第第頁第06講空間向量基本定理1.通過對空間向量基本定理的意義的掌握與了解，會用空間向量的基底表示空間任一向量，能用正交分解及坐標形式表示空間向量.2.結合平面向量與空間向量的基本定理，解決平面與立體幾何的相關問題.知識點1空間向量基本定理1．定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數(shù)組(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．如果p=xa+yb+zc，則稱xa+yb+zc為p在基底{a，b，c}下的分解式.注：（1）對于基底{a，b，c}應明確以下三點：①空間中任意三個不共面的向量都可以作為空間的一個基底．基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表達式也有可能不同．②基底中的三個向量a，b，c都不是0.這是因為0與任意向量共線，與任意兩個向量共面．由于零向量與任意一個非零向量共線，與任意兩個不共線的非零向量共面，所以若三個向量不共面，就說明它們都不是零向量．③空間中的一個基底是由不共面的三個向量構成的，是一個向量組，基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關聯(lián)的不同概念．（2）空間向量基本定理的推論設O，A，B，C是不共面的四點，則對空間內(nèi)任意一點P都存在唯一的有序實數(shù)組(x，y，z)，使得eq\o(OP,\s\up7(―→))＝xeq\o(OA,\s\up7(―→))＋yeq\o(OB,\s\up7(―→))＋zeq\o(OC,\s\up7(―→)).推論表明：可以根據(jù)空間向量基本定理確定空間任一點的位置．2．空間向量的正交分解(1)單位正交基底：空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，常用{i，j，k}表示．(2)正交分解：由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量正交分解．易錯辨析：（1）構成基底的三個向量中，可以有零向量嗎？不可以．（2）在四棱錐O-ABCD中，eq\o(OA,\s\up7(―→))可表示為eq\o(OA,\s\up7(―→))＝xeq\o(OB,\s\up7(―→))＋yeq\o(OC,\s\up7(―→))＋zeq\o(OD,\s\up7(―→))且唯一，這種說法對嗎？對．知識點2證明平行、共面問題1.對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.2.如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數(shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.3．直線平行和點共線都可以轉化為向量共線問題；點線共面可以轉化為向量共面問題．1、判斷基底的方法(1)判斷一組向量能否作為空間的一個基底，實質是判斷這三個向量是否共面，若不共面，就可以作為一個基底．如果從正面難以入手，可用反證法或利用一些常見的幾何圖形進行判斷．(2)判斷基底時，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點出發(fā)的三條棱對應的向量為基底，并在此基礎上構造其他向量進行相關的判斷．2、用基底表示向量的策略(1)若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及向量數(shù)乘的運算律進行．(2)若沒給定基底時，首先選擇基底，選擇時，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角已知或易求．3、證明平行、共面問題的思路(1)利用向量共線的充要條件來證明點共線或直線平行．要證兩直線平行，可構造與兩直線分別平行的向量，只要證明這兩個向量滿足a＝λb即可．(2)利用空間向量基本定理證明點線共面或線面平行．考點一：空間向量基本定理基底的判斷例1．【多選】設構成空間的一個基底，下列說法正確的是（

）A．，，兩兩不共線，但兩兩共面B．對空間任一向量，總存在有序實數(shù)組，使得C．，，能構成空間另一個基底D．若，則實數(shù)，，全為零【答案】ABD【分析】根據(jù)空間向量基本定理一一判斷即可.【詳解】因為構成空間的一個基底，所以，，兩兩不共線，但兩兩共面，故A正確；對空間任一向量，總存在有序實數(shù)組，使得，故B正確；因為，所以，，共面，故不能構成空間的一個基底，故C錯誤；根據(jù)空間向量基本定理可知，若，則實數(shù)，，全為零，故D正確；故選：ABD變式1．【多選】若構成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】ABD【分析】利用共面向量定理逐項分析判斷作答.【詳解】構成空間的一個基底，對于A，，因此，，共面，A正確；對于B，，因此，，共面，B正確；對于C，假定，，共面，則存在使得，而不共面，則，解得，于是，共面，與不共面矛盾，因此，，不能共面，C錯誤；對于D，，因此，，共面，D正確．故選：ABD變式2．若是空間的一個基底，且向量不能構成空間的一個基底，則（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由題意可知，向量、、共面，則存在實數(shù)、使得，根據(jù)空間向量的基本定理可得出關于、、的方程組，即可解得的值.【詳解】因為向量，，不能構成空間的一個基底，所以、、共面，故存在實數(shù)、使得，即，因為是空間的一個基底，則，解得.故選：D.考點二：用基底表示空間向量例2．如圖，在平行六面體中，P是的中點，點Q在上，且，設，，．則（

）

A．B．C．D．【答案】C【分析】利用空間向量的線性運算即可求解.【詳解】因為P是的中點，所以，又因為點Q在上，且，所以，所以，故選：C.變式1．在正四面體中，過點作平面的垂線，垂足為點，點滿足，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結合空間向量的線性運算，即可求解.【詳解】由題知，在正四面體中，因為平面，所以是的中心，連接，則，所以.

故選：B變式2．如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點，E是MN的三等分點，且，用向量表示為（

）

A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的線性運算，結合圖形可得.【詳解】因為，所以，所以，即，又，所以.故選：D

考點三：利用空間向量基本定理求參數(shù)例3．已知三棱錐，點P為平面ABC上的一點，且（m，n∈R）則m，n的值可能為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用點位于平面內(nèi)的充要條件，建立關系即可判斷作答.【詳解】因為點P為平面ABC上的一點，，則，于是，即，顯然選項BCD都不滿足，A選項滿足.故選：A變式1．已知四棱錐的底面是平行四邊形，若，則______．【答案】【分析】根據(jù)空間向量的運算及空間向量基本定理得答案.【詳解】因為四棱錐的底面是平行四邊形，所以，又，由空間向量基本定理可得，，故.故答案為：.變式2．已知正方體，點是上底面的中心，若，則等于（

）A．2B．C．D．【答案】C【分析】利用空間向量基本定理，結合正方體的結構特征求解作答.【詳解】正方體，點是上底面的中心，如圖，則，不共面，又，于是得，所以.故選：C例4．已知是空間的一組基底，其中，，.若A，B，C，D四點共面，則λ=（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，設存在唯一的實數(shù)對，使得，結合向量的數(shù)乘運算和相等向量的概念計算，即可求解.【詳解】由題意，設存在唯一的實數(shù)對，使得，即，則，則x=2，，，解得.故選：D.變式1．正四面體ABCD中，若M是棱CD的中點，，，則______.【答案】【分析】根據(jù)空間向量線性運算得到，證明出共線定理的推論，由三點共線，得到，求出.【詳解】因為，所以，即，，下面證明：已知，若三點共線，則，因為三點共線，所以存在非零實數(shù)，使得，即，整理得，故，，所以，因為三點共線，故，解得：.故答案為：考點四：用向量法證明平行、共面問題例5．已知三點不共線，對平面外的任一點，下列條件中能確定點共面的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】，分析出當共面時，，從而分析四個選項，得到正確答案.【詳解】當共面時，不妨設，變形得到，則，設，若點與點共面，則，只有選項中符合題意.故選：.變式1．如圖，在四面體OABC中，，，，用向量表示，則________．若，且平面ABC，則實數(shù)________．【答案】【分析】運用空間向量的線性運算法則，將用基底表示出來，延長OP與AM交于D，當時，平面ABC.【詳解】由條件可知：；延長與AM交于D，連接BD，則當時，平面ABC，平面ABC，平面ABC；令，則有，，根據(jù)向量基底表示法的唯一性，有：

，解得，，.故答案為：，考點五：用基底法求空間向量的數(shù)量積例6．如圖，在平行六面體中，E，F(xiàn)分別為棱，CD的中點，記，，，滿足，，，.(1)用，，表示；(2)計算.【答案】(1)(2)1【分析】（1）根據(jù)空間向量對應線段的位置關系，用表示出；（2）應用向量數(shù)量積的運算律得，結合已知即可求數(shù)量積.【詳解】（1）；（2）.變式1．如圖，在空間四邊形中，，點為的中點，設.(1)試用向量表示向量；(2)若，求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由點為的中點，可得，而，代入前面的式子化簡可得結果；（2）由（1）可知，由于，再利用數(shù)量積的運算律結合已知條件可求得結果.【詳解】（1）因為點為的中點，所以，因為，所以，所以，所以；（2）由（1）得，因為，，所以.考點六：用向量法解決立體幾何的垂直、夾角問題例7．在平行六面體中，，且，則的余弦值是________.【答案】【分析】利用空間向量基本定理，得到，求出，，再由向量夾角公式求的余弦值.【詳解】由題設，可得如下示意圖，

∴，設，則，又，所以，，，所以以.，所以故答案為：.變式1．點、分別是正四面體ABCD棱、的中點，則______．【答案】【分析】以為基底，，即可求解.【詳解】解：以為基底，它們兩兩之間均為，設正四面體ABCD棱長為2，則,所以，所以,故答案為：例8．如圖，一個結晶體的形狀為平行六面體，其中以頂點A為端點的三條棱長均為1，且它們彼此的夾角都是.(1)求證：；(2)求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量轉化基底，以及加減運算和數(shù)量積的運算性質，得到，即可證得；（2）根據(jù)平面向量轉化基底，求出、、，再利用夾角公式即可求解.【詳解】（1）證明：∵以頂點A為端點的三條棱長均為1，且它們彼此的夾角都是，∴，∴，∴.（2）∵，，∴，，，∴，∴異面直線與所成角的余弦值為.考點七：用向量法解決立體幾何的距離問題例9．如圖所示，在四棱柱中，底面為平行四邊形，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為，則的長為（

）A．B．2C．D．【答案】D【分析】記，，，由，利用向量法即可求出的長.【詳解】解：記，，，由題意可知，，所以，，所以，即的長為，故選：D.變式1．如圖，四面體中，分別為上的點，且設（1）以為基底表示，則＝________；（2）若且則________.【答案】【分析】利用空間向量的加減法運算和基底的定義表示，再根據(jù)向量的數(shù)量積的運算律求解.【詳解】(1).(2)，所以，故答案為:，.一、單選題1．已知矩形，為平面外一點平面，且，，分別為，上的點，且，則（

）A．B．C．D．1【答案】B【分析】根據(jù)空間向量基本定理求解即可.【詳解】因為，，所以，又，所以，所以，故.故選：B.2．已知三棱柱，點在線段上，且，則（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用空間向量基本定理進行求解.【詳解】由題意得：，，，故故選：D3．若是空間的一個基底，則下列各組向量中一定能構成空間的一個基底的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】判斷所給三個向量是否共面，即可得解.【詳解】對A選項，，故三向量共面，A錯誤；對B選項，若共面，則，解得，故三向量共面，B錯誤，對C選項，，故三向量共面，C錯誤，對D選項，若向量共面，則無解,故向量不共面，故D正確,故選：D4．已知是空間的一個基底，則下列說法錯誤的是（

）A．若，則B．兩兩共面，但不共面C．一定存在x，y，使得D．一定能構成空間的一個基底【答案】C【分析】利用向量的線性關系、向量的基底的定義和空間向量基本定理，即可求解．【詳解】對于A，若不全為0，則共面，與題意矛盾，故A正確；對于B，是空間的一個基底,則兩兩共面，但不共面，故B正確；對于C，不共面，則不存在實數(shù)，使得，故C錯誤；對于D，若共面，，無解，故

不共面，一定能構成空間的一個基底，故D正確故選∶C．5．如圖，在平行六面體中，，，，，，則與所成角的余弦值為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的基本定理和向量的數(shù)量積的定義即可求解.【詳解】設，，，因為向量不共面，故可構成空間的一組基底，結合，，，，，所以=0，，，則，，可得，，，所以，又因為異面直線所成角的范圍是，所以與所成角的余弦值為.故選：B.6．已知直線AB，BC，不共面，若四邊形的對角線互相平分，且，則的值為（

）A．1B．C．D．【答案】D【分析】由題意為空間的一組基底，然后利用空間向量基本定理求解.【詳解】由題意，知，，不共面，四邊形為平行四邊形，，為空間的一組基底.，又，，，，，.故選：D.7．在平行六面體中，，，且，，則（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)圖形，利用向量的加法法則得到，再利用空間向量的數(shù)量積及運算律求模長.【詳解】以為基底向量，可得，則，∴．故選：C.二、填空題8．如圖，在空間四邊形中，，點為的中點，設.向量表示向量__________.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的基底及線性運算求解作答.【詳解】依題意，由得：，則，而點為的中點，所以.故答案為：9．已知空間向量，，不共面，且，，若，則__________．【答案】【分析】由題設有且，根據(jù)空間向量的基本定理列方程組求參數(shù)值，即可得結果.【詳解】由題設，且，又，，所以，可得，則.故答案為：三、解答題10．在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點，E，F(xiàn)分別邊AB，BC上的點，且，，，(1)求（用向量表示）；(2)求證：點E，F(xiàn)，G，H四點共面．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)向量的線性運算結合空間向量基本定理運算求解；（2）根據(jù)中位線和平行線的性質，結合平行線的傳遞性證明，即可證結論.（1）∵∴（2）連接∵分別是的中點，∴.又∵，∴，∴，則四點共面.空間向量基本定理隨堂檢測1.已知為空間的一個基底，則下列各選項能構成基底的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用基底的性質進行求解.【詳解】因為，所以是共面向量，不能構成基底，A不正確；因為不是共面向量，所以可以構成基底，B正確；因為與平行，所以不能構成基底，C不正確；因為，所以共面，不能構成基底，D不正確.故選：B.2.在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量基本定理結合空間向量運算求解作答.【詳解】在平行六面體中，M為與的交點，.故選：B3.已知為三條不共面的線段，若，那么（

）A．1B．C．D．【答案】B【分析】直接利用共面向量的基本定理求出結果.【詳解】根據(jù)向量加法法則可得：，即，因為，所以，，，所以，，，所以.故選：B.4.如圖，在平行六面體中，，，，，，則與所成角的余弦值為（

）A．B．