C′與△ABC關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，你能從圖中找到哪些等量關(guān)系?A′B′C′ABCO(1)OA=OA′、OB=OB′、OC=OC′(2)△ABC≌△A′B′C′知識(shí)點(diǎn)2新知探究如圖，旋轉(zhuǎn)三角板，畫關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的兩個(gè)三角形：第一步，畫出△ABC；第二步，以三角板的一個(gè)頂點(diǎn)O為對(duì)稱中心，把三角板旋轉(zhuǎn)180°，畫出△A′B′C′；第三步，移開(kāi)三角板.CABCABA′B′OC′這樣畫出的△ABC與△A′B′C′關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱，分別連接對(duì)稱點(diǎn)AA′，BB′，CC′.點(diǎn)O在線段AA′上嗎？如果在，在什么位置？△ABC與△A′B′C′有什么關(guān)系？活學(xué)巧記中心對(duì)稱，平面變換,對(duì)應(yīng)端點(diǎn)，連線中分,對(duì)應(yīng)線段，平行相等.知識(shí)點(diǎn)2新知探究1.成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分.2.中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形.中心對(duì)稱的性質(zhì)(1)因?yàn)橹行膶?duì)稱是一種特殊的旋轉(zhuǎn)變換，所以具備旋轉(zhuǎn)的一切性質(zhì).(2)成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，其對(duì)應(yīng)線段互相平行(或在同一條直線上)且相等.知識(shí)點(diǎn)2新知探究確定對(duì)稱中心的方法方法一：連接任意一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，取這條線段的中點(diǎn)，則該點(diǎn)就是對(duì)稱中心.方法二：連接任意兩對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，這兩條線段的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心.知識(shí)點(diǎn)2新知探究1.中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定全等，但全等的兩個(gè)圖形不一定成中心對(duì)稱.2.用中心對(duì)稱的性質(zhì)可以推得線段相等、角相等和圖形全等，給幾何證明提供了依據(jù).3.如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)中心對(duì)稱，利用這一性質(zhì)可以識(shí)別中心對(duì)稱.跟蹤訓(xùn)練新知探究如圖，△A'B'C'與△ABC關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，你能從圖中找出哪些相等的線段、相等的角、全等的三角形？請(qǐng)舉例說(shuō)明(至少各舉三例).解：本題答案不唯一，如:相等的線段：OA=OA'，OB=OB'，OC=OC'；相等的角：∠BAC=∠B'A'C'，∠ABC=∠A'B'C'，∠ACB=∠A'C'B'；全等的三角形：△ABC≌△A'B'C'，△AOC≌△A'OC'

，△BOC≌△B'OC'.圖（1）圖（2）知識(shí)點(diǎn)3新知探究(1)如圖(1)，選擇點(diǎn)O為對(duì)稱中心，畫出點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)A′；(2)如圖(2)，選擇點(diǎn)O為對(duì)稱中心，畫出與△ABC關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的△A′B′C′.例知識(shí)點(diǎn)3新知探究

(1)如圖（3），連接AO，在AO的延長(zhǎng)線上截取OA′=OA，即可以求得點(diǎn)A

關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)A′.

(2)如圖（4），作出A，B，C三點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)

A′，B′，C′，依次連

接A′B′，B′C′，C′A′，就可得到與△ABC關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的△A′B′C′.圖（3）圖（4）解：知識(shí)點(diǎn)3新知探究作中心對(duì)稱的圖形的一般步驟：①確定代表性的點(diǎn)（線段的端點(diǎn)）；②作出每個(gè)代表性的點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；③按照原圖形的形狀順次連接各對(duì)稱點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練新知探究如圖，已知四邊形ABCD和點(diǎn)O，畫出四邊形ABCD關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的圖形.ACDBOA′B′C′D′隨堂練習(xí)1如圖，四邊形ABCD是菱形，O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的三條直線將菱形分成六部分.當(dāng)菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6和8時(shí)，陰影部分的面積為

.12菱形是中心對(duì)稱圖形，它的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱中心.過(guò)點(diǎn)O的三條直線把菱形分成六部分，三塊陰影部分和三塊空白部分分別對(duì)應(yīng)全等，據(jù)此可知陰影部分的面積是菱形面積的一半.隨堂練習(xí)2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,-2)，B(-4,-1)，C(-4,-4).作出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的△A1B1C1.A1B1C1

隨堂練習(xí)3如圖，已知在△ABC中，AC=5，AB=3，邊BC上的中線AD=2，求BC的長(zhǎng).課堂小結(jié)概念旋轉(zhuǎn)角是180°性質(zhì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分作圖應(yīng)用1：作中心對(duì)稱圖形；應(yīng)用2：找出對(duì)稱中心.中心對(duì)稱如果兩個(gè)圖形關(guān)于某一點(diǎn)成中心對(duì)稱，那么下列說(shuō)法正確的是()①對(duì)稱點(diǎn)的連線必過(guò)對(duì)稱中心；②這兩個(gè)圖形一定全等；③對(duì)應(yīng)線段一定平行(或在一條直線上)且相等；④將一個(gè)圖形繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180°必定與另一個(gè)圖形重合.A.①② B.①③C.①②③ D.①②③④對(duì)接中考1D對(duì)接中考2如圖(1)，在△ABC中，∠A=90°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥DF，

DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，試探索線段BE，EF，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系.解：∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD=CD.作△BDE關(guān)于點(diǎn)D對(duì)稱的△CDM，如圖(2)所示，由中心對(duì)稱的性質(zhì)可得△BDE≌

△CDM.∴CM=BE，MD=ED，∠DCM=∠B.∵∠A=90°，所以∠B+∠ACB=90°,∴∠DCM+∠ACB=90°，即∠FCM=90°.連接FM，在△FME中，MD=DE，

FD⊥ME，

∴

FM=EF.∵在Rt△FCM中，F(xiàn)C2+CM2=FM2，∴FC2+BE2=EF2.圖(1)圖(2)對(duì)接中考3在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)作出△ABC向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的△A1B1C1

，并寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；解：(1)C1(-1,2).

A1B1C1對(duì)接中考3在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(2)作出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的△A2B2C2

，并寫出點(diǎn)C2的坐標(biāo).解：(2)

C2(-3,-2).A2B2C2

中心對(duì)稱的概念1.下面說(shuō)法正確的是(

D

)A.全等的兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱B.能夠完全重合的兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱C.旋轉(zhuǎn)后能重合的兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱D.旋轉(zhuǎn)180°后能重合的兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱D12345678910111213142.下列各組圖形中，△A'B'C'與△

ABC

成中心對(duì)稱的是(

D

)D【解析】A.是平移變換圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.是軸對(duì)稱圖形，故本

選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.是旋轉(zhuǎn)變換圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.是中心對(duì)稱圖形，

故本選項(xiàng)正確.12345678910111213143.

如圖，已知

O

是?

ABCD

對(duì)角線的交點(diǎn)，則圖中關(guān)于點(diǎn)

O

對(duì)

稱的三角形有

對(duì).【解析】圖中關(guān)于點(diǎn)

O

對(duì)稱的三角形有△

AOD

和△

COB

，△

ABO

與△

CDO

，△

ACD

與△

CAB

，△

ABD

和△

CDB

，共4對(duì).4

易錯(cuò)警示

平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，保證不重復(fù)不遺漏.1234567891011121314

中心對(duì)稱的性質(zhì)4.(保定順平縣期中)如圖，△

ABC

與△A'B'C'關(guān)于點(diǎn)

O

成中心對(duì)

稱，下列結(jié)論中不成立的是(

B

)A.

OB

＝

OB

'B.∠

ACB

＝∠

A

'

B

'

C

'B.點(diǎn)

A

的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)

A

'D.

BC

∥

B

'

C

'第4題圖B【解析】∵△

ABC

與△A'B'C'關(guān)于點(diǎn)

O

成中心對(duì)稱，∴

OB

＝OB'，∠

ACB

＝∠A'C'B'，點(diǎn)

A

的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)A'，

BC

∥B'C'，故選項(xiàng)A，C，D正確.12345678910111213145.如圖，正方形

ABCD

與正方形

GHEF

成中心對(duì)稱，則下列關(guān)于對(duì)稱中

心的描述不正確的是(

C

)A.對(duì)稱中心是線段

CE

的中點(diǎn)B.對(duì)稱中心是線段

DF

的中點(diǎn)C.對(duì)稱中心是點(diǎn)

E

D.對(duì)稱中心是線段

AG

與

DF

的交點(diǎn)第5題圖C1234567891011121314

3

1234567891011121314

利用中心對(duì)稱的性質(zhì)作圖7.如圖，已知點(diǎn)

M

是△

ABC

的邊

BC

的中點(diǎn)，

O

是△

ABC

外一點(diǎn).(1)作出△A'B'C'，使△A'B'C'與△

ABC

關(guān)于點(diǎn)

M

成中心對(duì)稱；解：(1)△A'B'C'如圖所示.1234567891011121314(2)作出△

A

″

B

″

C

″，使△

A

″

B

″

C

″與△

ABC

關(guān)于點(diǎn)

O

成中心對(duì)稱.解：(2)△

A

″

B

″

C

″如圖所示.12345678910111213148.如圖，在△

ABC

中，∠

A

＝90°，

D

為

BC

的中點(diǎn)，

DE

⊥

DF

，點(diǎn)

E

，

F

分別在

AB

，

AC

上.(1)作△

BDE

關(guān)于點(diǎn)

D

成中心對(duì)稱的圖形；解：(1)如圖所示，△CDE'即為所求作的圖形.(2)若

BE

＝

m

，

CF

＝

n

，則

EF

＝

?.

1234567891011121314

9.(唐山古冶區(qū)期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若△

ABC

與△

A1

B1

C1關(guān)于點(diǎn)

E

成中心對(duì)稱，則對(duì)稱中心

E

點(diǎn)的坐標(biāo)是(

A

)A.(3，－1)B.(0，0)C.(2，－1)D.(－1，3)第9題圖A1234567891011121314【解析】如圖，連接

AA1，

CC1，則交點(diǎn)就是對(duì)稱中心點(diǎn)

E

.

觀察圖形

知，

E

(3，－1).123456789101112131410.如圖，已知△

ABC

與△

CDA

關(guān)于點(diǎn)

O

成中心對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)

O

作直線

EF

分別交

AD

，

BC

于點(diǎn)

E

，

F

，給出結(jié)論：①點(diǎn)

E

與點(diǎn)

F

，點(diǎn)

B

與點(diǎn)

D

分別是關(guān)于點(diǎn)

O

的對(duì)稱點(diǎn)；②直線

BD

必經(jīng)過(guò)點(diǎn)

O

；③四邊形

DEOC

與四邊形

BFOA

的面積相等；④△

AOE

與△

COF

關(guān)于點(diǎn)

O

成中心對(duì)稱.

其中正確的有(

D

)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)第10題圖D1234567891011121314【解析】△

ABC

與△

CDA

關(guān)于點(diǎn)

O

對(duì)稱，則

AB

＝

CD

，

AD

＝

BC

，∴四邊形

ABCD

是平行四邊形，即點(diǎn)

O

就是?

ABCD

的對(duì)稱中心，則有①點(diǎn)

E

和點(diǎn)

F

，

B

和

D

是關(guān)于點(diǎn)

O

的對(duì)稱點(diǎn)，正確；②直線

BD

必經(jīng)過(guò)點(diǎn)

O

，正確；③四邊形

DEOC

與四邊形

BFOA

的面積必相等，正確；④△

AOE

與△

COF

成中心對(duì)稱，正確；其中正確的有4個(gè).123456789101112131411.如圖，矩形的長(zhǎng)為10，寬為4，點(diǎn)

O

是各組三角形的對(duì)稱中心，則圖

中陰影面積為

?.

20

123456789101112131412.如圖，

D

是△

ABC

邊

BC

的中點(diǎn)，連接

AD

并延長(zhǎng)到點(diǎn)

E

，使

DE

＝

AD

，連接

BE

.

(1)哪兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱？解：(1)圖中△

ADC

和△

EDB

成中心對(duì)稱.(2)已知△

ADC

的面積為4，求△

ABE

的面積.解：(2)∵△

ADC

和△

EDB

成中心對(duì)稱，△

ADC

的面積為4，

D

為

BC

的中點(diǎn)，∴△

EDB

，△

ABD

的面積均為4.∴△

ABE

的面積為4＋4＝8.1234567891011121314(3)已知

AB

＝5，

AC

＝3，求

AD

的取值范圍.解：(3)如圖，連接

CE

，

1234567891011121314

13.

(唐山路北區(qū)二模)小明遇到一個(gè)問(wèn)題：5個(gè)同樣大小

的正方形紙片，邊長(zhǎng)是1，排列形式如圖1所示，將它們分割后拼接成一

個(gè)新的正方形.他的做法是：按圖2所示的方