第頁第06講旋轉(zhuǎn)【知識點(diǎn)1關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)】在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，它們的坐標(biāo)符號相反，即點(diǎn)p（x,y）關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)為（-x,-y）。【題型1關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)】【例1】若點(diǎn)A（m，5）與點(diǎn)B（2，n）關(guān)于原點(diǎn)對稱，則3m+2n的值為﹣16．【分析】平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P（x，y），關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是（﹣x，﹣y），記憶方法是結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的圖形記憶．【解答】解：∵點(diǎn)A（m，5）與點(diǎn)B（2，n）關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴m＝﹣2，n＝﹣5，∴3m+2n＝﹣6﹣10＝﹣16．故答案為：﹣16．【變式1-1】已知點(diǎn)P（3+2a，2a+1）與點(diǎn)P′關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，若點(diǎn)P′在第二象限，且a為整數(shù)，則關(guān)于x的分式方程2x?ax+1=3的解是x【分析】根據(jù)P關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)在第一象限，得到P橫縱坐標(biāo)都小于0，求出a的范圍，確定出a的值，代入方程計(jì)算即可求出解．【解答】解：∵P（3+2a，2a+1）與點(diǎn)P′關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，若點(diǎn)P′在第二象限，且a為整數(shù)，∴3+2a＞02a+1＜0，解得：?32＜a＜?12，即a＝﹣1，當(dāng)經(jīng)檢驗(yàn)x＝﹣2是分式方程的解，則方程的解為﹣2．故答案為x＝﹣2【知識點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)的定義】在平面內(nèi)，把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素。【知識點(diǎn)3旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)】旋轉(zhuǎn)的特征：（1）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。理解以下幾點(diǎn)：（1）圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。（3）圖形的大小與形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置?！绢}型2利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求角度】【例2】如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝110°，將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD，若OD＝AD，則∠BOC的度數(shù)為140°．【分析】設(shè)∠BOC＝α，根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后圖形不發(fā)生變化，易證△COD是等邊△OCD，從而利用α分別表示出∠AOD與∠ADO，再根據(jù)等腰△AOD的性質(zhì)求出α．【解答】解：設(shè)∠BOC＝α，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，△BOC≌△ADC，則OC＝DC，∠BOC＝∠ADC＝α．又∵△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC，∴∠OCD＝60°，∴△OCD是等邊三角形，∴∠COD＝∠CDO＝60°，∵OD＝AD，∴∠AOD＝∠DAO．∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴2×（190°﹣α）+α﹣60°＝180°，解得α＝140°．故答案是：140°．【變式2-1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，點(diǎn)D在邊AB上，將△ADC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°，得到△AD'B，且D'，D，C三點(diǎn)在同一條直線上，則∠ACD的大小為（）A．20° B．30° C．40° D．45°【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAC＝∠BAD'＝40°，AD＝AD'，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠AD'D＝70°，∠D'AC＝80°，即可求∠ACD的度數(shù)．【解答】解：∵將△ADC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°得到△AD′B，∴∠BAC＝∠BAD'＝40°，AD＝AD'∴∠AD'D=12×（180°﹣40°）＝70°，∠D'AC＝∠BAC+∠BAD'＝80°，∴∠ACD＝180°﹣∠AD'D﹣∠D'AC【變式2-2】如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，則以PA，PB，PC為三邊構(gòu)成的三角形的三個(gè)內(nèi)角從小到大的度數(shù)之比為（）A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：4：5 D．5：6：7【分析】將△APB繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，顯然有△ADC≌△APB，連PD，則AD＝AP，∠DAP＝60°，得到△ADP是等邊三角形，PD＝AP，所以△DCP的三邊長分別為PA，PB，PC；再由∠APB+∠BPC+∠CPA＝360°，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，得到∠APB＝100°，∠BPC＝140°，∠CPA＝120°，這樣可分別求出∠PDC＝∠ADC﹣∠ADP＝∠APB﹣∠ADP＝100°﹣60°＝40°，∠DPC＝∠APC﹣∠APD＝120°﹣60°＝60°，∠PCD＝180°﹣（40°+60°）＝80°，即可得到答案．【解答】解：如圖，將△APB繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，顯然有△ADC≌△APB，連PD，∵AD＝AP，∠DAP＝60°，∴△ADP是等邊三角形，∴PD＝AP，∵DC＝PB，∴△DCP的三邊長分別為PA，PB，PC，∵∠APB+∠BPC+∠CPA＝360°，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，∴∠APB＝100°，∠BPC＝140°，∠CPA＝120°，∴∠PDC＝∠ADC﹣∠ADP＝∠APB﹣∠ADP＝100°﹣60°＝40°，∠DPC＝∠APC﹣∠APD＝120°﹣60°＝60°，∠PCD＝180°﹣（40°+60°）＝80°，∴以PA，PB，PC為三邊構(gòu)成的三角形的三個(gè)內(nèi)角從小到大的度數(shù)之比為2：3：4．故選：B．【題型3利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求線段長度】【例3】如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到正方形AEFG，連接CF，則CF的長是（）A．1 B．2 C．3 D．3【分析】連接AC、AF，證明△ACF為等邊三角形，求得AC便可得出結(jié)果．【解答】解：連接AC、AF，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，AC＝AF，∠CAF＝60°，∴△ACF為等邊三角形，∴AC＝CF，∵AC=2AB=2，∴CF=【變式3-1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，使點(diǎn)C′落在AB邊上，連接BB′，則B′B的長為（）A．23 B．5 C．25【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)并利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴根據(jù)勾股定理得：AB=A由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AC＝AC'＝3，BC＝B'C'＝4，∴BC'＝AB﹣AC'＝5﹣3＝2，∴BB'=B'C2+BC'【變式3-2】如圖，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A′OB′處，此時(shí)線段A′B′與BO的交點(diǎn)E為BO的中點(diǎn)，則線段B′E的長度為（）A．35 B．1255 C．95【分析】由勾股定理求出AB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AO＝A′O，A′B′＝AB，再求出OE，從而得到OE＝A′O，過點(diǎn)O作OF⊥A′B′于F，由三角形的面積求出OF，由勾股定理列式求出EF，再由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得A′E＝2EF，然后由B′E＝A′B′﹣A′E代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．【解答】解：∵∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，∴AB=AO2+BO2=42+82=45，∵△AOB繞頂點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A′OB′處，∴AO＝A′O＝4，A′B′＝AB＝45，∵點(diǎn)E為BO的中點(diǎn)，∴OE=12BO=1S△A′OB′=12×45?OF=12×4×8，解得：OF=∵OE＝A′O，OF⊥A′B′，∴A′E＝2EF＝2×455=855，∴B′E＝A′故選：B．【題型4旋轉(zhuǎn)中的坐標(biāo)與圖形變換】【例4】如圖，線段AB與線段CD關(guān)于點(diǎn)P對稱，若點(diǎn)A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b） C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1）【分析】運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求答案．【解答】解：設(shè)C（m，n），∵線段AB與線段CD關(guān)于點(diǎn)P對稱，點(diǎn)P為線段AC、BD的中點(diǎn)．∴a+m2=5?32，b+n2=1?12，∴m＝2﹣a，n＝﹣b，∴【變式4-1】如圖，Rt△AOB的斜邊AO在y軸上，OB=3，∠AOB＝30°，直角頂點(diǎn)B在第二象限，將Rt△AOB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后得到△A′OB'，則A點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)AA．（3，﹣1） B．（1，?3） C．（2，0） D．（3【分析】如圖，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BC＝1，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到OB′＝OB=3，B′A′＝BA＝1，∠A′B′O＝∠ABO＝90°，然后利用第四象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出點(diǎn)A【解答】解：如圖，在Rt△OAB中，∵∠BOA＝30°，∴AB=33OB∵Rt△OCB繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后得到△OA′B'，∴OB′＝OB=3，B′A′＝BA＝1，∠A′B′O＝∠ABO＝90°，∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（3，﹣1）．故選：A【知識點(diǎn)4利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖】旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：任意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，它就是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵。步驟可分為：①連：即連接圖形中每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心；②轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過一定角度（作旋轉(zhuǎn)角）③截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，的到各點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；④接：即連接到所連接的各點(diǎn)?！局R點(diǎn)5中心對稱圖形的定義】把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就就是它的對稱中心?！局R點(diǎn)6中心對稱的性質(zhì)】有以下幾點(diǎn)：（1）關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形上的對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過對稱中心，并且都被對稱中心平分；（2）關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形能夠互相重合，就是全等形；（3）關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對應(yīng)線段平行（或共線）且相等?！局R點(diǎn)7作一個(gè)圖形關(guān)于某點(diǎn)對稱的圖形】要作出一個(gè)圖形關(guān)于某一點(diǎn)的成中心對稱的圖形，關(guān)鍵就是作出該圖形上關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于對稱中心的對稱點(diǎn)。最后將對稱點(diǎn)按照原圖形的形狀連接起來，即可的出成中心對稱圖形?！绢}型5作圖-旋轉(zhuǎn)變換】【例5】如圖，在所給網(wǎng)格圖（每小格均為邊長是1的正方形）中完成下列各題：（1）將△ABC向下平移5個(gè)單位得△A1B1C1，畫出平移后的△A1B1C1．（2）畫出△ABC關(guān)于點(diǎn)B成中心對稱的圖形．（3）在直線l上找一點(diǎn)P，使△ABP的周長最小．【分析】（1）直接利用平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；（2）直接利用中心對稱圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)位置；（3）利用軸對稱求最短路線的方法得出答案．【解答】解：（1）如圖所示：△A1B1C1，即為所求；（2）如圖所示：△DEF，即為所求；（3）如圖所示：P點(diǎn)位置，使△ABP的周長最小．【變式5-1】在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位長度的正方形，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（3，0），C（2，3）．（1）將△ABC向左平移4個(gè)單位長度得到△A1B1C1，點(diǎn)A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A1、B1、C1，請畫出△A1B1C1，并寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；（2）以原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2C2，點(diǎn)A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A2、B2、C2，請畫出△A2B2C2．【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可；（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)A2，B2，C2即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求，點(diǎn)C1的坐標(biāo)（﹣2，3）；（2）如圖，△A2B2C2即為所求．【題型6中心對稱圖形及旋轉(zhuǎn)對稱圖形】【例6】如圖所示的圖案中，是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形的個(gè)數(shù)是1．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：第一個(gè)圖形是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形，共1個(gè)．故答案為：1．【變式6-1】2022年2月4日﹣2月20日，北京冬奧會(huì)將隆重開幕，北京將成為世界上第一個(gè)既舉辦過夏季奧運(yùn)會(huì)，又舉辦過冬季奧運(yùn)會(huì)的城市．下面圖片是在北京冬奧會(huì)會(huì)徽征集過程中，征集到的一幅圖片，整個(gè)圖片由“京字組成的雪花圖案”、“beijing2022”、“奧運(yùn)五環(huán)”三部分組成．對于圖片中的“雪花圖案”，至少旋轉(zhuǎn)60°能與原雪花圖案重合．【分析】“雪花圖案”可以看成正六邊形，根據(jù)正六邊形的中心角為60°，即可解決問題．【解答】解：“雪花圖案”可以看成正六邊形，∵正六邊形的中心角為60°，∴這個(gè)圖案至少旋轉(zhuǎn)60°能與原雪花圖案重合．故答案為：60．【變式6-2】如圖，由4個(gè)全等的正方形組成的L形圖案，請按下列要求畫圖：（1）在圖案①中添加1個(gè)正方形，使它成軸對稱圖形（不能是中心對稱圖形）；（2）在圖案②中添加1個(gè)正方形，使它成中心對稱圖形（不能是軸對稱圖形）；（3）在圖案③中改變1個(gè)正方形的位置，從而得到一個(gè)新圖形，使它既成中心對稱圖形，又成軸對稱圖形．【分析】（1）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，先找出對稱軸，再思考如何畫圖；（2）如一，也是先找一個(gè)中心，再根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，思考如何畫圖；（3）根據(jù)中心對稱和軸對稱的性質(zhì)畫一個(gè)圖形．注意此題有多種畫法，答案不唯一．【解答】解：如圖所示．（1）如圖（1），圖（2），圖（3）所示；（2）如圖（4）所示；（3）如圖（5），圖（6）所示．【題型7旋轉(zhuǎn)中的周期性問題】【例7】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P0的坐標(biāo)為（1，0），將點(diǎn)P0繞著原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°得到點(diǎn)P1，延長OP1到P2，使得OP2＝2OP1；再將點(diǎn)P2繞著原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°得到P3，延長OP3到P4，使得OP4＝2OP3……如此繼續(xù)下去，點(diǎn)P2023坐標(biāo)為（）A．（﹣21010，3?21010） B．（0，21011） C．（21010，3?21010） D．（3?21010，21010）【分析】根據(jù)每次旋轉(zhuǎn)后線段的長度是原來的2倍求出OP2023，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角為30°求出每12次旋轉(zhuǎn)，24個(gè)點(diǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，然后用2023除以24，再根據(jù)商和余數(shù)的情況確定出點(diǎn)P2023在第二象限與y軸正半軸夾角為30°，然后解答即可．【解答】解：∵點(diǎn)P0的坐標(biāo)為（1，0），∴OP0＝1，∴OP2＝2OP1＝2，OP3＝OP2＝2，OP4＝2OP3＝2×2＝22，…，OP2022＝21011，∵2022÷24＝84余6，∴點(diǎn)P2023是第85循環(huán)組的第7個(gè)點(diǎn)，在第二象限，與y軸正半軸夾角為30°，∴點(diǎn)P2023的坐標(biāo)為（?210112，210112?3），即（﹣21010【變式7-1】將△OBA按如圖方式放在平面直角坐標(biāo)系中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3），將△OBA繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．(?1，3) B．(?3，1) C．【分析】6次一個(gè)循環(huán)，分別求出第一次到第六次的點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用規(guī)律解決問題即可．【解答】解：∵A（1，3），∠ABO＝90°，∴OB＝1，AB=3∵∠A＝30°，∴OA＝2OB＝2，∴第一次旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為（﹣1，3），第二次旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為（﹣2，0），第三次旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為（﹣1，?3第四次旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為（1，?3第六次旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為（1，3），???，6次一個(gè)循環(huán)，∵2023÷6＝337???1，∴第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，3），故選：A．【變式7-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針選擇45°后，得到正方形OA1B1C1，以此方式，繞O點(diǎn)連續(xù)旋轉(zhuǎn)2022次得到正方形OA2022B2022C2022，如果點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1），那么點(diǎn)B2022的坐標(biāo)為（）A．(0，?2) B．(?2，0)【分析】根據(jù)圖形可知：點(diǎn)B在以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，再由旋轉(zhuǎn)可知：將正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，相當(dāng)于將線段OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，可得對應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律是8次一循環(huán)，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1），∴OC＝1，∵四邊形OABC是正方形，∴∠OAB＝90°，AB＝OC＝OA＝1，∴B（1，1），連接OB，如圖：由勾股定理得：OB=12+12=2，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：OB＝OB1＝∵將正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，相當(dāng)于將線段OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，∴B1（2，0），B2（1，﹣1），B3（0，?2），B4（﹣1，﹣1），B5（?2，0），B發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，則2022÷8＝252…6，∴點(diǎn)B2022的坐標(biāo)為（﹣1，1），故選：C．【題型8旋轉(zhuǎn)中的多結(jié)論問題】【例8】如圖，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，將△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°得到△AB′C′，以下結(jié)論：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BC＝B′C′∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為50°，通過推理證明對①②③④四個(gè)結(jié)論進(jìn)行判斷即可．【解答】解：①∵△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°得到△AB′C′，∴BC＝B′C′．故①正確；②∵△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°，∴∠BAB′＝50°．∵∠CAB＝20°，∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，∴∠AB′C′＝∠B′AC．∴AC∥C′B′．故②正確；③在△BAB′中，AB＝AB′，∠BAB′＝50°，∴∠AB′B＝∠ABB′=1∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．∴C′B′與BB′不垂直．故③不正確；④在△ACC′中，AC＝AC′，∠CAC′＝50°，∴∠ACC′=1∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正確．∴①②④這三個(gè)結(jié)論正確．故選：B．【變式8-1】如圖，在正方形ABCD中，AB＝8，若點(diǎn)E在對角線AC上運(yùn)動(dòng)，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接EF、CF．點(diǎn)P在CD上，且CP＝3PD．給出以下幾個(gè)結(jié)論①EF=2DE，②EF2＝AE2+CE2，③線段PF的最小值是42，④△CFEA．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④【分析】①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△DEF為等腰直角三角形，進(jìn)而得到EF與DE的數(shù)量關(guān)系，便可判定①的正誤；②證明△ADE≌△CDF，得AE＝CF，∠DAE＝∠DCF＝45°，再在直角△CEF中由勾股定理得EF2＝CF2+CE2，進(jìn)而得EF2＝AE2+CE2，便可判斷②的正誤；③由∠DCF＝45°恒成立，所以當(dāng)PF⊥CF時(shí)，PF取最小值，求出此時(shí)的PF便可判斷③的正誤；④先求得AE+CE＝AC=2AD=82，再根據(jù)（（AE﹣CE）2≥0求得AE?CE≤32，求得AE?CE【解答】解：①∵由旋轉(zhuǎn)知，DE＝DF，∠EDF＝90°，∴EF=2DE②∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，∠DAC＝∠ACD＝45°，∴∠ADC＝∠EDF，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF＝45°，∴∠ECF＝90°，∴EF2＝CF2+CE2，∴EF2＝AE2+CE2，故②正確；③∵CP＝3PD．∴PC=34CD＝6，當(dāng)PF⊥CF時(shí)，∵∠DCF＝45°，∴PF＝CF=22CP＝3④∵∠ECF＝90°，∴S△CEF∵AE+CE＝AC=2AD=82，∴（AE﹣CE）2＝（AE+CE）2﹣4AE?CE＝128﹣4AE∴AE?CE≤32，∴AE?CE的最大值為32，∴△CFE的面積最大是12×32＝16，故④正確；故選：課后鞏固練習(xí)1.下列圖形中，是中心對稱圖形的是(

)【答案】B2.下列圖案都是由字母“m”經(jīng)過變形、組合而成的.其中不是中心對稱圖形的是(

)【答案】答案為：B.3.如圖，關(guān)于該圖形對稱性的表述，正確的是(

)A.軸對稱圖形B.中心對稱圖形C.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形D.既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形【答案】B4.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P(m，m﹣n)與點(diǎn)Q(﹣2，3)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則點(diǎn)M(m，n)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A.5.如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△EDC.若點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，∠ACB=20°，則∠ADC的度數(shù)是()A.55°B.60°C.65°D.70°【答案】C6.在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，把點(diǎn)A(3，4)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A.(4，﹣3)B.(﹣4，3)C.(﹣3，4)D.(﹣3，﹣4)【答案】B7.下列兩個(gè)電子數(shù)字成中心對稱的是________.【答案】答案為：①④8.我們在教材中已經(jīng)學(xué)習(xí)了：①等邊三角形；②矩形；③平行四邊形；④等腰三角形；⑤菱形．在以上五種幾何圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是．【答案】答案為：②⑤．9.若點(diǎn)P(2a+3b，2)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為Q(3，a﹣2b)，則(3a+b)2024=

.【答案】答案為：52024.10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(2，0)，B(0，1)，AC由AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得，則AC所在直線的式是________．【答案】答案為：y=2x﹣4；11.如圖所示，點(diǎn)D是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，DA=13，DB=19，DC=21，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ACE的位置，求△DEC的周長.【答案】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC，∵△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ACE的位置，∴AD=AE，CE=BD=19，∠DAE=∠BAC=60°，∴△ADE為等邊三角形，∴DE=AD=13，∴△DEC的周長=DE+DC+CE=13+21+19=53.12.如圖①，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E.(1)求證：△ADE是等邊三角形；(2)如圖②，將△ADE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌龋裹c(diǎn)B在ED的延長線上，連接CE，判斷∠BEC的度數(shù)及線段AE、BE、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【答案】(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴∠A=∠ADE=∠AED，∴△ADE是等邊三角形.∵△ABC是等邊三角形；(2)解：AE+CE=BE；理由如下：∵AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°﹣∠DAC=∠CAE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∵∠DAE=∠CAE+∠DAC=∠BAD+∠DAC=∠BAC=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴AE=DE，∴AE+CE=DE+BD=BE.

第06講旋轉(zhuǎn)隨堂檢測1.如圖，將直角三角板ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′，點(diǎn)B′恰好落在CA的延長線上，∠B＝30°，∠C＝90°，則∠BAC′為（）A．90° B．60° C．45° D．30°【分析】利用旋轉(zhuǎn)不變性，三角形內(nèi)角和定理和平角的意義解答即可．【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，∵將直角三角板ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′，∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°．∵點(diǎn)B′恰好落在CA的延長線上，∴∠BAC′＝180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′＝60°．故選：B．2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△MNP繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△M1N1P1，若M（1，﹣2），則點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，﹣1） B．（1，2） C．（2，1） D．（﹣1，﹣2）【分析】如圖，連接OM，OM1，過點(diǎn)M作MH⊥y軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)M1作M1T⊥x軸于點(diǎn)T．利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．【解答】解：如圖，連接OM，OM1，過點(diǎn)M作MH⊥y軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)M1作M1T⊥x軸于點(diǎn)T．∵M(jìn)（1，﹣2），∴MH＝1，OH＝2，∵∠MOM1＝∠POT，∴∠MOH＝∠M1OT，∵∠MHO＝∠M1TO＝90°，OM＝OM1，∴△MHO≌△M1TO（AAS），∴MH＝M1T＝1，OH＝OT＝2，∴M1（2，1），故選：C．3.如圖，在△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝27，將△AOB繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（﹣4，2） B．（﹣23，4） C．（﹣23，2） D．（﹣2，23）【分析】如圖，過點(diǎn)A作AH⊥OB于H，設(shè)OH＝m，則BH＝6﹣m，利用勾股定理構(gòu)建方程求出m，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AH⊥OB于H，設(shè)OH＝m，則BH＝6﹣m，∵AH2＝OA2﹣OH2＝AB2﹣BH2，∴42﹣m2＝（27）2﹣（6﹣m）2，∴m＝2，∴AH=42?∴A（2，23），∴將△AOB繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′（﹣23，2），4.如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上，OA＝OB＝2，AD＝42，將矩形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2026次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（6，4） B．（﹣6，4） C．（4，﹣6） D．（﹣4，6）【分析】過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，連接OC，根據(jù)已知條件求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出前4次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而求出第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)．【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，連接OC，∵OA＝OB＝2，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBE＝45°，∵BC＝AD＝42，∴CE＝BE＝4，∴OE＝OB+BE＝6，∴C（﹣4，6），∵矩形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，4）；則第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，﹣6）；則第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣6，﹣4）；則第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣4，6）；…發(fā)現(xiàn)規(guī)律：旋轉(zhuǎn)4次一個(gè)循環(huán)，∴2026÷4＝506???2，則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，﹣6）．故選：C．5.一副三角板如圖擺放，點(diǎn)F是45°角三角板ABC的斜邊的中點(diǎn)，AC＝4．當(dāng)30°角三角板DEF的直角頂點(diǎn)繞著點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)，直角邊DF，EF分別與AC，BC相交于點(diǎn)M，N．在旋轉(zhuǎn)過程中有以下結(jié)論：①M(fèi)F＝NF；②四邊形CMFN有可能是正方形：③MN長度的最小值為2；④四邊形CMFN的面積保持不變．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用兩直角三角形的特殊角、性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別判斷每一個(gè)結(jié)論，找到正確的即可．【解答】解：①連接CF，∵F為AB中點(diǎn)，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴AF＝BF＝CF，CF⊥AB，∴∠AFM+∠CFM＝90°．∵∠DFE＝90°，∠CFM+∠CFN＝90°，∴∠AFM＝∠CFN．同理，∵∠A+∠MCF＝90°，∠MCF+∠FCN＝90°，∴∠A＝∠FCN，在△AMF與△CNF中，∠AFM=∠CFNAF=CF②當(dāng)MF⊥AC時(shí)，四邊形MFNC是矩形，此時(shí)MA＝MF＝MC，根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形可知②正確；③連接MN，當(dāng)M為AC的中點(diǎn)時(shí)，CM＝CN，根據(jù)邊長為4知CM＝CN＝2，此時(shí)MN最小，最小值為22，故③錯(cuò)誤；④當(dāng)M、N分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDFE是正方形．∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF＝S△AMF∴S四邊形CDFE＝S△AFC．故④正確；故選：C．6.點(diǎn)A（﹣2，3）與點(diǎn)B（a，b）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則a+b的值為﹣1．【分析】根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號相反可直接