學(xué)習(xí)目標1.會用正弦、余弦定理解決生產(chǎn)實踐中有關(guān)不可到達點距離的測量問題.2.培養(yǎng)提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力．知識點一常用角思考試畫出“北偏東60°”和“南偏西45°”的示意圖．梳理在解決實際問題時常會遇到一些有關(guān)角的術(shù)語，請查閱資料后填空：(1)方向角指北或指南方向線與目標方向所成的小于________度的角．(2)仰角與俯角與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平線________時叫仰角，目標視線在水平線________時叫俯角．(如下圖所示)(3)張角由C點看AB的張角指的是角________．知識點二測量方案思考1如圖是北京故宮的角樓，設(shè)線段AB表示角樓的高度，在宮墻外護城河畔的馬路邊，選位置C，設(shè)CC′為測量儀器的高，過點C′的水平面與AB相交于點B′，由測點C′對角樓進行測量，你認為通過測量的數(shù)據(jù)能求出角樓的高度嗎？思考2如圖，如果移動測量儀CC′到DD′(測量儀高度不變)，想想看，我們能測得哪些數(shù)據(jù)，使問題得以解決？梳理測量某個量的方法有很多，但是在實際背景下，有些方法可能沒法實施，比如直接測量某樓高．這個時候就需要設(shè)計方案繞開障礙間接地達到目的．設(shè)計測量方案的基本任務(wù)是把目標量轉(zhuǎn)化為可測量的量，并盡可能提高精確度．一般來說，基線越長，精確度越高．類型一測量兩個不能到達點之間的距離問題例1如圖，為測量河對岸A、B兩點的距離，在河的這邊測出CD的長為eq\f(\r(3),2)km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B兩點間的距離．反思與感悟測量兩個不可到達的點之間的距離，一般是把求距離問題轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長問題，然后把求未知的另外邊長問題轉(zhuǎn)化為只有一點不能到達的兩點距離測量問題，運用正弦定理解決．跟蹤訓(xùn)練1要測量河對岸兩地A、B之間的距離，在岸邊選取相距100eq\r(3)米的C、D兩點，并測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面內(nèi))，求A、B兩地的距離．類型二求高度命題角度1測量仰角(俯角)求高度例2如圖所示，D，C，B在地平面同一直線上，DC＝10m，從D，C兩地測得A點的仰角分別為30°和45°，則A點離地面的高AB等于()A．10m B．5eq\r(3)mC．5(eq\r(3)－1)m D．5(eq\r(3)＋1)m反思與感悟利用正弦、余弦定理來解決實際問題時，要從所給的實際背景中，進行加工、提煉，抓住本質(zhì)，抽象出數(shù)學(xué)模型，使之轉(zhuǎn)化為解三角形問題．跟蹤訓(xùn)練2江岸邊有一炮臺C高30m，江中有兩條船B，A，船與炮臺底部D在同一直線上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和30°，則兩條船相距________m.命題角度2測量方位角求高度例3如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m.反思與感悟此類問題特點：底部不可到達，且涉及與地面垂直的平面，觀測者兩次觀測點所在直線不經(jīng)過“目標物”，解決辦法是把目標高度轉(zhuǎn)化為地平面內(nèi)某量，從而把空間問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)解三角形問題．跟蹤訓(xùn)練3如圖，為測得河對岸塔AB的高，先在河岸上選一點C，使C在塔底B的正東方向上，測得點A的仰角為60°，再由點C沿北偏東15°方向走10m到位置D，測得∠BDC＝45°，則塔AB的高是()A．10m B．10eq\r(2)mC．10eq\r(3)m D．10eq\r(6)m1．如圖，在河岸AC上測量河的寬度BC，測量下列四組數(shù)據(jù)，較適宜的是()A．a(chǎn)，c，αB．b，c，αC．c，a，βD．b，α，γ2．如圖，某人向正東方向走了x千米，然后向右轉(zhuǎn)120°，再朝新方向走了3千米，結(jié)果他離出發(fā)點恰好eq\r(13)千米，那么x的值是________．3．甲、乙兩樓相距20m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別是________m，________m.4.如圖所示，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在A所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，則A、B兩點的距離為________m.1．運用正弦定理就能測量“一個可到達點與一個不可到達點間的距離”，而測量“兩個不可到達點間的距離”要綜合運用正弦定理和余弦定理．測量“一個可到達點與一個不可到達點間的距離”是測量“兩個不可到達點間的距離”的基礎(chǔ)，這兩類測量距離的題型間既有聯(lián)系又有區(qū)別．2．正弦、余弦定理在實際測量中的應(yīng)用的一般步驟：(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖；(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解；(4)檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考梳理(1)90(2)上方下方(3)ACB知識點二思考1可測得點A的仰角α的大小．在△AB′C′中，三條邊的長度都無法測出，因而AB′無法求得．思考2如圖所示，在點B′，C′，D′構(gòu)成的三角形中，可以測得∠β和∠γ的大小，又可測得C′D′的長，這樣，我們就可以根據(jù)正弦定理求出邊B′C′的長，從而在Rt△AB′C′中，求出AB′的長．使問題得到解決．題型探究類型一例1解在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(CD,sin45°)，則BC＝eq\f(CDsin30°,sin45°)＝eq\f(\r(6),4)(km)．在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD為正三角形，∴AC＝CD＝eq\f(\r(3),2)(km)．在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝eq\f(3,4)＋eq\f(6,16)－2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(6),4)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8)，∴AB＝eq\f(\r(6),4)(km)．∴河對岸A、B兩點間的距離為eq\f(\r(6),4)km.跟蹤訓(xùn)練1解如圖在△ACD中，∠CAD＝180°－(120°＋30°)＝30°，∴AC＝CD＝100eq\r(3)(米)．在△BCD中，∠CBD＝180°－(45°＋75°)＝60°，由正弦定理得BC＝eq\f(100\r(3)sin75°,sin60°)＝200sin75°(米)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(100eq\r(3))2＋(200sin75°)2－2×100eq\r(3)×200sin75°cos75°＝1002×(3＋4×eq\f(1－cos150°,2)－2×eq\r(3)×sin150°)＝1002×5，∴AB＝100eq\r(5)(米)．所以河對岸A、B兩點間的距離為100eq\r(5)米．類型二命題角度1例2D[方法一設(shè)AB＝xm，則BC＝xm.∴BD＝(10＋x)m.∴tan∠ADB＝eq\f(AB,DB)＝eq\f(x,10＋x)＝eq\f(\r(3),3).解得x＝5(eq\r(3)＋1)m.所以A點離地面的高AB等于5(eq\r(3)＋1)m.方法二∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.由正弦定理，得AC＝eq\f(CD,sin∠CAD)·sin∠ADC＝eq\f(10,sin15°)·sin30°＝eq\f(20,\r(6)－\r(2))∴AB＝ACsin45°＝5(eq\r(3)＋1)m.]跟蹤訓(xùn)練230命題角度2例3100eq\r(6)解析依題意，∠CAB＝30°，AB＝600m，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠CBD＝30°，∴∠ACB＝180°－30°－105°＝45°.由正弦