第九章

靜電場

第47講專題強化十三帶電粒子(或帶電體)

在電場中運動的綜合問題

核心考點·重點突破

名師講壇·素養(yǎng)提升

提能訓練練案[47]

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核心考點·重點突破

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1帶電粒子在交變電場中的運動

(能力考點·深度研析)

1．帶電粒子在交變電場中的直線運動

當粒子平行于電場方向射入時，粒子做直線運動，其初速度和受力

情況決定了粒子的運動情況，粒子可以做周期性的直線運動。

2．帶電粒子在交變電場中的偏轉(zhuǎn)

當粒子垂直于電場方向射入時，沿初速度方向的分運動為勻速直線

運動，沿電場方向的分運動具有周期性。

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3．思維方法

(1)注重全面分析(分析受力特點和運動規(guī)律)：抓住粒子的運動具有

周期性和在空間上具有對稱性的特征，求解粒子運動過程中的速度、位

移、做功或確定與物理過程相關(guān)的臨界條件。

(2)從兩條思路出發(fā)：一是力和運動的關(guān)系，根據(jù)牛頓第二定律及運

動學規(guī)律分析；二是功能關(guān)系。

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4．解題技巧

(1)按周期性分段研究。

特別提醒：

對于鋸齒波和正弦波等電壓產(chǎn)生的交變電場，若粒子穿過板間的時

間極短，帶電粒子穿過電場瞬間可認為是在勻強電場中運動。

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?考向1帶電粒子在交變電場中的直線運動

(2024·浙江溫州模擬)如圖甲所示為粒子直線加速器原理圖，它由

多個橫截面積相同的同軸金屬圓筒依次組成，序號為奇數(shù)的圓筒與序號

為偶數(shù)的圓筒分別和交流電源相連，交流電源兩極間的電勢差的變化規(guī)

律如圖乙所示。在t＝0時，奇數(shù)圓筒比偶數(shù)圓筒電勢高，此時和偶數(shù)圓

筒相連的金屬圓板(序號為0)的中央有一自由電

子由靜止開始在各間隙中不斷加速。若電子的

質(zhì)量為m，電荷量為e，交流電源的電壓為U，

周期為T。不考慮電子的重力和相對論效應，

忽略電子通過圓筒間隙的時間。下列說法正確

的是()

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D．保持加速器筒長不變，若要加速比荷更大的粒子，則要調(diào)大交

變電壓的周期

[答案]C

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【跟蹤訓練】

1如圖甲所示，在兩距離足夠大的平行金屬板中央有一個靜止的質(zhì)子

(不計重力)，t＝0時刻，A板電勢高于B板電勢，當兩板間加上如圖乙所

示的交變電壓后，下列圖像中能正確反映質(zhì)子速度v、位移x、加速度a

和動能Ek四個物理量隨時間變化規(guī)律的是()

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[答案]C

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2

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[答案]BC

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2用等效法處理帶電體在電場和重力場中的運動

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2．等效最高點與等效最低點

小球能自由靜止的位置，即是“等效最低點”，圓周上與該點在同

一直徑的點為“等效最高點”。

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3．舉例

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?考向1電場線豎直時的等效重力法

(2024·河北卷)如圖，豎直向上的勻強電場中，用長為L的絕緣細

線系住一帶電小球，在豎直平面內(nèi)繞O點做圓周運動。圖中A、B為圓周

上的兩點，A點為最低點，B點與O點等高。當小球運動到A點時，細線

對小球的拉力恰好為0，已知小球的電荷量為q(q>0)，質(zhì)量為m，A、B兩

點間的電勢差為U，重力加速度大小為g，求：

(1)電場強度E的大??；

(2)小球在A、B兩點的速度大小。

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?考向2電場線水平時的等效重力法

(多選)如圖所示，在豎直平面內(nèi)有水平向左的勻強電場，在勻強

電場中有一根長為L的絕緣細線，細線一端固定在O點，另一端系一質(zhì)量

為m、電荷量大小為q的帶電小球。小球靜止時細線與豎直方向成θ角，

此時讓小球獲得一個與線垂直的初速度，小球能繞O點在與電場平行的

豎直平面內(nèi)做圓周運動，重力加速度為g。下列說法正確的是()

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[題圖剖析]

[答案]ABD

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【跟蹤訓練】

3(2024·四川省三模)如圖所示，A、B、C、D、E、F、G、H是豎直

光滑絕緣圓軌道的八等分點，AE豎直，空間存在平行于圓軌道面的勻強

電場，從A點靜止釋放一質(zhì)量為m的帶電小球，小球沿圓弧恰好能到達C

點。若在A點給帶電小球一個水平向右的沖量，讓小球沿軌道做完整的

圓周運動，則小球在運動過程中()

A．E點的動能最小

B．B點的電勢能最大

C．C點的機械能最大

D．F點的機械能最小

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[答案]C

[解析]從A點靜止釋放一質(zhì)量為m的帶電小球，小球沿圓弧恰好能

到達C點，可知靜電力和重力的合力方向沿FB方向斜向下，可知B點為

“等效最低點”，F(xiàn)點為“等效最高點”，可知小球在F點速度最小，動

量最小。由平衡條件可知，靜電力水平向右，可知小球在G點電勢能最

大，在C點電勢能最小，因小球的電勢能與機械能之和守恒，可知在C點

機械能最大，在G點機械能最小，故選C。

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3應用力學三大觀點解決力電綜合問題

(能力考點·深度研析)

一、電場中的力、電綜合問題的解題觀點

1．動力學的觀點

(1)由于勻強電場中帶電粒子所受電場力和重力都是恒力，可用正交

分解法。

(2)綜合運用牛頓運動定律和勻變速直線運動公式，注意受力分析要

全面，特別注意重力是否需要考慮的問題。

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2．能量的觀點

(1)運用動能定理，注意過程分析要全面，準確求出過程中的所有力

做的功，判斷是對分過程還是對全過程使用動能定理。

(2)運用能量守恒定律，注意題目中有哪些形式的能量出現(xiàn)。

3．動量的觀點

(1)運用動量定理，要注意動量定理的表達式是矢量式，在一維情況

下，各個矢量必須選同一個正方向。

(2)運用動量守恒定律，除了要注意動量守恒定律的表達式是矢量

式，還要注意題目中是否在某方向上動量守恒。

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(1)彈簧壓縮至A點時的彈性勢能；

(2)小球經(jīng)過O點時的速度大?。?/p>

(3)小球過O點后運動的軌跡方程。

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(3)小球離開O點后的受力分析如圖所示，根據(jù)力的合成法則

可知重力與電場力的合力方向沿水平方向，大小F合＝mg，即小

球離開O點后，在水平方向以大小為g的加速度做初速度為零的

勻加速直線運動，有

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?考向2利用能量觀點和動量觀點分析力、電綜合問題

[答案](1)0.6m(2)10m/s

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【跟蹤訓練】

4(2023·山東卷)電磁炮滅火消防車(圖甲)采用電磁彈射技術(shù)投射滅火

彈進入高層建筑快速滅火。電容器儲存的能量通過電磁感應轉(zhuǎn)化成滅火

彈的動能，設置儲能電容器的工作電壓可獲得所需的滅火彈出膛速度。

如圖乙所示，若電磁炮正對高樓，與

高樓之間的水平距離L＝60m，滅火

彈出膛速度v0＝50m/s，方向與水平

面夾角θ＝53°，不計炮口離地面高

度及空氣阻力，取重力加速度大小g

＝10m/s2，sin53°＝0.8。

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5(2023·河北卷)由點電荷組成的系統(tǒng)的電勢能與它們的電荷量、相對

位置有關(guān)。如圖1，a、b、c、d四個質(zhì)量均為m、帶等量正電荷的小球，

用長度相等、不可伸長的絕緣輕繩連接，靜置在光滑絕緣水平面上，O

點為正方形中心，設此時系統(tǒng)的電勢能為E0。剪斷a、d兩小球間的輕繩

后，某時刻小球d的速度大小為v，方向如圖2，此時系統(tǒng)的電勢能為(

)

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[答案]B

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帶電粒子在圓形電場中的運動規(guī)律

規(guī)律一同種帶電粒子以相同動能從同一點射入

在圓形區(qū)域內(nèi)有平行紙面的勻強電場，同種帶電

粒子從圓周上同一點(圖中A點)，以相同初動能沿不

同方向射入電場，經(jīng)電場后從圓周上某點(P點)射出

的動能最大，則電場方向平行于過該點(P點)的直

徑，射出點為沿電場方向最遠的點(正、負粒子分別

對應為電勢最低、最高點)。

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在一柱形區(qū)域內(nèi)有勻強電場，柱的橫截面是以O為圓心、半徑為

R的圓，AB為圓的直徑，如圖所示。質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的帶電

粒子在紙面內(nèi)自A點先后以不同的速度進入電場，速度方向與電場的方

向垂直。已知剛進入電場時速度為零的粒子，自圓周上的C點以速率v0

穿出電場，AC與AB的夾角θ＝60°。運動中粒子僅受電場力作用。

(1)求電場強度的大小。

(2)為使粒子穿過電場后的動能增量最大，該粒子

進入電場時的速度應為多大？

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[解析](1)粒子初速度為零，由C點射出電場，故電場方向與AC平

行，由A指向C。由幾何關(guān)系和電場強度的定義知

lAC＝R①

F＝qE②

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設粒子以速度v1進入電場時動能增量最大，在電場中運動的時間為

t1。粒子在AC方向做加速度為a的勻加速運動，運動的距離等于lAP；在

垂直于AC的方向上做勻速運