2024-2025學(xué)年上海市浦東新區(qū)上海海事大學(xué)附屬北蔡高級(jí)中學(xué)高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)Z滿足Z.Z=1，則Z—2i的取值范圍為()．A.1,2C.[1,2]D.[1,3]2.設(shè)平面向量與b不共線，k,S∈R，則“+kb與S+2b共線”是“Sk=A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A.5B.4.設(shè)a∈R，函數(shù)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)恰有7個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()二、填空題：本題共12小題，每小題5分，共60分。5.空間三點(diǎn)最多可確定條直線．6.已知直線a⊥c,b⊥c，則直線a與直線b的位置關(guān)系為．7.已知復(fù)數(shù)Z1,Z2滿足Z1=1,Z2=2,Z1—Z2=7，則Z1+Z2的值為．8.若關(guān)于x的方程x2—x+m=0的一個(gè)虛根的模為2，則實(shí)數(shù)m的值為．9.已知向量=(3,7)，b=(2,—1)10.已知向量=(—1,3)，b=(λ,—1)，若與b的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是．11.已知向量=(cosθ,sinθ且則．四邊形EFGH是正方形．塔的高度為米.14.如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中，則下列說(shuō)法中正確的序號(hào)是．①直線AF與直線CN垂直；②直線BM與直線CN相交；③直線ME與直線CN平行；④直線AB與直線CN異面；15.已知四面體ABCD中，AB=CD=4，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，且異面直線AB與CD所成的角為則EF=．三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題13分)已知復(fù)數(shù)z1=ia，z2=1+i其中a是實(shí)數(shù)．(1)若z=2i，求實(shí)數(shù)a的值；若是純虛數(shù)，求18.(本小題15分)如圖所示，已知不共面的直線a，b，c相交于o，M，P是直線a上兩點(diǎn)，N，Q分別是直線b，c上一點(diǎn).求證：MN與PQ是異面直線．19.(本小題15分)已知函數(shù)若先將其圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象．(1)求函數(shù)在上的值域；(2)在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若且求a．20.(本小題17分)如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是棱AB、BC、CC1、C1D1的中點(diǎn)．(1)判斷直線EF與GH的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求異面直線A1D與EF所成的角的大小；(3)求異面直線A1E與B1F所成角的大小．21.(本小題17分)已知兩個(gè)函數(shù)y=f(x)，x∈D1，y=F(x)，x∈D2若對(duì)任意的x1∈D1，存在唯一的x2∈D2，使得fx1Fx2=1成立，則稱F(x)為f(x)的“友好函數(shù)”．(1)判斷函數(shù)G(x)=cosx，x∈[0,π]是否為g(x)=sinx，x∈[0,π]的“友好函數(shù)”，并說(shuō)明理由；(2)若函數(shù)H(x)=log2x，x∈[m,n]是h(x)=2x，x∈[?2,?1]的“友好函數(shù)”，求n?m的最小值；(3)已知函數(shù)若Q是q的“友好函數(shù)”，且q(x)也是Q(x)的“友好函數(shù)”，求實(shí)數(shù)t的值及m?k的最大值．2.C3.B4.D6.異面或平行或相交.5.512.AC=BD且AC⊥BD所以實(shí)數(shù)a的值是—1．因?yàn)槭羌兲摂?shù)，于是解得a=1，所以+()2+()3+…+()2025=506(i+i2+i3+i4)+i=i．18.解：證明：方法一：(反證法)假設(shè)MN與PQ不是異面直線則MN與PQ在同一平面內(nèi)，設(shè)此平面為α”P(pán)∈a，M∈a:aCα又”O(jiān)∈a:O∈α:bCα,cCα:a，b，c共面于α,這與a，b，c不共面矛盾:假設(shè)不成立:MN與PQ是異面直線方法二：”a∩c=O:由a，c確定一個(gè)平面，設(shè)為β”P(pán)∈a，Q∈c:P∈β,Q∈β:PQCβ,且M∈β,M?PQ又”a，b，c不共面，N∈b:N?β:MN與PQ是異面直線19.解：(1)將f(x)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得的圖象，再將所得曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的縱坐標(biāo)不變，得的圖象，故函數(shù)在上的值域?yàn)橛傻?0.解：(1)連接EH、FG、BC1，如下圖所示，因?yàn)镕、G分別為BC、CC1的中點(diǎn)，所以FG//BC1，因?yàn)镋、H分別是AB、C1D1的中點(diǎn)，所以BE//C1H，BE=C1H，因?yàn)樗倪呅蜝C1HE為平行四邊形，所以EH//BC1，EH=BC1，所以所以EF、GH是梯形EFGH的兩腰．因此直線EF與GH相交．(2)連接AC、AB1、BC1，如下圖所示：因?yàn)镋、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，所以EF//AC，所以四邊形A1B1CD為平行四邊形，所以A1D//B1C，所以EF、A1D所成的角為匕ACB1或其補(bǔ)角，易知△AB1C為等邊三角形，故匕ACB1=60o，因此異面直線A1D與EF所成的角為60o．(3)取線段AD的中點(diǎn)P，連接A1P、PF、PE，如下圖所示：在正方體ABCD—A1B1C1D1中，AD//BC，AD=BC，因?yàn)镻、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，所以AP//BF，AP=BF，所以四邊形ABFP為平行四邊形，所以PF//AB，PF=AB，因?yàn)锳1B1//AB，A1B1=AB，所以PF//A1B1，PF=A1B1，所以四邊形A1B1FP為平行四邊形，則A1P//B1F，所以異面直線A1E與B1F所成角為匕PA1E，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為同理可得因此，異面直線A1E與B1F所成角為(2)由題意，對(duì)任意x1∈D1，存在唯一x2∈D2使?x1Hx2=1成立，即所以函數(shù)的值域是函數(shù)H(x)值域的子集．而H(x)=log2x在x∈[m,n]上單調(diào)遞增，故值域?yàn)閇log2m,log2n]，≤2≥4，從而2≤2≥4，從而n≥16即0<m≤4，所以(n—m)min=n≥16(3)當(dāng)Q(x)是q(x)的“友好函數(shù)”時(shí)，由題意，對(duì)任意的x1∈D1，存在唯一的x2∈D2，使qx1Qx2=1成立，即則的值域是Q(x)值域的子集．當(dāng)q(x)是Q(x)的“友好函數(shù)”時(shí)，由題意，對(duì)任意的x2∈D2，存在唯一的x1∈D1使Qx2qx1=1成立，即則Q的值域是值域的子集．所以Q(x)的值域與值域相同(且值域中的數(shù)值一一對(duì)應(yīng))．當(dāng)Q(x)是q(x)的“友好函數(shù)”時(shí)，因?yàn)槿舸嬖谑沟胵則不存在x2∈[0,m]，使得qx1Qx2)=1，所以當(dāng)時(shí)所以因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以因?yàn)樗圆环弦螅蝗?<