單元質(zhì)檢十計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.(2017浙江寧波質(zhì)檢)中秋節(jié)放假,甲回老家過節(jié)的概率為13,乙、丙回老家過節(jié)的概率分別為14,15.假定三人的行動相互之間沒有影響,那么這段時間內(nèi)至少A.5960 B.35 C.122.(2017浙江臺州高三質(zhì)檢)已知隨機變量ξ~B3,12,則E(ξ)=A.3 B.2 C.32 D.3.(2017浙江五校聯(lián)考)從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對,其中所成的角為60°的共有()A.24對 B.30對 C.48對 D.60對4.(2017浙江寧波二模)從1,2,3,4,5這五個數(shù)字中選出三個不相同數(shù)組成一個三位數(shù),則奇數(shù)位上必須是奇數(shù)的三位數(shù)個數(shù)為()A.12 B.18 C.24 D.305.(2017課標Ⅱ高考)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張,放回后再隨機抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A.110 B.15 C.3106.(2017浙江杭州模擬)x+1xn展開式中所有奇數(shù)項系數(shù)之和為1024,A.790 B.680 C.462 D.3307.(2017浙江嘉興調(diào)研)排球比賽的規(guī)則是5局3勝制(無平局),甲在每局比賽獲勝的概率都為23,前2局中乙隊以2∶0領(lǐng)先,則最后乙隊獲勝的概率是(A.49 B.827 C.19278.某校選定甲、乙、丙、丁、戊共5名教師去3個邊遠地區(qū)支教(每地至少1人),其中甲和乙一定不同地,甲和丙必須同地,則不同的選派方案共有()A.27種 B.30種 C.33種 D.36種9.(2017浙江金麗衢二模)在(1+x3)(1x)8的展開式中,x5的系數(shù)是()A.28B.B84 C.28 D.8410.(2017浙江五校聯(lián)考)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序,則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A.72 B.120 C.144 D.168二、填空題(本大題共7小題,多空題每小題6分,單空題每小題4分,共36分.將答案填在題中橫線上)11.(2017浙江聯(lián)考)用1,2,3,4,5,6這六個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)共有個;其中1,3,5三個數(shù)字互不相鄰的六位數(shù)有個.

12.(2017浙江杭州聯(lián)考)若x2+1xn的二項展開式中,所有二項式系數(shù)之和為64,則n=;該展開式中的常數(shù)項為13.(2017浙江金華聯(lián)考)已知隨機變量X的分布列如下:X1234P49a91則a=,數(shù)學期望E(X)=.

14.(2017浙江紹興期末)甲、乙兩人從4門課程中各選修2門,則不同的選法共有種,2人所選課程至少有一門相同的概率為.

15.(2017重慶二診)在2x+ax25的展開式中x4的系數(shù)為16.(2017浙江杭州四校聯(lián)考)袋中有4只紅球3只黑球,從袋中任取4只球,取到1只紅球得1分,取到1只黑球得3分,設得分為隨機變量ξ,則P(ξ≤7)=.(用分數(shù)表示結(jié)果)

17.(2017浙江鎮(zhèn)海模擬)定義域為{x|x∈N*,1≤x≤12}的函數(shù)f(x)滿足|f(x+1)f(x)|=1(x=1,2,…,11),且f(1),f(4),f(12)成等比數(shù)列,若f(1)=1,f(12)=4,則滿足條件的不同函數(shù)的個數(shù)為.

三、解答題(本大題共5小題,共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)18.(14分)(2017山東高考)某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1,A2,A3和3個歐洲國家B1,B2,B3中選擇2個國家去旅游.(1)若從這6個國家中任選2個,求這2個國家都是亞洲國家的概率;(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個,求這2個國家包括A1但不包括B1的概率.19.(15分)(2017浙江湖州菱湖中學)本著健康、低碳的生活理念,租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點的收費標準是每車每次租車時間不超過兩小時免費,超過兩小時的部分每小時收費2元(不足1小時的部分按1小時計算).有甲、乙兩人相互獨立來該租車點租車騎游(各租一車一次).設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為14,12;兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為(1)求甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率.(2)設甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量ξ,求ξ的分布列及數(shù)學期望E(ξ).20.(15分)(2017浙江杭州學軍中學模擬)某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額的商品后即可抽獎,每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中,各隨機摸出1個球,在摸出的2個球中,若都是紅球,則獲一等獎;若只有1個紅球,則獲二等獎;若沒有紅球,則不獲獎.(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率;(2)若某顧客有3次抽獎機會,記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X,求X的分布列、數(shù)學期望和方差.21.(15分)(2017課標Ⅲ高考)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元).當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數(shù)學期望達到最大值?22.(15分)(2017浙江紹興調(diào)研)為回饋顧客,某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵,規(guī)定:每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球,球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元,其余3個均為10元.求:①顧客所獲的獎勵額為60元的概率;②顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望;(2)商場對獎勵總額的預算是60000元,并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成,或標有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡,請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計,并說明理由.答案：1.B“甲、乙、丙回老家過節(jié)”分別記為事件A,B,C,則P(A)=13,P(B)=14,P(C)=15,所以P(A)=23,P(B)=34,P(由題意知,A,B,C相互獨立.所以三人都不回老家過節(jié)的概率P(ABC)=P(A)P(B)P(故至少有一人回老家過節(jié)的概率P=122.C因為n=3,p=12,所以E(ξ)=np=3.C正方體六個面的對角線共有12條,則有C122=66(對),而相對的兩個面中的對角線其夾角都不是60°,則共有3×C42=18(對),而其余的都符合題意,因此滿足條件的對角線共有66184.B根據(jù)題意,要求奇數(shù)位上必須是奇數(shù)的三位數(shù),則這個三位數(shù)的百位、個位上為奇數(shù),分2步進行分析:①在1,3,5三個奇數(shù)中任選2個,安排在三位數(shù)的個位和百位上,有C32A22=②在剩余的3個數(shù)字中任選1個,將其安排在三位數(shù)的十位上,有C31=3(種)則奇數(shù)位上必須是奇數(shù)的三位數(shù)有6×3=18(個).故選B.5.D由題意可得抽取兩張卡片上的數(shù)的所有情況如下表所示(表中點的橫坐標表示第一次取到的數(shù),縱坐標表示第二次取到的數(shù)):123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)總共有25種情況,其中第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的情況有10種,故所求的概率為106.C由題意可得2n1=1024,解得n=11.則展開式中各項系數(shù)的最大值是C115或C116,則C7.C乙隊3∶0獲勝的概率為13,乙隊3∶1獲勝的概率為23×13=29,乙隊3∶2獲勝的概率為8.B可對五人先分組,再分配,故不同的選派方法共有C42C21C119.A10.B先不考慮小品類節(jié)目是否相鄰,保證歌舞類節(jié)目不相鄰的排法共有A33·A43=144(種),再剔除小品類節(jié)目相鄰的情況,共有A33·A2211.用1,2,3,4,5,6組成沒有重復數(shù)字六位數(shù)共有A66=720(個);將1,3,5三個數(shù)字插入到2,4,6三個數(shù)字排列后所形成的4個空中的3個,故有A33A12.615由題意得,2n=64?n=6,故二項展開式的通項公式為Tr+1=C6rx2(6r)r=C6rx令123r=0,得r=4,故常數(shù)項為C64=13.25846542由分布列的性質(zhì)可得4984+a+所以E(X)=1×4984+2×2584+314.3656甲、乙兩人從4門課程中各選修2門,則不同的選法共有C42C2人所選課程至少有一門相同的選法有36C42=30(種),所以215.2因為展開式的通項公式Tr+1=C5r(2x)5rax2r=25rarC5rx5r2r,令53r=4?r=3,則253a3C53=320,16.1335分析題意可知,若得分不大于7,則四個球都是紅球或三個紅球一個黑球,若四個球都是紅球,則概率P=1C74=135,此時得分為4分,若四個球有三個紅球一個黑球,則概率P=C43C3117.176根據(jù)題意,若|f(x+1)f(x)|=1,則f(x+1)f(x)=1和f(x+1)f(x)=1中,必須且只能有1個成立,若f(1)=1,f(12)=4,且f(1),f(4),f(12)成等比數(shù)列,則f(4)=±2,分2種情況討論:①若f(4)=2,在1≤x≤3中,f(x+1)f(x)=1都成立,在4≤x≤11中,有1個f(x+1)f(x)=1成立,7個f(x+1)f(x)=1成立,則有C81=8(種)情況,即有8②若f(4)=2,在1≤x≤3中,有1個f(x+1)f(x)=1成立,2個f(x+1)f(x)=1成立,有C31=3(種)在4≤x≤11中,有3個f(x+1)f(x)=1,5個f(x+1)f(x)=1成立,有C83=56(種)則有3×56=168(種)情況,即有168個不同函數(shù);則一共有8+168=176(個)滿足條件的不同函數(shù).18.解(1)由題意知,從6個國家中任選兩個國家,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15個.所選兩個國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3個,則所求事件的概率為P=3(2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9個.包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2個,則所求事件的概率為P=219.解(1)甲、乙兩人租車時間超過三小時的概率分別為14甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率p=1(2)隨機變量ξ的所有可能取值為0,2,4,6,8,P(ξ=0)=14P(ξ=2)=14P(ξ=4)=12P(ξ=6)=12P(ξ=8)=1所以E(ξ)=516×2+516×4+316×20.解(1)記事件A1={從甲箱中摸出的1個球是紅球},A2={從乙箱中摸出的1個球是紅球},B1={顧客抽獎1次獲一等獎},B2={顧客抽獎1次獲二等獎},C={顧客抽獎1次能獲獎}.由題意知A1與A2相互獨立,A1A2與A1A2互斥,B1與B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1A2+A1因為P(A1)=410=25,P(A2所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=25P(B2)=P(A1A2+A1A2)=P(A1A2)+P=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A=P(A1)(1P(A2))+(1P(A1))P(A2)=2故所求概率為P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=1(2)顧客抽獎3次可視為3次獨立重復試驗,由(1)知,顧客抽獎1次獲一等獎的概率為15,所以X~B于是P(X=0)=C3P(X=1)=C3P(X=2)=C3P(X=3)=C故X的分布列為X0123P6448121X的數(shù)學期望為E(X)=3×隨機變量X的方差D(X)=3×21.解(1)由題意知,X所有可能取值為200,300,500,由表格數(shù)據(jù)知P(X=200)=2+1690=0.2,P(X=300)=3690=0.4,P(X=500)=25+7+490=0因此X的分布列為X200300500P0.20.40.4(2)由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為500,至少為200,因此只需考慮200≤n≤500.當300≤n≤500時,若最高氣溫不低于25,則Y=6n4n=2n;若最高氣溫位于區(qū)間[20,25),則Y=6×300+2(n300)4n=12002n;若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2(n200)4n=8002n.因此EY=2n×0.4+(12002n)×0.4+(8002n)×0.2=6400.4n.當200≤n<300時,若最高氣溫不低于20,則Y=6n4n=2n;若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2(n200)4n=8002n.因此EY=2n×(0.4+0.4)+(8002n)×0.2=160+1.2n.所以n=300時,Y的數(shù)學期望達到最大值,最大值為520元.22.解(1)設顧客所獲的獎勵額為X.①依題意,得P(X=60)=C1即顧客所獲