全國(guó)數(shù)學(xué)三模試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.若集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,2,3\}\)D.\(\{2,3,4\}\)2.函數(shù)\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(m\)的值為（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_5\)等于（）A.\(9\)B.\(10\)C.\(11\)D.\(12\)5.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)6.曲線\(y=x^3-2x+1\)在點(diǎn)\((1,0)\)處的切線方程為（）A.\(y=x-1\)B.\(y=-x+1\)C.\(y=2x-2\)D.\(y=-2x+2\)7.已知\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geqslant1\\x-y\leqslant1\\y\leqslant1\end{cases}\)，則\(z=2x-y\)的最大值為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)8.若直線\(l\)過(guò)點(diǎn)\((0,-1)\)，且與直線\(2x-y+1=0\)平行，則直線\(l\)的方程為（）A.\(2x-y-1=0\)B.\(2x-y+1=0\)C.\(x+2y+2=0\)D.\(x+2y-2=0\)9.一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為\(2\)，則該正方體的外接球的表面積為（）A.\(4\pi\)B.\(8\pi\)C.\(12\pi\)D.\(16\pi\)10.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當(dāng)\(x\gt0\)時(shí)，\(f(x)=x^2-2x\)，則\(f(-1)\)的值為（）A.\(3\)B.\(-3\)C.\(1\)D.\(-1\)多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=|x|\)2.下列說(shuō)法正確的是（）A.若\(a\gtb\)，則\(ac^2\gtbc^2\)B.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(a+c\gtb+d\)C.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(ac\gtbd\)D.若\(a\gtb\)，\(\frac{1}{a}\gt\frac{1}\)，則\(ab\lt0\)3.已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦點(diǎn)分別為\(F_1,F_2\)，\(P\)是橢圓上一點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.\(|PF_1|+|PF_2|=2a\)B.若\(\angleF_1PF_2=90^{\circ}\)，則\(\triangleF_1PF_2\)的面積為\(b^2\)C.離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c\)為半焦距）D.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為\(2b\)4.以下屬于基本初等函數(shù)的有（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)5.對(duì)于數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)，下列說(shuō)法正確的是（）A.若\(a_{n+1}-a_n=d\)（\(d\)為常數(shù)），則\(\{a_n\}\)是等差數(shù)列B.若\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\)（\(q\)為常數(shù)），則\(\{a_n\}\)是等比數(shù)列C.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)D.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q\neq1\)）6.已知直線\(l_1:A_1x+B_1y+C_1=0\)，\(l_2:A_2x+B_2y+C_2=0\)，則下列條件中能判斷\(l_1\parallell_2\)的是（）A.\(A_1B_2-A_2B_1=0\)且\(B_1C_2-B_2C_1\neq0\)B.\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}\)（\(A_2\neq0\)，\(B_2\neq0\)，\(C_2\neq0\)）C.\(A_1A_2+B_1B_2=0\)D.\(A_1B_2=A_2B_1\)且\(A_1C_2\neqA_2C_1\)7.以下關(guān)于函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的說(shuō)法正確的是（）A.最小正周期為\(\pi\)B.圖象關(guān)于點(diǎn)\((\frac{\pi}{3},0)\)對(duì)稱C.圖象關(guān)于直線\(x=\frac{\pi}{12}\)對(duì)稱D.在\([-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}]\)上單調(diào)遞增8.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)為實(shí)數(shù)，下列不等式恒成立的是（）A.\(a^2+b^2\geqslant2ab\)B.\(a+\frac{1}{a}\geqslant2\)C.\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)D.\(a^2+b^2+c^2\geqslantab+bc+ca\)9.若函數(shù)\(f(x)\)的定義域?yàn)閈([0,1]\)，則函數(shù)\(f(x+1)\)的定義域可能為（）A.\([-1,0]\)B.\([0,1]\)C.\([1,2]\)D.\([2,3]\)10.下列關(guān)于圓錐曲線的說(shuō)法正確的是（）A.拋物線\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((\frac{p}{2},0)\)B.雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)C.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率越大，橢圓越扁D.雙曲線的離心率\(e\gt1\)判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數(shù)\(y=x^3\)是奇函數(shù)。（）3.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）4.直線\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）的斜率為\(k\)。（）5.數(shù)列\(zhòng)(1,1,1,1,\cdots\)既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列。（）6.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)。（）7.圓\(x^2+y^2=r^2\)的圓心為\((0,0)\)，半徑為\(r\)。（）8.函數(shù)\(y=\cosx\)的最小正周期是\(2\pi\)。（）9.若向量\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}\perp\vec\)。（）10.對(duì)數(shù)函數(shù)\(y=\log_ax\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的定義域是\((0,+\infty)\)。（）簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=3x^2-2x+1\)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。-答案：對(duì)于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)，對(duì)稱軸公式為\(x=-\frac{2a}\)。此函數(shù)\(a=3\)，\(b=-2\)，則對(duì)稱軸\(x=\frac{1}{3}\)。把\(x=\frac{1}{3}\)代入函數(shù)得\(y=3\times(\frac{1}{3})^2-2\times\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}\)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((\frac{1}{3},\frac{2}{3})\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(d=3\)，求\(a_5\)和\(S_5\)。-答案：\(a_n=a_1+(n-1)d\)，所以\(a_5=2+(5-1)\times3=14\)。\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，則\(S_5=\frac{5\times(2+14)}{2}=40\)。3.求\(\cos15^{\circ}\)的值。-答案：\(\cos15^{\circ}=\cos(45^{\circ}-30^{\circ})\)，根據(jù)兩角差余弦公式\(\cos(A-B)=\cosA\cosB+\sinA\sinB\)，則\(\cos15^{\circ}=\cos45^{\circ}\cos30^{\circ}+\sin45^{\circ}\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)。4.已知直線\(l\)過(guò)點(diǎn)\((1,2)\)，斜率為\(-1\)，求直線\(l\)的方程。-答案：直線點(diǎn)斜式方程為\(y-y_0=k(x-x_0)\)（\((x_0,y_0)\)為直線上一點(diǎn)，\(k\)為斜率）。已知點(diǎn)\((1,2)\)，斜率\(k=-1\)，則直線\(l\)的方程為\(y-2=-(x-1)\)，整理得\(x+y-3=0\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)的單調(diào)性。-答案：函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)定義域?yàn)閈((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上分別單調(diào)遞減。任取\(x_1\ltx_2\lt0\)或\(0\ltx_1\ltx_2\)，通過(guò)比較\(f(x_1)\)與\(f(x_2)\)大小可證得。2.探討橢圓和雙曲線在定義、性質(zhì)上的異同點(diǎn)。-答案：相同點(diǎn)：都是圓錐曲線。不同點(diǎn)：定義上，橢圓是到兩定點(diǎn)距離和為定值，雙曲線是差的絕對(duì)值為定值。性質(zhì)上，橢圓離心率\(0\lte\lt1\)，雙曲線\(e\gt1\)；橢圓有封閉圖形，雙曲線有漸近線。3.談?wù)勗趯?shí)際生活中，函數(shù)的應(yīng)用體現(xiàn)在哪些方面？-答案：在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域用于成本、利潤(rùn)計(jì)算；在物理中描述物體運(yùn)動(dòng)；在工程建筑里分析材料強(qiáng)度與尺寸關(guān)系等。通過(guò)建立函數(shù)模型，能預(yù)測(cè)變化趨勢(shì)、優(yōu)化決策。4.說(shuō)明數(shù)列在數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的意義。-答案：數(shù)學(xué)上，數(shù)列是研究離散量變化規(guī)律的工具