第頁第08講2.2基本不等式一.重要不等式對于任意實數(shù)a，b，有a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立.二．基本不等式1.定義：如果a>0，b>0，則eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當且僅當a＝b時，等號成立，其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2．常用變形(1)ab≤(eq\f(a＋b,2))2，a，b∈R，當且僅當a＝b時，等號成立．(2)a＋b≥2eq\r(ab)，a，b都是正數(shù)，當且僅當a＝b時，等號成立．3.利用基本不等式求最值必須滿足三個條件才可以進行，即“一正、二定、三相等”.①一正：各項必須為正.②二定：各項之和或各項之積為定值.③三相等：必須驗證取等號時條件是否具備.三.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.利用基本不等式求條件最值的常用方法1.配湊法求最值：主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.2.常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x＋y＝t(t為常數(shù))，求eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)的最值”的問題，先將eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)轉(zhuǎn)化為(eq\f(a,x)＋eq\f(b,y))·eq\f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值.3.當所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通常考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.4.構(gòu)建目標式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對和式或積式利用基本不等式，構(gòu)造目標式的不等式求解.二．利用基本不等式比較實數(shù)大小(1)利用基本不等式比較大小，常常要注意觀察其形式(和與積).(2)利用基本不等式時，一定要注意條件是否滿足a>0，b>0.三．利用基本不等式解決實際問題的步驟1.先理解題意，設(shè)變量.設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù).2.建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題.3.在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值.4.正確寫出答案.四．利用基本不等式證明不等式1.無附加條件的不等式的證明，其解題思路是：觀察要證不等式的結(jié)構(gòu)特征，若不能直接使用基本不等式，則要結(jié)合左、右兩邊的結(jié)構(gòu)特征，進行拆項、變形、配湊(加減項或乘除某個實系數(shù))等，使之滿足使用基本不等式的條件．2.有附加條件的不等式的證明，其解題思路是：觀察已知條件與要證不等式之間的關(guān)系，條件的巧妙代換是一種較為重要的變形．另外，解題過程中要時刻注意等號能否取到．考點一直接型【例1-1】已知，則的最大值為（

）A．B．C．1D．2【答案】A【解析】因為，由基本不等式可得，可得，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為.故選：A.【例1-2】已知，則當取最大值時，的值為（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可得，則，當且僅當，即時取等號，所以時，取得最大值.故選：B.【一隅三反】1．已知，那么c的最大值為（

）A．1B．C．D．【答案】A【解析】由于，所以，當且僅當時，等號成立，即c的最大值為1，故選：A.2．已知，則的最小值為（

）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】，當且僅當“”時取等.故的最小值為.故選：D.考點二替換型【例2-1】已知x，，x＋2y＝1，則的最小值（

）A．8B．9C．10D．11【答案】B【解析】因為x，，x＋2y＝1，則，當且僅當，即時取等.故選：B.【例2-2】已知正數(shù)a，b滿足，則最小值為（

）A．25B．C．26D．19【答案】A【解析】因為正數(shù)a，b滿足，所以，當且僅當，聯(lián)立，即時等號成立，故選：A.【一隅三反】1．已知，，，則的最小值是（

）A．B．4C．D．5【答案】C【解析】，，（當且僅當時等號成立），故選：C2．若正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．B．C．2D．【答案】A【解析】因為正數(shù)滿足，所以.所以,當且僅當，即時，取等號，當時，取得的最小值為.故選：A.3．已知非負數(shù)滿足，則的最小值是___________.【答案】4【解析】由，可得，當且僅當，即時取等號.故答案為：4考點三配湊型【例3-1】函數(shù)的最大值為________.【答案】【解析】因為，則，所以≤，當且僅當，即時等號成立，所以的最大值為.故答案為：.【例3-2】當時，函數(shù)的最小值為（

）A．B．C．D．4【答案】B【解析】因為，所以，當且僅當，即時，等號成立．故選：B．【一隅三反】1.函數(shù)的最小值為_________．【答案】【解析】由，又，所以，當且僅當，即時等號成立，所以原函數(shù)的最小值為.故答案為：2．已知，則函數(shù)的最小值是______．【答案】【解析】因為，當且僅當，即時，等號成立.所以函數(shù)的最小值是故答案為:.考點四消元型【例4】已知，，且，則的最小值為（

）．A．4B．6C．8D．12【答案】A【解析】已知，且xy+2x+y=6，y=，2x+y=2x+=2(x+1)，當且僅當時取等號，故2x+y的最小值為4.故選:A【一隅三反】1．設(shè),則的最小值為（

）A．0B．1C．2D．4【答案】A【解析】由題意，所以，得到，當且僅當，即時，等號成立，則的最小值為．故選：A.2．已知，則的最小值為（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，由，得，所以，當且僅當時，等號成立.故的最小值為.故選：D考點五基本不等式解決恒成立問題【例5-1】若對，，有恒成立，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，，所以，當且僅當時取等號，所以，故選：D．【一隅三反】1．已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，，且，則，當且僅當時，等號成立，即的最小值為，因為恒成立，則.故選：A.2．已知正實數(shù)x，y滿足，若恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正實數(shù)x，y，，則，即，當且僅當，即時，等號成立，則，故選：A.2.2基本不等式（精練）1．已知a＞0，b＞0，a+2b＝4，則ab的最大值是（）A．B．2C．4【答案】D【解析】，等號成立條件是，即時取等號，即當且僅當時取等號，所以ab的最大值是4.故選：D.2.若，則的最值情況是（

）A．有最大值B．有最小值6C．有最大值D．有最小值2【答案】B【解析】若，則，當且僅當即等號成立，所以若時，有最小值為6，無最大值.故選：B.3．已知，且，則的最小值為（

）A．B．C．1D．2【答案】B【解析】由（當且僅當時等號成立），得，即，即，，當且僅當a=b=時等號成立.所以的最小值為.故選：B.4．已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．3B．1C．9D．【答案】B【解析】因為，變形得.由題意，當且僅當，即時，等號成立．故選：B.5．若，則在①，②，③，④，這四個不等式中，不正確的有（

）A．0個B．1個C．2個D．3個【答案】B【解析】因為，對于①中，由，當且僅當時，等號成立，所以①正確；對于②中，由，當且僅當時，等號成立，所以，所以②不正確；對于③中，由不等式，可得，兩邊同除，可得成立，所以③成立；對于④，由，可得，即，所以成立，所以④正確.故選：B.6．已知，且，則的最小值是（

）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】由題意知，且，則，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為.故選：D.7．（多選）已知正實數(shù)、滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【解析】因為正實數(shù)、滿足，對于A選項，，當且僅當時，等號成立，A對；對于B選項，因為，則，當且僅當時，等號成立，B錯；對于C選項，當，時，，C錯；對于D選項，，當且僅當時，等號成立，D對.故選：AD.8．（多選）已知，且，若不等式恒成立，則的值可以為（

）A．10B．9C．8D．7.5【答案】BC【解析】由，且，可得，當且僅當時，即時，等號成立，又因為不等式恒成立，所以，又，結(jié)合選項，可得BC符合題意.故選：.9．已知正實數(shù)a，b滿足則ab的最大值為__________.【答案】5【解析】因為正實數(shù)，滿足，當且僅當，即，時取等號，解得，則的最大值5．故答案為：5．10．已知a＞0，b＞0，且，則的最小值為______．【答案】【解析】因為.當且僅當，即時取等，故的最小值為.故答案為：11．已知實數(shù)，，則的最小值是______.【答案】3【解析】,令,則,當且僅當即時等號成立.故的最小值為3.故答案為：312．函數(shù)在上的最大值為_______________．【答案】【解析】因為，，令，則，則，當且僅當，即時，等號成立．故的最大值為．故答案為：13．已知正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為______.【答案】8【解析】因為，所以，即，當且僅當時，等號成立，所以.即的最小值為.故答案為：14．已知正數(shù)、滿足，則的最小值為___.【答案】【解析】正數(shù)、滿足，則則，又時，，則，則的最小值為.故答案為：15．若關(guān)于的不等式對任意恒成立，則正實數(shù)的取值集合為______．【答案】【解析】∵，則，原題意等價于對任意恒成立，由，，則，可得，當且僅當，即時取得等號，∴，解得．故正實數(shù)的取值集合為.故答案為：．16．已知正數(shù)x，y滿足，若不等式對任意正數(shù)x，y恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為__________．【答案】【解析】因為，所以，當且僅當，即時取等號，所以實數(shù)m的取值范圍為．故答案為：．1.（多選）已知，是正數(shù)，且，下列敘述正確的是（

）A．最大值為1B．有最大值4C．的最大值為2D．的最小值為9【答案】AC【解析】，是正數(shù)，，當且僅當時取等號，此時，故A正確；，當且僅當時取等號，有最小值4，故B錯誤；因為，則，當且僅當時取等號，故C正確；對于D，，當且僅當時取等號，故D錯誤．故選：AC．2.（多選）已知，則下列說法中正確的有（

）A．的最大值為B．的最小值為C．的最大值為D．的最小值為【答案】ABD【解析】A選項，因為，所以，即，解得，當且僅當時，等號成立，A正確；B選項，因為，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立，B正確；C選項，由基本不等式得，故，故，當且僅當時，等號成立，故的最小值為，C錯誤；D選項，因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為，D正確.故選：ABD3.（多選）已知，，，則下列判斷正確的是（

）A．的最小值為B．的最大值為C．的最小值為6D．的最大值為8【答案】ACD【解析】對于A：，當且僅當，即時取等號，故A正確；對于B：由條件可知，所以，解得，由，得，，所以，當且僅當時取得等號，故B錯誤；對于C：由得，當且僅當，即，時取得等號，故C正確；對于D：由上述條件可知，整理得.令，則，解得，則，當且僅當，即，時取得等號，故D正確.故選：ACD.4.（多選）已知且，則（

）A．的最大值為B．的最大值為2C．的最小值為6D．的最小值為4【答案】BC【解析】對于A，因為，所以，當且僅當時，等號成立，故錯誤；對于B，因為，所以，即，，當且僅當時，等號成立，故B正確；對于C，由得，所以，因為，所以，當且僅當時，等號成立，故C正確；對于D，令，則，所以的最小值不是4，D錯誤.故選：BC.第08講2.2基本不等式隨堂檢測1．已知，，則的最大值為（

）A．6B．9C．12D．36【答案】B【解析】因為，且，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，所以的最大值為.故選：B.2．已知，則的最大值為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，可得，則，當且僅當時，即時，等號成立，即的最大值為.故選：C.3.已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題可得，，則，所以，當且僅當，即時，取得等號，故選:C.4.已知，，，則的最小值為（

）A．8B．16C．24D．32【答案】D【解析】由（當且僅當時取等號），又由（當且僅當a＝4，b＝2時取等號），有，可得的最小值為32．故選：D．5．若正數(shù)滿足，則的最小值是（

）A．B．C．D．【答案】